Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики (2009), страница 4

Пусть сигнал имеет ограниченный спектр, заключенный в полосе частот (ω0-∆ω; ω0+∆ω).Тогдаω0 + Δω∫ E(ω) eE( z, t ) = Rei(ω t −k z )dω .(2.22)ω0 − ΔωФизический смысл (2.22): любой сигнал можно представить ввиде суммы монохроматических волн, частоты которых лежат вдиапазоне (ω0-∆ω; ω0+∆ω).Сделаем замену переменных ω → κ :k 0 + ΔkE(z, t ) = Re∫ E( k ) ei(ω t −k z )dk .(2.23)k 0 − ΔkБудем считать, что сигнал достаточно узкополосный, то естьимеет узкий спектр. Разложим частоту ω в ряд Тейлора в окрестностях k0 и ограничимся первыми двумя членами разложения:dω(2.24)ω = ω0 +(k − k 0 ) .dk k =k 0Рассматриваемый сигнал с узким спектром частот и слабой дисперсией называется группой волн.Подставим (2.24) в (2.23):k 0 + ΔkE(z, t ) = Re∫E( k ) ei ω0 tiedωdk( k −k 0 ) tk=k0e −ikz e ik 0 z e −ik 0 z dk =k 0 − Δk⎡= Re ⎢e i ( ω0 t − k 0 z )⎢⎢⎣k 0 + Δk∫i[E( k ) ek 0 − Δk21dωt −z ] (k −k 0 )dk k =k 0⎤dk ⎥ .⎥⎥⎦(2.25)Обозначим:k 0 + ΔkS(z, t ) =∫i[E( k ) edωdkt −z ] (k −k 0 )k =k0dk .(2.26)k 0 − ΔkТогдаE(z, t ) = Re [ S(z, t ) e i ( ω0 t − k 0 z ) ] .(2.27)При этом S(z,t) является медленно меняющейся амплитудойсигнала (огибающей сигнала), а множитель e i ( ω0 t − k 0z ) выполняет роль высокочастотного заполнения.Рассмотрим огибающую сигнала S(z,t).

Проинтегрировав (226) и перейдя к вещественной функции, можно записать S(z,t) вследующем виде:dω2 sin[t − z] Δkdk k = k 0S(z, t ) ~.(2.28)dωt−zdk k = k 0Мы видим, что огибающая сигнала S(z,t) меняется по гармоническому закону, то есть оказывается модулированной.Зафиксируем какую-либо фазовую поверхность огибающей:dω(2.29)[t − z] Δk = const .dk k = k 0Продифференцирум по времени (2.29):dz dωdω dz−=0,=.dt dkdk dtГрупповая скорость (скорость группы волн) - это скоростьdzраспространения огибающей v гр =. Таким образом:dtdωv гр =.(2.30)dkВо всех случаях, когда дисперсия еще не приводит к существенному искажению сигнала, групповая скорость есть скоростьпереноса сигнала.22Фазовая скорость – это скорость распространения поверхностей с одинаковой фазой.

Фазовая скорость соответствуетскорости распространения отдельных гармоник, т.е. монохроматических волн из которых состоит сигнал.ωvф =.(2.31)kS(z,t)- огибающаяВолны с частотамивысокочастотноезаполнение(ω0- ω; ω0 + ω)высокочастотное заполнение)Рис. 2.1. Распространение сигнала с огибающей S(z,t) и высокочастотным заполнением e i ( ω0 t − k 0 z ) .Преобразуем выражение для групповой скорости:dv фdω d ( v ф k )== vф +.(2.32)dkdkdkИз (2.32) видно, что в зависимости от знака dv ф / dk групповаяv гр =скорость может быть как больше, так и меньше фазовой. Однакогрупповая скорость не может превышать скорость света.ВыводыВолновое сопротивление - это отношение амплитуд напряженности электрического и магнитного поля.

Понятие волнового сопротивления используется при решении задач распространения электромагнитных волн.23Групповая скорость - скорость движения огибающей группыволн, образующей в каждый момент времени локализованный впространстве волновой пакет. Групповая скорость определяетскорость и направление переноса энергии волнами. Фазоваяскорость - это скорость перемещения фазы волны в определенном направлении. Если среда не обладает дисперсией, групповая скорость совпадает с фазовой скоростью.Вопросы и задачи2.1. Как записывается оператор Лапласа ∇ 2 в декартовой системе координат? (см.

Глоссарий)2.2. Что такое волновое сопротивление?2.3. Чему равно волновое сопротивление вакуума?2.4. Что такое дисперсия? (имеется в виду дисперсия материала).2.5. Что такое группа волн?2.6. Дайте определения фазовой и групповой скорости.2.7. Может ли фазовая скорость превышать скорость света всреде? А групповая скорость?2.8. Фазовая скорость волны изменяется по законуαv = v 0 1 − , где v0=const, α=const.

