Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики (2009), страница 3

Уравнения Максвелла в комплексной формеРассмотрим поля, меняющиеся по гармоническому закону:E = E 0 cos(ωt − kr) ,(1.8)H = H 0 cos(ωt − kr).Здесь Е -напряженность электрического поля, Н- напряженность магнитного поля, k - волновой вектор, r - радиус-векторрассматриваемой точки.Используем метод комплексных амплитуд. В рамках этогометода векторам Е и Н приведем в соответствие комплексные& . При этомчисла E& и H& =E& ei ωt ,E(1.9)m& =H& ei ω t .HmЗначения реальных векторов Е и Н находятся как действительные части соответствующего комплексного вектора:& ei ω t } ,E = Re {E(1.10)m& ei ωt } .H = Re {Hm& и H& называются комплексными амплиВеличины Emmтудами векторов Е и Н.

Комплексные амплитуды зависят только от пространственных координат и не зависят от времени:& =E& ( x , y, z )& ( x , y, z )E, H =HmmmmДля обозначения комплексной амплитуды будем ставить точкувверху и нижний индекс m.Пример. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси Oz. Поставим в соответствие этой волне& (z) = E ⋅ e −ikz . Для переходакомплексную амплитуду Em120к реальному вектору Е найдем действительную часть отсоответствующего комплексного вектора:E = Re {E 0 ⋅ e −ikz ⋅ e iωt } = Re {E 0 ⋅ e i (ωt − kz ) } == Re {E 0 cos(ωt − kz) − i sin(ωt − kz)} = E 0 cos(ωt − kz) .В результате получилось хорошо известное уравнениеплоской волны, распространяющейся в положительномнаправлении оси Oz.В методе комплексных амплитуд операции дифференцирования по времени соответствует умножению на iω:∂→ iω .(1.11)∂tПодставим комплексные представления (1.9) в уравнения Максвелла.

С учетом (1.11) уравнения Максвелла (1.1-1.2) можнозаписать в комплексной форме:rot E& m = − i ωB& m ,(1.12)& =iωD& +j ,rot Hmmm(1.13)& , B& , H& , j - комплексные амплитуды соответст& , Dгде Emmmmmвующих векторов. Решение уравнений Максвелла в комплексной форме зачастую является более простым, так как в записиуравнений отсутствуют производные по времени.

Для переходак наблюдаемым векторам Е и Н достаточно найти действительную часть соответствующего комплексного вектора.Примечание. Комплексные амплитуды можно ввести и другим способом, сопоставляя векторам Е и Н комплексные числа& =E& e −i ω t ,Em& =H& e −i ω t .H(1.14)mТогда в уравнениях Максвелла в комплексной форме изменятсязнаки перед множителем iω.131.4. Комплексная диэлектрическая проницаемостьПреобразуем правую часть уравнения (1.13). Подставимвместо плотности тока jm закон Ома в виде (1.7), заменяя векто& и jm:ры Е и j комплексными амплитудами Emσст& + j =i ωε ε E&&& + j ст == i ω ε 0 (ε − ii ωD)Emm0 m + σ E m + jmmmε0 ω& + j ст .= i ω ε ε& E(1.15)0mmЗдесь введено новое обозначение:ε& - комплексная диэлектрическая проницаемость.σε& = ε − i(1.16)ε0 ωилиε& = ε′ − ε′′ ,где ε′ и ε′′ - действительная и мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости соответственно.С учетом введенной комплексной диэлектрической проницаемости (1.15) и с учетом связи векторов В и Н запишем уравнения Максвелла (1.12) и (1.13) в следующем виде:& = − i ωμ μ H& ,rot Em0m&&rot H m = i ω ε 0 ε& E m + jm ст .(1.17)(1.18)Мы видим, что комплексная диэлектрическая проницаемость позволяет учесть зависимость электродинамическихсвойств среды от частоты, то есть ее дисперсию.

