Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики (2009), страница 10

Вычислите значения числовой апертуры NA и максимального угла ввода излучения в волокно Ω m для ступенчатого волокна с параметрами а) n 1 = 1,483 , n 2 = 1,479 ; б)n 1 = 1,483 , n 2 = 1,460 .76ЛЕКЦИЯ 9Решения уравнений Максвелла для оптического волокна. Число мод в оптическом волокне.9.1. Моды распространения в оптическом волокне.Формулы для полейВ случае световых лучей, распространяющихся в идеальномволокне, потери отсутствуют. Мы установили условия ввода,нашли постоянную распространения, рассмотрели траекториюлучей в ступенчатом и градиентном волокне.

Однако необходимо помнить, что в реальном волокне наряду с волной, распространяющейся в сердцевине, существует волна, распространяющаяся в оболочке, причем это волна той же фазы. Если меняются условия распространения в оболочке, то меняется распространение света и в сердцевине. Например, если у двух средразный коэффициент поглощения (а на практике так обычно ибывает), то в одной из них волна будет затухать быстрее, и распространение будет нарушено! Даже при одинаковом поглощении чисто геометрическая оптика не позволяет оценивать потери, обусловленные лучами утечки, для этого необходимо знатьвыражение для полей в сердцевине и в оболочке.

Таким образом, в некоторых случаях нужно рассчитывать электромагнитное поле в волокне.Запишем волновое уравнение в комплексной форме для изотропной среды, в которой отсутствуют токи и заряды:∇ 2 E + k 2 E = 0,(9.1)∇2H + k 2H = 0 .По-прежнему, мы рассматриваем распространение волны в вобудут присутствовать продольные компоненты полей E z и H z ,то есть в волокне будут распространяться гибридные волны.Используем цилиндрическую систему координат. Из уравнений(9.1) получится шесть скалярных уравнений. Будем искать решение этой системы уравнений в виде гармонических функцийпеременной z. Зависимость от времени по-прежнему останетсяэкспоненциальной: e i ω t .

Итак, решение волнового уравненияищем в виде произведения:77E z = ψ 1 (r ) ⋅ ψ 2 (ϕ) ⋅ e −i β z ,(9.2)где β - постоянная распространения (продольное волновое число), r, ϕ и z - цилиндрические координаты. В аналогичной формеищем решение и для Н.Решение уравнений (9.1) является достаточно сложным.

Поэтому мы приведем результат решения без вывода. Более подробное описание можно найти в [1] и [2]. Читатель, не желающий вникать в подробности вывода, может сразу перейти к разделу "Решение волнового уравнения для ступенчатого волокна".Итак, подставляя (9.2) в (9.1) и разделяя переменные,получаем отдельные уравнения для радиальной составляющей ψ1 (r ) и для азимутальной составляющей ψ 2 (ϕ) :d 2 ψ11 dψ 1ν22 22+(kn−β−)ψ 1 = 0 ,(9.3)r drd r2r2Решение для азимутальной составляющей имеет видψ 2 (ϕ) = e i ν ϕ .(9.4)Здесь ν - некоторая константа, которая определяется начальными условиями падения луча на оптоволокно:ν = k sin Ω r0 sin ϕ 0 ,(9.5)где Ω -угол, под которым свет падает на торец оптоволокна, r0 - расстояние от оси волокна до точки падения лучана торец, ϕ 0 - угол между радиус-вектором, проведеннымот центра волокна к точке падения луча на торец, и следомплоскости падения.Решения ищем для компонент полей E z и H z , а остальные компоненты выражаем через них, используя соотношения∂ Eziμ ∂ HzE r = − 2 (β) ,+ωr ∂ϕ∂rχ+Eϕ = −iχ2(∂ Hzβ ∂ Ez−ω μ),r ∂ϕ∂r78Hr = −iχ2(β∂ Hzμ ∂ Ez),−ωr ∂ϕ∂r(9.5)∂ Ezβ ∂ Hz+ε).∂rχ r ∂ϕРешения волновых уравнений должны удовлетворять граничным условиям.

Накладываемое волокном граничноеусловие следует из закона изменения показателя преломления n ( r ) . Решения также подчиняются требованиям,чтобы поля были конечными на оси волокна и обращалисьв нуль на бесконечности. Эти условия обусловливают решения в собственных значениях для ψ (r, ϕ) , каждое из которых имеет конкретное значение постоянной распространения β .

Это приводит к дискретным картинам распространяющихся в волокне электромагнитных волн илимод.Hϕ = −i2(Решение волнового уравнения для ступенчатого волокнаРассмотрим ступенчатое волокно. Показатель преломленияменяется по следующему закону⎧n = n 1 , если r < a ,⎨⎩n = n 2 , если r ≥ a .Решения уравнений (9.1) для сердцевины записываются черезхорошо известные функции Бесселя:⎛ r⎞r < a:E z = A J ν ⎜ u ⎟ ei ν ϕ ,⎝ a⎠⎛ r⎞(9.6)H z = B J ν ⎜ u ⎟ ei ν ϕ ,⎝ a⎠u 2 = (k 02 n 12 − β 2 ) a 2 .⎛ r⎞Здесь J ν ⎜ u ⎟ - функция Бесселя первого рода, k 0 = ω / c ,⎝ a⎠а - радиус сердцевины.Решения для оболочки:79⎛ r⎞E z = C K ν ⎜ w ⎟ ei ν ϕ ,⎝ a⎠⎛ r⎞H z = D K ν ⎜ w ⎟ ei ν ϕ ,⎝ a⎠r ≥ a:(9.7)w 2 = (β 2 − k 02 n 22 ) a 2 .⎛ r⎞Здесь K ν ⎜ w ⎟ - модифицированная функция Ганкеля.⎝ a⎠Постоянные А, В, С, D находятся из граничных условий.