Найти групповуюωскорость волны.ЛЕКЦИЯ 3Отражение и прохождение света через границу разделадвух сред3.1. Законы отражения и преломленияВ данном разделе мы будем пользоваться понятиями геометрической оптики. Для описания распространения светагеометрическая оптика оперирует понятием луча. В случае однородной изотропной среды луч есть прямая, указывающая направление распространения света.

С точки зрения распространения плоской однородной волны, луч является нормалью кволновой поверхности.24Из геометрической оптики известны законы отражения ипреломления света (или закон Снеллиуса). С точки зрения электродинамики они являются следствиями уравнений Максвелла.Закон отражения света.Луч падающий, лучотраженный и перпендикуляр к границе разделадвух сред, восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости.Причем угол падения ϕ равенуглу отражения ϕ′ (рис.

3.1).Плоскость, в которойлежат падающий луч, лучотраженный и перпендикуляр к границе раздела двухсред, называется плоскостьюпадения.Рис. 3.1Законпреломлениясвета.Преломленный луч лежит вплоскости падения. Причемотношение синуса угла падения ϕ (рис. 3.2) к синусу угла преломления ψ подчинено соотношению:sin ϕ n 2=,(3.1)sin ψ n 1где n1 - показатель преломления первой, n2 - второй сред.Относительный показатель преломления двух сред:n 21 =n2.n125(3.2)3.2.

Нормальное падение на границу разделаРассмотрим падение плоской электромагнитной волны награницу раздела двух сред. Начнем с частного случая, когда падающая волна распространяется по нормали к границе раздела.Направления распространения отраженной и прошедшей волнколлинеарны. Необходимо найти решение уравнений Максвелладля каждой среды, удовлетворяющие граничным условиям.Пусть в первой среде распространяется так называемая падающая волна (она распространяется к границе раздела), отраженная волна (распространяется от границы). Во второй среде существует прошедшая волна (она уходит от границы). ТогдаE пад , H пад - напряженность электрического и магнитного поля впадающей волне,E отр , H отр - в отраженной волне,E прош , H прош - в прошедшей волне.Определим коэффициент отражения r и коэффициент прохождения t по амплитуде:E отрE прошr=,t=.(3.3)Е падЕ падЭто отношения комплексных амплитуд вектора Е на границераздела.

Здесь и в дальнейшем мы будем опускать точкувверху и нижний индекс m для указания комплекснойамплитуды.Волновое сопротивление в 1 и 2 среде (см.(2.19)):E прошE отрE падZ1 =, Z2 =,Z1 = −.(3.4)Н падН прошН отрВ отсутствие токов и зарядов на границе раздела запишемграничные условия для нормального падения:E τ1 = E τ2 ,H τ1 = H τ 2 ,(3.5)где E τ и H τ - тангенциальные компоненты векторов Е и Н(везде подразумеваются комплексные амплитуды векторов).Следовательно:26Е пад + Е отр = Е прош ,Н пад + Н отр = Н прош .Найдем коэффициент отражения по амплитуде для случая нормального падения:Е отр Е прош − Е пад Z 2 Н прош − Z1 Н падr ====Е падЕ падZ1Н пад==Z 2 ( Н пад + Н отр ) − Z1Н падZ1 Н пад=Z 2 Z 2 Н отр+−1 =Z1Z1 Н падZ 2 Z 2 (−Е отр / Z1 )ZZ+− 1 = 2 + 2 r − 1.Z1 Z1 (Е пад / Z1 )Z1 Z1Из полученного уравнения r =r=Z2 Z2+r − 1 выразим r:Z1 Z1Z 2 − Z1.Z 2 + Z1(3.6)Аналогично можно получить выражение для коэффициентапрохождения по амплитуде:2 Z2t=.(3.7)Z 2 + Z1Запишем (3.6) и (3.7) через показатели преломления:n − n22 n1r= 1t=,.n1 + n 2n1 + n 2(3.8)Мы видим, что коэффициент прохождения t всегда больше нуля.

Это означает, что векторы Е прош и Е пад в каждый моментвремени имеют одинаковое направление (в непосредственнойблизости от границы раздела). Колебания в прошедшей и падающей волне происходят в одной фазе.Коэффициент отражения r принимает значения меньше нуляпри n 2 > n 1 . Это означает, что векторы Е отр и Е пад направлены противоположно. Их колебания вблизи границы раздела27происходят в противофазе. Если же n 1 > n 2 , то изменения фазыпри отражении не происходит.3.3.

Наклонное падение. Формулы Френеля.Рассмотрим плоскую волну, падающую на границу разделадвух сред под углом ϕ. Необходимо, как и в случае нормальногопадения, записать формулы для коэффициента отражения ипрохождения. Эти формулы позволяют находить комплексныеамплитуды полей отраженной и прошедшей волны, когда падающая волна задана.

