Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики (2009), страница 7

Для чего применяются лучевые матрицы?5.4. Как найти лучевую матрицу для сложной среды, состоящейиз сред, лучевые матрицы которых известны?5.5. Определите элементы A,B,C,D лучевой матрицы для луча,прошедшего через однородную среду длиной d и границураздела диэлектриков. Показатели преломления средn1 = 1 и n 2 .5.6.

Каким свойством обладает среда с квадратичным показателем преломления, описываемым формулой (5.9) при распространении в ней гауссова пучка?5.7. Ознакомьтесь с видом решения волнового уравнения длясреды с квадратичным показателем преломления. Ответьтена вопрос: какое решение называется модовым решением(или модой)?5.8. Перечислите особенности модовых решений для среды сквадратичным показателем преломления.50ЛЕКЦИЯ 6Распространение волн в направляющих структурах.6.1. Волны в неоднородной среде.Классификация волнВ следующих лекциях мы будем рассматривать волны, распространяющиеся в неоднородной среде, например волны, распространяющиеся вдоль идеально проводящей плоскости иливолны вдоль границы раздела двух диэлектриков. Выберем направление оси Oz вдоль границы раздела и будем рассматриватьраспространение неоднородных волн вдоль оси Oz. Неоднородные волны в отличие от однородных волн имеют не только поперечные, но и продольные компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного поля Е и Н.

Мы будем различать следующие типы волн:1. Н - волна. Имеет продольную магнитную компоненту H z .(Другое название: ТЕ - волна или поперечная электрическаяволна, то есть волна, у которой отсутствует продольнаякомпонента вектора Е.)2. Е - волна. Имеет продольную электрическую компонентуE z . (Другое название: ТМ - волна или поперечная магнитная волна, то есть волна, у которой отсутствует продольнаякомпонента вектора Н.)3. Гибридная волна. Представляет собой линейную комбинацию Н-волны и Е - волны.

В зависимости от того, какая продольная компонента преобладает, обозначается как НЕ- волна или ЕН- волна.Следует добавить, что в рамках данной классификации волна, распространяющаяся в однородном пространстве и неимеющая продольных компонент электрического и магнитногополя, называется поперечной волной или ТЕМ - волной.Можно показать, что при распространении неоднородныхволн вдоль границы раздела различных сред система уравненийМаксвелла (1.12 - 1.13) разделяется на две независимые системыиз трех уравнений, каждая из которых содержит компонентытолько Н-волны или Е-волны.

Поэтому мы будем рассматриватьотдельно распространение Н- и Е-волн, то есть волн перпенди-51кулярной и параллельной поляризации. Также будем использовать принцип перестановочной двойственности уравненийМаксвелла. Он заключается в следующем: если рассматриватьуравнения Максвелла в комплексной форме (1.17) и (1.18) приотсутствии сторонних токов, то заменаεε 0 → μμ 0 , μμ 0 → εε 0 , E → −H , H → E(6.1)сохраняет эту систему уравнений, причем первое уравнениепереходит во второе, а второе - в первое. В результате использования этого принципа можно находить коэффициенты отражения и прохождения для магнитных полей, зная соответствующие коэффициенты для электрических полей, а также можнонаходить выражения для Е-волны, зная выражения для Н-волны,наоборот.6.2. Плоский металлический волноводРассмотрим в простейшем случае двумерную систему.Пусть волна распространяется в направлении оси Oz междудвумя бесконечными идеально проводящими плоскостями, параллельными друг другу и оси Oz.

Между этими плоскостямиобразуется изолированный слой, в котором может распространяться Н- или Е-волна. Это и есть плоский металлический волновод (см. рис. 6.1). В реальности световоды имеют круглое сечение. Данный пример мы рассмотрим для того, чтобы уяснитьфизические принципы распространения волн в световодах.Металлический световод предxставлен на рис.

