Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики (2009), страница 5

Отсюда можно найти предельный угол падениялуча, соответствующий полному внутреннему отражениюnsin ϕ кр = 2 .(3.27)n1При полном отражении модуль коэффициента отражения по амплитуде равен единице, но меняется фаза волны:E отр || = Е пад || e31i δ||,(3.28)E отр⊥ = Е пад ⊥ e i δ⊥ ,где δ || и δ ⊥ - сдвиг фаз для волны параллельной и перпендикулярной поляризации соответственно при полном внутреннемотражении. При этомtgδ||2=sin 2 ϕ − n 212n 212 cos ϕ,(3.29)sin 2 ϕ − n 212δ.tg ⊥ =2cos ϕВыводыФормулы Френеля позволяют проводить расчет коэффициентов отражения и прохождения для волн параллельной и перпендикулярной поляризации при распространении света черезграницу раздела двух сред.Вопросы и задачи3.1.

Сформулируйте законы отражения и преломления света.3.2. Как определяется коэффициент отражения (преломления)света по амплитуде? О чем говорит отрицательной значение коэффициента отражения по амплитуде?3.3. Что такое угол Брюстера? Как его рассчитать?3.4. В чем заключается явление полного внутреннего отражениясвета? При каком соотношении между показателями преломлений сред наблюдается полное отражение?3.5. При каком значении угла падения θ луч, отраженный от поверхности воды, будет перпендикулярен к преломленному32ЛЕКЦИЯ 4Распространение света в неоднородных средах.Гауссовы пучки4.1. Уравнение эйконалаВ среде с однородным показателем преломления решениями уравнений Максвелла являются плоские волны.

В случаенеоднородной среды, когда n = n( x, y, z ) , таких решений в видеплоских волн не существует. Мы знаем, что однородная плоскаяволна, распространяющаяся в среде с показателем преломленияn в направлении, описываемом волновым вектором k, описывается следующими выражениями:Е(r ) = E 0 ⋅ e −i κ r ,(4.1)−i κ rH (r ) = H 0 ⋅ e,(4.2)где r - радиус-вектор рассматриваемой точки. Запишем волновой вектор в следующей форме:k = k0 n s ,(4.3)где k 0 = ω / c , с-скорость света в вакууме, s - единичный вектор, сонаправленный с волновым вектором k.

Тогда плоскиеволны (4.1-4.2) будут выглядеть так:Е(r ) = E 0 ⋅ e −i k 0 n (s, r ) ,(4.4)−i k 0 n (s, r )H (r ) = H 0 ⋅ e.(4.5)В случае неоднородной среды разумно предположить, чтоэлектромагнитное поле можно приближенно описать при помощи "локально" плоских волн (то есть их можно приближенносчитать плоскими в окрестностях данной точки):Е(r ) = E 0 (r ) ⋅ e −i k 0 S( r ) ,− i k 0 S( r )(4.6)H(r ) = H 0 (r ) ⋅ e,(4.7)где E 0 (r ) и H 0 (r ) -медленно меняющиеся амплитуды, зависящие от координат,S(r) - некоторая вещественная скалярная функция положения.Функция S(r) называется эйконалом.33Волновая поверхность - геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

С использованием понятия эйконал, волновая поверхность - это совокупность точек, удовлетворяющих условию:S(r ) = const .(4.8)Представление (4.6-4.7) в виде "локально" плоских волнсправедливо лишь при выполнении условия медленности изменения амплитуд поля:ΔEΔx,(4.9)<<EλΔHΔx<<.(4.10)HλЭто означает, что когда относительное изменение амплитудынапряженностей поля должны быть малы по сравнению с размерами системы Δx , выраженными в длинах волн λ .Таким образом, на каждом малом участке волну можно рассматривать как плоскую, то есть волновую поверхность можнозаменить частью плоскости, касательной к ней в рассматриваемой точке.