Результирующие формулы зависят от поляризации падающей волны. Мы отдельно рассмотрим две ортогональные поляризации. В одном случае вектор Е перпендикулярен плоскости падения, в другом - параллелен плоскости падения. Ясно, что все другие типы поляризации можно рассматривать в виде суперпозиции решений, полученных для случаевперпендикулярной и параллельной поляризации.Будем использовать в качестве обозначения индексы⊥ - для величин в случае перпендикулярной поляризации,|| - для величин в случае параллельной поляризации.Дадим определения используемых понятий.Коэффициент отражения света по амплитуде для светаперпендикулярной поляризации:E отр ⊥r⊥ =.(3.9)Е пад⊥Коэффициент отражения света по амплитуде для светапараллельной поляризации:E отр ||.(3.10)r|| =Е пад ||Коэффициенты пропускания по амплитуде для светаперпендикулярной и параллельной поляризации:E прош ||E прош ⊥t⊥ =, t || =.(3.11)Е пад ⊥Е пад ||28Коэффициент отражения света по интенсивности:I отрR=.I пад(3.12)Коэффициент пропускания света по интенсивности:I прошT=.(3.13)I падПри этом:R + T =1 .(3.14)Относительный показатель преломления :nn 21 = 2 .n1(3.15)Формулы Френеля позволяют рассчитать коэффициентыотражения и пропускания:Z cosϕ − Z1cosψ cosϕ − n 21cosψsin(ϕ − ψ )r⊥ = 2==−, (3.16)Z 2 cosϕ + Z1cosψ cosϕ + n 21cosψsin(ϕ + ψ )t⊥ =2 Z 2 cosϕ2 cosϕ2 cosϕ ⋅ sinψ==, (3.17)Z 2 cosϕ + Z1cosψ cosϕ + n 21cosψsin(ϕ + ψ )Z cosϕ − Z 2 cosψn cosϕ − cosψtg(ϕ − ψ )r|| = 1= 21=,Z1cosϕ + Z 2 cosψn 21cosϕ + cosψtg(ϕ + ψ)t || =2 Z 2 cosϕ2 cosϕ==Z1 cosϕ + Z 2 cosψn 21 cosϕ + cosψ2 cosϕ ⋅ sinϕ=sin (ϕ + ψ ) ⋅ cos(ϕ − ψ ).(3.18)(3.19)Ранее найденные формулы (3.6-3.8) для нормального паденияявляются частным случаем формул Френеля.Можно показать, что для волны параллельной поляризациидля любых соотношений диэлектрических проницаемостей средкоэффициент отражения r|| при некотором угле падения меняетзнак, проходя через нуль.

Это означает, что отражение отсутст-29вует и происходит полное прохождение волны параллельнойполяризации во вторую среду.Угол падения, при котором происходит полное прохождение волны параллельной поляризации, называется угломБрюстера. Величина угла Брюстера ϕ бр находится из законаБрюстера:n2.(3.20)n1В случае падения неполяризованной волны под углом Брюстераотраженная волна будет полностью поляризованной, причемколебания в отраженной волне будут происходить в плоскости,перпендикулярной плоскости падения.Коэффициенты отражения и прохождения по интенсивности, найденные для случая, когда в падающей волне присутствует только одна - параллельная или перпендикулярная - поляризация:tg ϕ бр =22⎛ Z cosϕ − Z1 cosψ ⎞⎛ Z cosϕ − Z 2 cosψ ⎞R⊥ = ⎜ 2⎟ , R || = ⎜ 1⎟ (3.21)Zcosϕ+Zcosψ1⎝ Z1 cosϕ + Z 2 cosψ ⎠⎝ 2⎠T⊥ =4 Z1Z 2 cosϕ ⋅ cosψ(Z 2 cosϕ + Z1 cosψ) 2, T|| =4 Z1 Z 2 cosϕ cosψ(Z1 cosϕ + Z 2 cosψ ) 2(3.22)Если в падающей волне присутствуют как параллельная, таки перпендикулярная поляризации, коэффициенты отражения ипрохождения по интенсивности нужно рассчитывать по формулам (3.12) и (3.13).Интенсивность падающего, отраженного и прошедшего света:с n1I пад =( E пад⊥ 2 + E пад || 2 ) cos ϕ ,(3.23)2 Z0с n1I отр =( E отр ⊥ 2 + E отр || 2 ) cos ϕ ,(3.24)2 Z0сn2I прош =( E прош ⊥ 2 + E прош || 2 ) cos ψ ,(3.25)2 Z030где Z 0 =Z=μ0ε0≈ 377 Ом - волновое сопротивление вакуума,μ 0μ- волновое сопротивление среды.ε0εE пад⊥E падαРис.

3.3.E пад ||Если α - угол между направлениемколебанийвектора Епад в падающейволне и плоскостью падения (см. рис 3.3), то перпендикулярная и параллельнаясоставляющиевыражаются следующимобразомE пад⊥ = Е пад sin α ,(3.26)E пад || = Е пад cos α .Аналогичные соотношения можно записать для отраженной ипрошедшей волны. Необходимо помнить, что угол наклона вних будет другим: α отр и α прош .Если луч попадает из среды, оптически более плотной, всреду, оптически менее плотную ( n 1 > n 2 ), то возможно полноеотражение луча (полное внутреннее отражение). При этом лучне проходит во вторую среду, и угол преломления в 3.1 равеннулю ψ = 0 .