Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики (2009), страница 6

Если показательпреломления n=const, то решение волнового уравнения ищем ввиде плоских волн. Если n зависит от координат, то плоскиеволны не будут являться решением волнового уравнения. Однако в том случае, когда n медленно меняется с расстоянием, решение можно искать в виде, близком к плоской волне настолько, насколько это возможно (см. п. 4.1).Воспользуемся уравнением эйконала (4.11):2grad S(r ) = n 2 (r ) .Рассмотрим параксиальные лучи, то есть лучи, составляющиеочень малые углы с осью z .

Можно показать, что в случае линзоподобной среды, описываемой выражением (5.1), уравнениеэйконала для лучей записывается в следующем виде:d2r k 2+⋅r =0 ,(5.2)kdz 2где r - расстояние от оси Oz.Напряженность электрического поля в гауссовом пучке длясреды с цилиндрической симметрией выражается через некоторый комплексный параметр q(z) (см. (4.16)).Для него верно:11λ.(5.3)=−i2q (z) R (z) π ω (z) n41Поведение светового луча можно описать при помощи вектора⎛r ⎞столбца ⎜⎜ ⎟⎟ , где r - по-прежнему расстояние от оси Oz,⎝ r′⎠dr. Можно доказать, что эволюция параметра пучка q(z) иdzrпараметра лучапроисходит одинаково. Таким образом, найr′rдя закон изменения , мы найдём закон изменения q(z), а с поr′мощью q(z) мы с помощью выражения (4.16) полностью опишем гауссов пучок.Рассмотрим две произвольные плоскости 1 и 2, перпендикулярные направлению распространения пучка, то есть перпендикулярные оси Oz.

С учетом уравнения (5.2) можно записатьсвязь между параметрами луча, относящимися к 1 и 2 плоскости, следующим образом:⎛r ⎞ ⎛A B⎞ ⎛r ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ .(5.4)⎝ r ′ ⎠ 2 ⎝ C D ⎠ ⎝ r ′ ⎠1r′ =Выражение (5.4) можно записать в следующем виде:⎛r⎞A⎜ ⎟ + B⎝ r ′ ⎠1⎛r⎞.(5.5)⎜ ⎟ =⎝ r′ ⎠2 C ⎛ r ⎞ + D⎜ ⎟⎝ r ′ ⎠1Коэффициенты А, B, C, D образуют лучевую матрицу.Аналогично (5.5) происходит эволюция параметра q(z):A q ( z )1 + Bq(z) 2 =.(5.6)C q ( z )1 + DРассмотрим распространение гауссова пучка через две линзоподобные среды, примыкающие друг к другу.

Пусть первая42⎛Aсреда описывается лучевой матрицей ⎜⎜ 1⎝ C1B2 ⎞⎛A⎟⎟ (см. рис. 5.1)цей ⎜⎜ 2⎝ C2 D2 ⎠Среда 1Входq1⎛ A1⎜⎜⎝ C1B1 ⎞⎟D1 ⎟⎠q2B1 ⎞⎟ , вторая матриD1 ⎟⎠Среда 2⎛A2⎜⎜⎝ C2B2 ⎞⎟D 2 ⎟⎠Выходq3Рис. 5.1. Прохождение гауссова пучка через две среды.Запишем преобразование параметра q. Параметр q2 на выходе изпервой среды связан с параметром q1 на входе посредством лучевой матрицы 1:A q + B1q2 = 1 1.C1 q 1 + D 1Аналогично параметр q3 на выходе из второй среды связан с параметром q2 посредством лучевой матрицы 2:A q + B2q3 = 2 2.C2 q 2 + D2Параметры q3 на выходе и параметр q1 на входе связаны через⎛A B⎞⎟⎟ :результирующую лучевую матрицу ⎜⎜⎝ C D⎠A q1 + Bq3 =.C q1 + DТаким образом, результирующая матрица находится как произведение матриц, описывающих среду 2 и среду 1:⎛ A B ⎞ ⎛ A 2 B 2 ⎞ ⎛ A1 B1 ⎞⎟⎟ ⎜⎜⎟⎟ .⎜⎜⎟⎟ = ⎜⎜(5.7)⎝ C D ⎠ ⎝ C 2 D 2 ⎠ ⎝ C1 D 1 ⎠43Приведем лучевые матрицы для некоторых простейших элементов и сред.1.