В результате мы приходим к концепции световыхлучей, направленных по нормали к волновой поверхности, тоесть к геометрической оптике.Если разложения (4.6-4.7) подставить в уравнения Максвелла для случая отсутствия сторонних токов и зарядов, получимтак называемое уравнение эйконала:grad S(r ) = n 2 (r ) ,22или2(4.11)2⎛ ∂s ⎞ ⎛ ∂s ⎞ ⎛ ∂s ⎞2⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ = n ( x, y, z ) .⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠Величина S(r) определяет световой луч в каждой точке волновой поверхности. Следовательно, уравнение эйконала являетсяосновным уравнением геометрической оптики.4.2. Распространение лазерных пучковСледующие несколько лекций посвящены проблемам распространения лазерных пучков в различных средах, так как лазеры широко применяются для передачи сигналов по оптоволо-34конным линиям связи.

Лазерный пучок, в отличие от бесконечных плоских волн, ограничен в поперечном направлении и уширяется по мере распространения. Лазерный пучок представляетсобой когерентное электромагнитное излучение, и его распространение описывается уравнениями Максвелла. Лазерный пучок имеет высокую степень монохроматичности, поэтому естественно по-прежнему предположить следующую временнуюзависимость:& =E& ei ωt ,E(4.12)m& =H& ei ωt .HmПо-прежнему, рассматриваем волны как решения уравненийМаксвелла (2.4):& + k 2 E& = 0 ,⎧⎪∇ 2 Emm⎨ 22& +k H& = 0.⎪⎩∇ Hmm4.3. Гауссовы пучки в однородной средеАктивнаясредаВыходной пучок(1)(2)OzРис.

4.1Рассмотрим лазер и генерируемый им пучок излучения (см.рис. 4.1). Цифрами (1) и (2) на рисунке обозначены плоскопараллельные зеркала, (1) - непрозрачное, (2) - полупрозрачноезеркало. Зеркала (1) и (2) составляют лазерный резонатор илирезонатор Фабри-Перо. Излучение, возникающее в активнойсреде, испытывает многократное отражение от зеркал. При каждом отражении от зеркала происходит дифракция.

После многократного отражения лазерное излучение выходит наружу через35зеркало (2), имея в результате дифракции гауссово распределение амплитуды и уширение вдоль оси Oz.Гауссовым пучком называется пучок, поперечное распределение напряженности электрического поля в котором определяется функцией Гаусса:r2(4.13)E( x , y) = E 0 exp( −),2 ω0 2где E 0 - амплитуда напряженности электрического поля на осипучка, r =x 2+ y2-есть расстояние от оси пучка в плоско-сти, перпендикулярной оси Oz, ω0 - радиус пучка в перетяжке.Рис. 4.2.

Распределение напряженности вгауссовом пучке вплоскости y=0 в зависимости от координаты x=r. Радиусомпучка ω 0 являетсятакое расстояние отоси. На котором амплитуда убывает в ераз по сравнению сосвоим значением наоси.EE0E0eω00xИнтенсивность пучка пропорциональна квадрату ам-плитуды I ~ E( x , y) 2функцией Гаусса:и описывается соответственно такжеI( x, y) = I 0 exp( −r2),ω0 2где Io- интенсивность на оси пучка.Перетяжка - самое узкое место пучка (см. рис. 4.3).36(4.14)ω0ω(z)Рис. 4.3. Ход лучей в гауссовом пучке в однородной среде.Здесь z=0 - плоскость перетяжки, пунктиром изображены волновые поверхности.Гауссов пучок в однородной среде является решением волнового уравнения:& + k 2E& =0 .∇ 2E(4.15)mmПри этом предполагается, что вдоль оси Oz фаза меняется линейно ~ exp(−ikz ).

Решение уравнения (4.15) для гауссовыхпучков в среде с цилиндрической симметрией получили Когельник и Ли:⎧⎪ωkr 2 ⎫⎪E( x , y, z) = E 0 0 ⋅ exp ⎨− i[kz − η( z)] − i⎬=2 q(z) ⎪⎭ω(z)⎪⎩. (4.16)⎫⎧⎪⎛⎞ω01ik⎟⎪⎬+= E0exp ⎨− i[kz − η(z)] − r 2 ⎜ 2⎜⎟⎪()ω(z)2Rz⎪⎩⎝ ω (z )⎠⎭Здесь q(z) - некоторый комплексный параметр;ω(z) - ширина распределения интенсивности или радиус пучка(см. рис.