6.1. Он образовандвумя проводящими плоскостямиakx = a и x = −a . Заполняющая егоθсреда - вакуум. Выше отмечено,что Н- и Е-волны можно рассматzвакуум-aривать раздельно. Выберем длярассмотрения Н-волну, имеющуюРис. 6.1.компоненты H z , E x , E y .Исследуем плоскую монохроматическую волну с длиной волны λ. Волновой вектор k лежит52в плоскости xOz под углом θ к оси Oz. Зависимость от коорди∂= 0 . Вектор напряженности электриченаты y отсутствует:∂yского поля будем считать параллельным оси Oy:E y = E 0 e i ( ω t − k z cos θ − k x sin θ) .(6.2)В результате отражения от верхней плоскости появляется волнас комплексной амплитудой rE y , где r- коэффициент отражения:E y отр = r E 0 e i ( ω t − k z cos θ + k x sin θ) .(6.3)Коэффициент отражения r найдем из граничного условияE y = 0 при x = a .(6.4)e −i ka sin θ + r e i ka sin θ = 0 ,r = − e −2i ka sin θ .(6.5)Знак минус перед экспонентой показывает, что фаза отраженнойволны меняется на π.

В результате интерференции прямой и отраженной волн образуется полное поле, определяемое выражением:E полн = E 0 e i ( ω t −k z cos θ ) e −i k x sin θ − e −i k ( x − 2a ) sin θ . (6.6)Должно выполняться также граничное условие(6.7)E y = 0 при x = −a .()e i k a sin θ − e −2i k a sin θ e −i k a sin θ = 0 ,e −4ik a sin θ = 1 ,4ika sin θ = 2π m ,πmk sin θ =,(6.8)2aгде m=1, 2, 3 … (тривиальный случай m=0 не удовлетворяет условиям задачи).Введем понятия:χ = k sin θ - поперечное волновое число,(6.9)β = k cos θ - продольное волновое числоили постоянная распространения.(6.10)Тогда:53χ2 + β2 = k 2 .(6.11)Из (6.8) следует, что поперечное волновое число может принимать только дискретные значения, при которых может распространяться волна в световоде:πmχ=, m=1, 2, 3 …(6.12)2aВыразим продольное волновое число β из (6.11):β = k 2 − χ2 = k 2 −С учетом k =4a2.(6.13)ωεμ получим:cβ = k 1−π2m 24 a 2k 2= k 1−β = k 1−где ω крπ2m 2π2m 2c24 a 2 ω 2 εμили2ω кр,(6.14)ω2- критическая частота для волны с номером m,ω кр =πmc.(6.15)2 a εμРаспространение волны вдоль оси Oz описывается множителемe −ik z cos θ = e −i β .При выполнении условия ω > ω кр продольное волновоечисло β является действительным, что соответствует распространяющейся волне.

При ω < ω кр продольное волновое число βявляется чисто мнимым: β = ±ik2ω крω2− 1 . Этот случай соответ-ствует затухающей волне.Таким образом, в плоском металлическом световоде существует бесконечная последовательность решений, зависящих от54номера m. Каждое такое решение называется модой распространения. При этом m - номер моды.Рассмотрим полное поле в световоде:()E полн = E 0 e i (ω t −k z cos θ) e −i k x sin θ − e −i k ( x −2a ) sin θ =Или:= E0 ei ( ω t −β z )= E0 ei ( ω t −β z )(e(e−i χ x−e−i ( x −2 a ) χ−i ( π m / 2a ) x)=m i ( π m / 2a ) x− (−1) e).(6.16)πmx ) , если m − четное,2a(6.17)πmi ( ω t −β z )E полн = 2 E 0 ecos(x ) , если m − нечетное.2aТаким образом, в световоде вдоль оси Oz распространяется бегущая волна, а вдоль оси Ox - стоячая волна.

При этом соотношение (6.14) можно рассматривать как дисперсионное уравнение:π2m 2.(6.18)β2 = k 2 −4a2Найдем угол θ, под которым распространяется волна на заданной частоте. Из (6.8) получаем:E полн = −2i E 0 e i ( ω t −β z ) sin(sin θ =πmπmc, или=2a k 2a εμ ωsin θ =ω кр.(6.19)ωТак как критические частоты ω кр для мод с различными номерами разные (6.15), то и углы, под которыми распространяютсяразличные моды на одной и той же частоте, будут разными. Изформулы (6.19) видно, что с увеличением частоты наклон волнуменьшается. В пределе, когда частота ω очень велика или когда длина волны мала, получается волна, распространяющаясяпод углом θ ≈ 0 , то есть практически вдоль оси Oz.