Однородная среда длиной d:ВходВыход⎛1 d⎞⎜⎜⎟⎟⎝0 1⎠Ozd2. Тонкая линза с фокусным расстоянием f:ВходВыход⎛ 1⎜ 1⎜−⎝ f0⎞⎟1⎟⎠Oz3. Граница раздела диэлектриков с показателями преломления n1и n2 :Входn1⎛1⎜⎜⎜ 0⎝Выходn20n1n2⎞⎟⎟⎟⎠Oz4. Сферическая граница раздела диэлектриков радиуса R:44ВходВыходRn1⎛ 1⎜ n 2 − n1⎜⎜⎝ n 2ROz0 ⎞n1 ⎟⎟n 2 ⎟⎠n25. Сферическое зеркало с радиусом кривизны RВыход⎛ 1⎜ 2⎜−⎝ RВходR0⎞⎟1⎟⎠Oz5. Среда с квадратичным профилем показателя преломлеkния n = n 0 (1 − 2 r 2 ) :2kВходВыходOzd⎛k2⎜cosd⎜k⎜⎜ − k cos k 2 d⎜kk2⎝k 2 ⎞⎟kdsink2k ⎟⎟k2cosd ⎟⎟k⎠5.2.

Фокусировка гауссова пучка линзоподобнойсредойСогласно классическим законам оптики, теоретически идееальная линза - это оптическая система, преобразующая однусферическую волну в другую сферическую волну (или в частном случае, плоскую волну в сферическую). Следовательно,идеальная линза представляет собой устройство "квадратичнойзадержки", такое, что в каждой точке плоскости z=0 формируемаякомплекснаяамплитудаприобретаетмножитель452π r 2⋅ ) , где f-фокусное расстояние линзы. Таким обраλ 2fзом, линза вносит фазовый сдвиг, точно соответствующий квадратичному закону, то есть работает как среда с квадратичнымпоказателем преломления.Рассмотрим гауссов пучок. Будем считать, что при выполπω0 2 nон остается практически паралнении условия z < z 0 =λлельным.

Будем считать, что далее он расходится. Если мы хотим скорректировать эту расходимость, то достаточно поместить на достаточно большом расстоянии z >> z 0 линзу с фокусным расстоянием f = R ≈ z (на достаточно большом расстоянииот перетяжки гауссов пучок является практически сферическойволной, а линза преобразует сферическую волну, выходящую изее фокуса, в плоскую). Таким образом, на выходе из линзы пучок станет параллельным, а поскольку ширина пучка сталабольше, он дольше останется параллельным.exp(±iпарал.лучиОпятьрасх.перетяжкаПрактическая сферическаяЧтобы не был нужен целый каскад линз, было предложено компенсировать естественную ширину пучка непрерывно.

С этой46целью используют среду с показателем преломления, меняющимся по квадратичному закону:nn 2 = n 02 (1 − 2 r 2 ) ,(5.8)n0nили n = n 0 (1 − 2 r 2 ) .(5.9)2n 0Направим на такую среду гауссов пучок. В вакууме лучи в пучке сначала идут почти параллельно. Будем считать, что на границе зоны, где пучок является параллельным, z = ω 0 . (напоминаем, что z- расстояние от перетяжки, ω 0 -радиус пучка в перетяжке). Радиус кривизны волновой поверхности в гауссовомпучке:z 2 z 2z 2(5.10)R = z (1 + 02 ) ≈ 0 ≈ 0 .zω0zСреда с квадратичным показателем преломления (5.9) толщиныdz действует как линза, создающая следующий радиус кривизны:n 1Rc =− 0 ⋅ .(5.11)n2 rПри выполнении условияR = Rc(5.12)естественная расходимость гауссова пучка будет полностьюскомпенсирована благодаря свойству квадратичной среды осуществлять самофокусировку.