Одновременновведение ε& учитывает запаздывание вектора D относительновектора Е в высокочастотных электромагнитных полях.В общем случае наличие мнимой части у диэлектрической проницаемости говорит о наличии затухания в среде.Действительно, через диэлектрическую проницаемость εвыражается волновой вектор k. Напомним: волновой вектор kопределяет направление распространения плоской монохрома-14тической волны. Модуль волнового вектора k называется волновым числомk = 2π/λ ,(1.19)где λ - длина волны. Волновое число можно выразить также через фазовую скорость волны:(1.20)k = ω / v.Скорость распространения волны в среде находится следующим образом:v = c/n ,(1.21)где с - скорость света в вакууме, n - показатель преломлениясреды.В свою очередь,n = εμ ,(1.22)где ε и μ - диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.Таким образом, если ε является комплексной, то и волновоечисло k тоже будет комплексным:ωε μ = k ′ − i k ′′ .(1.23)cНаличие мнимой части k ′′ говорит о затухании волны в среде.Действительная часть k' определяет фазовую скорость электромагнитной волныvф = ω / k′ .(1.24)k=Пример.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Oz. Запишемуравнение волны в комплексной форме:& = E ⋅ e i ( ωt −kz ) .E0Учтем наличие у волнового вектора k действительной имнимой части, подставив выражение (1.23):& = E ⋅ e −i k′′z e i ( ωt − k′z )E015(1.25)Множитель e −i k′′z показывает, что волна экспоненциальнозатухает с увеличением координаты z. Поэтому мнимуючасть k ′′ иногда называют коэффициентом затухания.ВыводыПрименение уравнений Максвелла в комплексной форме вомногих случаях позволяют облегчить их решение за счет упрощения операции дифференцирования по времени и по пространственным координатам.

Введение комплексного волнового числа и комплексной диэлектрической проницаемости позволяютучесть наличие потерь в среде.Вопросы и задачи1.1. Запишите уравнения (1.3) и (1.4) в комплексной форме. Вчем преимущество метода комплексных амплитуд?1.2. Что такое волновой вектор?1.3. Какие свойства среды позволяет учесть введение комплексной диэлектрической проницаемости?1.3. Объясните, что определяют действительная и мнимая частьволнового числа?1.4. Выберите зависимость от времени в плоской волне в видеe −i ωt .

Запишите уравнения Максвелла (1.1 - 1.2) в комплексной форме для данной временной зависимости. (Указание: сопоставьте векторам Е и Н комплексные числа& =E& e −i ω t , H& =H& e −i ω t ).Emm1.5. Найти параметры k' и k'' плоской однородной волны, распространяющейся в плавленом кварце на частоте 108 Гц( ε = 3,8 , σ = 10 −16 Cм / м ).ПРИМЕЧАНИЕ: в конце конспекта лекций приведены ответына некоторые вопросы, а также ответы ко всем задачам.Некоторые задачи снабжены подробным решением.16ЛЕКЦИЯ 2Волновые уравнения в комплексной форме. фазовая игрупповая скорость2.1. Волновые уравнения в комплексной формеРассмотрим волновые уравнения, являющиеся прямымследствием уравнений Максвелла:ε μ ∂ 2E,∇2 E = 2c ∂ t2(2.1)2εμ∂H.∇2 H = 2c ∂ t2Решением уравнений (2.1) является плоская электромагнитнаяволна:E = E 0 cos(ω t − k r ) ,(2.2)H = H 0 cos(ω t − k r ) ,где k - волновой вектор.Запишем уравнения (1.21) в комплексной форме.

При этомвместо векторов Е и Н будут присутствовать их комплексные& и H& , а вместо второй производной по времеамплитуды Emmни появится множитель -ω2 (см.(1.11)) :∂2(2.3)→ − ω2 .∂ t2Тогда2& = − ω εμ E&∇2 Emm ,c22& = − ω εμ H&∇2Hmm .c2С учетом (1.23) волновые уравнения запишем в следующем виде:& + k 2 E& = 0 ,⎧⎪∇ 2 Emm(2.4)⎨ 22& +k H& = 0.⎪⎩∇ Hmm172.2. Волновое сопротивлениеРассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль осиZ. Параметры волны зависят только от координаты z и не зависят от координат x, y, поэтому частные производные по х и уравны нулю: ∂ / ∂x = 0, ∂ / ∂y = 0 .