Так и должно быть, поскольку отражающие стенки световода в данном55случае находятся очень далеко друг от друга, если расстояниеизмерять в длинах волн, следовательно, влиянием стенок можнопренебречь.При частотах, равных критическим ω кр1 , ω кр 2 , ω кр3 ,… ,появляется дополнительная мода. На частотах, равным критическим, угол θ = π / 2 , то есть волна является поперечной, и распространения нет.Фазовая скорость волны в металлическом световоде:vф =ωωω===β k cos θ k 1 − sin 2 θωk 1−2ωкр2ωс=n 1−2ωкр.(6.20)ω2ωкр зависит от номера моды m, значит,Критическая частотафазовая скорость тоже зависит от номера моды.Групповая скорость:2v гр =ω крdω c1− 2 .=dβ nω(6.21)Мы видим, что фазовая скорость может превышать скоростьсвета с, групповая же скорость всегда меньше с (см. рис.

6.2).vm=1m=2Рис. 6.2. Зависимостьфазовой и групповойскорости от частотыдля мод с различныминомерами.vфvфcv грω кр1v грω кр2ω56ВыводыПриведена классификация волн, распространяющихся в неоднородных средах. Рассмотрено распространение световыхволн в идеальном плоском металлическом световоде. Решениезадачи на распространение световых волн в рассмотреннойидеализированной модели позволяет подробно проследить возникновение модовых решений, рассчитать критическую частоту, вычислить фазовую и групповую скорость.

Простой и наглядный расчет параметров волн в плоском металлическом световоде поможет в дальнейшем понять особенности распространения волн в оптических волокнах.Вопросы и задачи6.1. В чем заключается принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла?6.2. Что такое поперечное и продольное волновое число дляплоского металлического световода? Какие значения может принимать поперечное волновое число?6.3. Как зависит продольное волновое число (или постояннаяраспространения) β от частоты? При каком условии волнаможет распространяться? При каком условии волна затухает?6.4. Что такое критическая частота?6.5.

Что такое мода?6.6. Как определяется угол, под которым распространяется волна на заданной частоте? От чего зависит этот угол?6.7. Чем отличаются друг от друга различные моды, распространяющиеся в плоском металлическом световоде на заданной частоте?6.8. Найдите угол, под которым распространяется в плоском металлическом световоде мода с номером 2.6.9. Как меняется угол, под которым распространяется волна,при увеличении частоты?6.10. Дайте определение фазовой и групповой скорости (см.лекцию № 2). Чему равны эти скорости в плоском металлическом световоде?57ЛЕКЦИЯ 7Плоский диэлектрический волновод7.1. Поведение мод при изменении частотыМы знаем, что в плоском металлическом световоде существует бесконечное множество решений уравнений Максвелла,зависящих от номера m.

Каждое такое решение называется модой. Каждой моде соответствует распространяющаяся волна.Какая же мода будет распространяться в световоде на заданнойчастоте? На каждой частоте может распространяться определенное число мод, для которых ω > ω кр . Общее решение уравнений Максвелла будет линейной комбинацией этих мод с коэффициентами, зависящими в основном от условий на концахсветовода, где подсоединяются излучатель и приемник излучения.При выполнении условияω кр1 ≤ ω < ω кр 2мы имеем одну моду распространения (одномодовый режим)(см. рис. 6.2). При более высоких частотах одновременно распространяется сразу несколько мод. Каждая мода имеет своюфазовую и групповую скорость, то есть является дисперсной.При распространении различные моды взаимодействуют друг сдругом, что в конечном итоге приводит к искажению сигнала.Поэтому теоретически выгодно работать как можно ближе к одномодовому режиму при сравнительно низких частотах.7.2.