Граничные условия, накладываемые на компоненты E z , E ϕ , H z ,H ϕ на границе раздела сердцевина-оболочка, приводят к тому,что для каждого значения параметра ν существует только определенный дискретный набор значений u и w. Обозначим их u kmи w km . k и m являются целыми числами. Соответственно постоянная распространения β также принимает только дискретные значения. Таким образом, решения (9.6) и (9.7) для ступенчатого волокна представляют собой моды, зависящие от номеров k и m.J(v)J01J1J20,500246810-0,5Рис.

9.1. График функций Бесселя низких порядков.8012v14Распределение амплитуды полей в сердцевине в зависимости от r описывает цилиндрическая функция Бесселя. Подробные характеристики функции Бесселя можно найти в справочнике по специальным функциям. Графики функций Бесселяприведены на рисунке 9.1.

Функция Бесселя является осциллирующей функцией. Модифицированная функция Ганкеля, описывающая поведение полей в оболочке, является монотонноубывающей, что говорит о затухании волны при удалении отграницы раздела с сердцевиной.Если наблюдать за поведением полей в оболочке, можноубедиться, что проникновение волны в оболочку. Тем больше,чем меньше параметр w. В пределе при w → 0 распространение света в волокне не происходит. При w = 0 решение в оболочке имеет вид плоской волны.Рассмотрим предельную форму решения (9.6) на граничнойчастоте при w → 0 . Получаются разные типы решений, средикоторых присутствуют поперечные волны, у которых равна нулю компонента H z или E z , а также гибридные волны EH иHE , у который ни H z , ни E z не являются нулевыми.

Данныетипы мод можно классифицировать следующим образом согласно критической частоте:Обозначение модыКритическая частотаНЕ110ТЕ1m или ТМ0mНЕ1m или EH ν mHE ν m(ν ≠ 1)m-й корень уравненияJ 0 (u ) = 0m-й корень уравненияJ ν (u ) = 0m-й корень уравнения⎛ n 12 ⎞u⎜+ 1⎟ J (u ) =J ν (u )⎜ n 2 ⎟ ν −1ν−1⎝ 2 ⎠81Таким образом, существует мода HE11 , граничная частотакоторой равна нулю. Следовательно, в волокне возможно распространение только одной этой моды – одномодовый режим.Одна мода будет распространяться при выполнении условия(9.8)V < 2,405Здесь V- нормированная частотаπ ⋅ d ⋅ NAV=,(9.9)λNA = n 12 − n 22 - числовая апертура,d=2a - диаметр сердцевины.9.2.

Количество мод в многомодовом волокнеКак было показано в предыдущем разделе, число мод, распространяющихся в волокне, определяется параметром V илинормированной частотой. В таблице 9.1 приведены значения Vи соответствующее им количество мод в волокне. Значения параметра V определяются корнями функций Бесселя.НормированнаяЧисло модчастота VN0 - 2,40512,405 - 3,83243,832 - 5,13675,136 - 5,5295,52 - 6,38126,38 - 7,0214Таблица 9.1. Количество мод в волокне при малых значенияхнормированной частоты V.При больших значениях V количество мод для ступенчатоговолокна можно приближенно оценить по формуле:V2N=.(9.10)282Количество мод для градиентного волокна с параболическимпрофилем показателя преломления для больших V:V2N=.(9.11)4Значение N, вычисленное по формулам (9.10) и (9.11) можетбыть как целым, так и дробным.

В действительности число модможет быть только целым. В реальном волокне может распространяться от одной до нескольких тысяч мод.9.3. Параметры оптических волоконОптические волокна производятся различными способами,имеют различные характеристики и выполняют разные задачи.Следуя [3], кратко охарактеризуем типы и параметры оптических волокон. Более полную характеристику и список литературы можно найти в книге Убайдуллаева Р.Р.

[3].Все оптические волокна можно разделить на две основныегруппы: многомодовые MMF (multi mode fiber) и одномодовыеSMF (single mode fiber).Многомодовые волокна подразделяются на ступенчатые(step index multi mode fiber) и градиентные (graded index multimode fiber).Одномодовые волокна подразделяются на ступенчатые одномодовые волокна (step index single mode fiber) или стандартные волокна SF (standard fiber), на волокна со смещенной дисперсией DSF (dispersion-shifted single mode fiber), и на волокна сненулевой смещенной дисперсией NZDSF (non-zero dispersionshifted single mode fiber).

Размеры производимых оптическихволокон приведены на рисунке 9.2.Если сравнивать многомодовые волокна между собой, тоградиентное волокно имеет лучшие технические характеристики, чем ступенчатое, по дисперсии. Это связано с тем, что межмодовая дисперсия в градиентном волокне значительно меньше,чем в ступенчатом, что приводит к большей пропускной способности у градиентного волокна83Рис. 9.2. Типы оптических волокон84λОптическое волокноНазваниеи диаметрstep MMF200/240step MMF100/140grad MMF62,5/125grad MMF50/125SF8,3/125Δ%-n1NA-15501310нмнм0,39 V=158,09 187,06850нм288,29--0,2958,7769,54107,182,11,470,2835,4641,9664,671,251,460,2020,2623,9836,950,361,4680,132,1872,5883,99Таблица 9.2.