4.3) :37⎛ z2 ⎞ω 2 (z) = ω02 ⎜1 + 2 ⎟ ,⎜ z ⎟0 ⎠⎝(4.17)πω02 n,λλ - длина волны, z - расстояние от перетяжки;R(z) - радиус кривизны волновой поверхности (см. рис. 4.3). Помере распространения вдоль оси Oz радиус кривизны R(z) меняется по закону:z0 =⎛z2 ⎞(4.18)R (z ) = z⎜1 + 02 ⎟ .⎜z ⎟⎠⎝На больших расстояниях от начала координат R совпадает срасстоянием от перетяжки до волнового фронта z. Это означает,что в дальней зоне волновой фронт гауссова пучка приближается к волновому фронту сферической волны, распространяющейся из точки, расположенной на оси пучка в месте его фокальнойперетяжки.Гауссов пучок — это практичеcки сферическая волна,идущая из центра и обладающая гауссовым распределением интенсивности в плоскости, перпендикулярной к направлениюраспространения.В фокальной перетяжке волна является плоской, но пространственно ограниченной эффективным размером ω0.

На2большом расстоянии от перетяжки (z>>π ω0 /λ) радиус пучкавычисляется по формуле:ω = λ z / π ω0 .(4.19)Рассмотрим картину распространения гауссова пучка(рис.4.4). Траектории лучей задаются гиперболами. Набольших расстояниях z от перетяжки гиперболические поверхности x 2 + y 2 = ω 2 , задающие траекторию лучей и направление распространения энергии, асимптотически стре-38мятся к коническим поверхностям. Половина угла при вершине такого конуса называется угловой расходимостьюпучка:(4.20)θ = ω/ z .z.

Тогда углоПри больших z из формулы (4.17): ω(z) = ω 0 ⋅z0вая расходимость пучка вычисляется по формуле:θ=ω(z) ω 0 z ω 0 ⋅ λλ===,2zz 0 z π ω 0 n πω0 n(4.21)где λ - длина волны, n - показатель преломления среды.гиперболаω(z)ω0ZЛазерплоскость перетяжкиРис. 4.4. Угловая расходимость θ гауссова пучка.Угловая расходимость зависит от длины волны и диаметра пучка в перетяжке. Выясним физический смысл параметра z 0 .Пусть координата вдоль оси Oz равна z 0 . Тогда из формулы(4.17) следует, что⎛z2 ⎞ω 2 (z) = ω 02 ⎜1 + 02 ⎟ ; ω 2 (z) = 2ω 02 ,⎜z 0 ⎟⎠⎝39ω(z) = 2ω 0 .(4.22)Значит, z 0 - это такое расстояние от перетяжки, на котором радиус пучка увеличивается в2 раз.ВыводыУравнение эйконала является основным уравнением геометрической оптики.

Оно позволяет решить задачу распространения световых волн в неоднородной среде в случае, когда относительное изменение амплитуды напряженностей поля должныбыть малы по сравнению с размерами системы Δx , выраженными в длинах волн λ .Гауссовы пучки формируются в лазерных резонаторах (в частности, в резонаторе полупроводникового лазера) в результатемногократного отражения излучения от зеркал. Распределениеинтенсивности излучения внутри пучка описывается функциейГаусса.Вопросы и задачи4.1. При каком условии можно описать поведение волн в неоднородной среде через эконал? Из какого уравнения определяется эйконал?4.2.

Что такое гауссов пучок? Где формируется гауссов пучок?4.3. Что такое перетяжка гауссова пучка?4.4. Как определяется угловая расходимость гауссова пучка?4.5. Найдите радиус кривизны волновой поверхности в перетяжке гауссова пучка.4.6. Найти угловую расходимость гауссова пучка в кварцевомстекле, если диаметр пучка в перетяжке равен 10 мкм.( n = 1,46 , λ = 1550 нм )40ЛЕКЦИЯ 5Гауссовы пучки в различных средах5.1. Гауссов пучок в линзоподобной среде. ЛучевыематрицыВо многих случаях приходится иметь дело с линзоподобнойсредой, показатель преломления которой изменяется по закону:k⎛⎞n 2 (z) = n 02 ⎜1 − 2 r 2 ⎟ ,(5.1)k⎝⎠где r - расстояние от оси z , ( r 2 = x 2 + y 2 ),n 0 - показатель преломления на оси Oz,k2 - некоторая постоянная, характеризующая среду, k - волновое число.Например, показатель преломления градиентных волоконприблизительно описывается выражением (5.1).