На выходе получается пучок с гауссовым распределением амплитуды по сечению, но с плоскимволновым фронтом.nУсловие (5.12) выполняется при z 0 2 = 0 , если принятьn2ω 0 = r . Это означает, что должно выполняться следующее соотношение между параметрами ω0 и λ, характеризующими гауссов пучок, и параметрами квадратичной среды n0 и n2:47ω0 2 =λπn0.n2(5.13)5.3. Моды гауссова пучкаДо сих пор мы рассматривали гауссов пучок с цилиндрической симметрией в линзоподобной среде и исследовали поведение комплексного параметра q. Рассмотрим среду квадратичнымс показателем преломления (5.8). При этом волновое уравнение(4.15) приобретет видn∇ 2 E + k 2 (1 − 2 r 2 )E = 0 ,(5.14)n0ωгде k = n 0 . Ищем решение уравнения (5.14) в виде произведеcния:E( x, y, z) = ψ( x, y) ⋅ e −iβ z .(5.15)Подставляя (5.15) в (5.14) и разделяя переменные [5], получимуравнение, совпадающее с уравнением Шредингера, возникающим при рассмотрении колебаний гармонического осциллятора.

Его решение имеет вид:E l,m (x, y, z) =⎛ r2 ⎞(5.16)y ⎞x ⎞⎛⎛= E 0 H l ⎜ 2 ⎟ H m ⎜ 2 ⎟ exp⎜ − 2 ⎟ exp(− iβ l,m z ),⎜ ω ⎟ω⎠ω⎠⎝⎝⎝⎠x ⎞y⎞⎛⎛где r - расстояние от оси Oz, H l ⎜ 2 ⎟ и H m ⎜ 2 ⎟ - полиωω⎝⎠⎝⎠номы Эрмита, индексы l и m принимают целые значения:l = 1, 2, 3 . . , m = 1, 2, 3 . . .

.Таким образом, имеется бесконечное множество решенийволнового уравнения, зависящих от номеров l и m . Каждое такое решение называется модой (модой распространения).48βl,m называется постоянной распространения. Постояннаяраспространения играет роль волнового числа, если рассматривать распространение сигнала вдоль оси Oz.

Постоянная распространения принимает ряд дискретных значений, зависящихот номеров моды l и m :β l,m = k [1 −2kn2(l + m + 1)]1 / 2 .n0(5.17)Особенности модовых решений:1. В однородной среде распространение вдоль оси Oz описы-вается множителем e −iβ z , где k - волновое число - можетпринимать любые значения. В среде с квадратичным показателем преломления могут распространяться моды только сопределенными значениями постоянной распространенияβ l,m (см.

5.17).⎛ z2 ⎞2. В однородной среде радиус пучка ω 2 (z) = ω02 ⎜1 + 2 ⎟ зави⎜ z ⎟0 ⎠⎝сит от координаты z. В среде с квадратичным показателем1/ 4λ ⎛ n0 ⎞⎜⎟ (см. формулу.преломления радиус пучка ω 0 =π ⎜⎝ n 2 ⎟⎠(5.13)) не зависит от z. Это объясняется фокусирующим действием среды, которое противодействует уширению пучка.3. Постоянная распространения βl,m зависит от модовых индексов l и m , следовательно, разные моды имеют различные фазовые и групповые скорости, зависящие от l и m :ωv фаз =,(5.18)l,mβ l,mv грl,m=49dω.d β l,m(5.19)ВыводыПрименение формализма лучевых матриц позволяет просторешить задачу распространения светового луча прираспространении в различных сложных средах, лучевыематрицы для которых известны.

Применение лучевых матрицоблегчает и решение задачи на распространение гауссовыхпучков в линзоподобной среде, обладающей фокусирующимисвойствами и компенсирующей естественную расходимостьгауссова пучка. Как будет показано в следующих лекциях,рассмотренный выше квадратичный показатель преломленияописывает профиль показателя преломления в градиентномоптическом волокне.Для среды с квадратичным профилем показателяпреломления рассмотрено возникновение модовых решений(мод). Рассмотрены особенности модовых решений.Вопросы и задачи5.1. Какие лучи называются параксиальными?5.2. Опишите, как можно найти элементы лучевой матрицы?5.3.