Оператор Лапласа будетиметь следующий вид: ∇ 2 = ∂ 2 / ∂z 2 . Тогда уравнения (2.4) упрощаются:d 2 E& m& = 0,+ k 2Em2dz(2.5)&d2H2 &m+ k Hm = 0 .dz 2Общее решение дифференциальных уравнений (2.5) ищем в виде суммы двух волн:& = Ae ikz + Be −ikz = E& − + E& + ,Emmm(2.6)−−ikzikz&&&H m = Ce + De= Hm + Hm+ ,где A, B, C, D - векторные константы. Волна& + = Be −ikzE(2.7)mраспространяется в положительном направлении оси Oz, волна& − = Ae ikz(2.8)Em- в противоположном направлении. (То же справедливо для волн& + и H& − .)Hmm& изПусть отсутствуют сторонние токи: j = 0 . Выразим Emmуравнения Максвелла (1.17):& =−Emi& .rot Hmωε ε0(2.9)& + , распространяющуюся в положительРассмотрим волну Emном направлении оси Oz.

Распишем операцию взятия ротора в∂∂= 0,=0,декартовой системе координат и учтем, что∂x∂y∂= − ik :∂z18& +rot Hmi∂=∂x+&Hmxj∂∂y+&Hmyik∂= 0∂z&+&+HHmxmzjk0− ik&+Hmy&+HmzТогда из (2.9):получаем:& +Emk=−ωε ε0ijk001&+Hmx&+Hmy&+Hmz.(2.10)Здесь k, стоящее в верхней строчке определителя, является ортом (единичным вектором) оси Oz, а k, находящееся перед определителем, есть волновое число. Чтобы избежать путаницы,ниже будем обозначать орт оси Oz символом z0.Преобразуемω εμμμ 0k.(2.11)==ωε ε 0 c ωεε 0εε 0Назовем волновым сопротивлением величинуμμ 0.Z=εε 0(2.12)Волновое сопротивление вакуума ( μ = 1, ε = 1 ):Z0 =μ0= 120π ≈ 377ом .ε0(2.13)Для немагнитных сред ( μ = 1 )Z = Z0 / n ,(2.14)где n – показатель преломления среды.С учетом введенного волнового сопротивления выражение(2.10) можно записать в следующем виде:& + = Z [H& + , z ],E(2.15)mm0где z0 - орт оси Oz.19Аналогично, используя волновое сопротивление, можно выра& + через E& +:зить Hmm& + = Z [z , E& + ] .H(2.16)m0mДля волн, распространяющихся в направлении, противоположном оси Oz, справедливы следующие соотношения:& − = − Z [H& −, z ].E(2.17)mm0& − = − Z [z , E& −] .H(2.18)m0mТаким образом, волновое сопротивление можно записать какотношение амплитуд напряженности электрического и магнитного поля:& ±E(2.19)Z=± m± .&Hm2.3.

Групповая скоростьДисперсия - зависимость диэлектрической проницаемостисреды ε (а, следовательно, и показателя преломления n) от частоты волны. Введение комплексной диэлектрической проницаеσпозволяет учесть дисперсию уже в силумости ε& = ε − iε0 ωприсущей среде электропроводности. Существование дисперсиинеобходимо учитывать, оценивая распространение электромагнитных сигналов, переносящих информацию. Плоская электромагнитная волна, не ограниченная во времени, не может бытьсигналом. Любой сигнал имеет начало и конец, то есть представляет собой импульс, обладающий некоторым спектром частот. В результате дисперсии различные частотные составляющие импульса распространяются с разными фазовыми скоростями, что приводит к искажению сигнала.Воспользуемся для случая произвольной временной зависимости разложением в интеграл Фурье:∞u(t) =∫ u& (ω) e−∞20iωtdω .(2.20)Запишем разложение в интеграл Фурье для напряженностиэлектрического поля сигнала, распространяющегося вдоль осиOz:+∞E( z , t ) =∫ E(ω) ei(ω t −k z)+∞dω = Re−∞∫ E(ω) ei(ω t −k z )dω .(2.21)0Из-за дисперсии каждая компонента разложения распространяется со своей фазовой скоростью v.