Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики (2009), страница 8

Плоский диэлектрический волноводРассмотрим диэлектрический световод в виде диэлектрической полосы толщиной 2а с диэлектрической проницаемостьюε1 и показателем преломления n 1 , заключенной между двумядиэлектрическими полупространствами с с диэлектрическойпроницаемостью ε 2 и показателем преломления n 2 . Будем следовать логике изложения, представленной в книге [2]. Пусть58ε 1 > ε 2 , то есть n 1 > n 2 . Это необходимо для того, чтобы врассматриваемом световоде могло выполняться условие полного отражения.хСреда 2ψn2k1Среда 1zn1Среда 2nθ2ϕθ2аk22Рис.

7.1. Одномерный диэлектрический световод.По-прежнему, рассмотрим Н-волну, имеющую компонентыH z , E x , E y . Это волна перпендикулярной поляризации. Волновой вектор k волны лежит в плоскости xOz под углом θ к оси∂= 0 . ПоOz. Зависимость от координаты y отсутствует:∂yпрежнему, продольное волновое число (постоянная распространения) в первой среде:β = k 1 cos θ ,(7.1)поперечное волновое число в первой среде:χ = k 1 sin θ .(7.2)На границе со средой 2 волна преломляется, при этом тангенциальная компонента волнового вектора остается постоянной, анормальная меняется:k 2 cos θ 2 = k 1 cos θ = β .(7.3)59Здесь k 2 cos θ 2 - поперечное волновое число в среде 2.Нам необходимо добиться случая полного внутреннего отражения, так как только в этом случае волна будет оставатьсявнутри световода.

Для этого должно выполняться следующееусловие для угла ϕ, который является углом падения на границураздела среды 1 и 2 (см. рис. 7.1):ϕ > ϕ кр ,(7.4)где ϕкр - угол полного отражения. Он находится из условия равенства 90 o угла преломления ψ:sin ϕ n 2=,sin ψ n 1sin ψ = sin 90 o = 1 , sin ϕ кр =n2.n1(7.5)Полное отражение может наблюдаться только при n 1 > n 2 . Еслирассмотреть связь углов: ϕ = 90 o − θ , можно записать эквивалентное (7.4) условие, при котором наблюдается полное отражение:θ < θ кр , где cos θ кр = n 2 / n 1 .(7.6)Что же происходит при углах падения, больших ϕкр ? Притаких углах падения sin ψ =n1sin ϕ > 1 .

Тогда cos ψ становитсяn2мнимым:cos ψ = 1 − sin 2 ψ = 1 −n 12n 22sin 2 ϕ = ± in 12n 22sin 2 ϕ − 1 .(7.7)Выберем знак "–" перед cos ψ , что соответствует отражению отплоскости x = a , знак "+" соответствовал бы отражению отплоскости x = −a . Итак:cos ψ = − in12n 22sin 2 ϕ − 1 = − in 12n 22cos 2 θ − 1 .Выразим k 2 sin θ 2 - поперечное волновое число во второй среде:60k 2 sin θ 2 =k 2 cos ψ = − i k 2где γ = k 2n 12n 22n 12n 22cos 2 θ − 1 = − i γ ,cos 2 θ − 1 .(7.8)(7.9)Запишем напряженность электрического поля во второй среде:E (y2) = E 0 e i (ω t − k 2 cos θ2 z − k 2 sin θ2 x ) = E 0 e − γ x e i (ω t −β z ) .(7.10)Из (7.10) видно, что неоднородная волна в среде 2 быстро затухает по экспоненциальному закону при удалении от границысветовода. Говорят, что во второй среде существует поверхностная волна.

Таким образом, во внешних средах световода имеем две экспоненциально затухающие волны. А внутри световодав среде 1 формально все происходит так же, как и в металлическом световоде. Суперпозиция падающей и отраженной волныдают бегущую волну вдоль оси Oz и стоячую волну вдоль осиOx:(1)(1)+ E отр=E (y1) = E пад= E 0 e i ( ω t −β z − k1 sin θ x ) + r E 0 e i ( ω t −β z + k1 sin θ x ).(7.11)Можно показать, что отражение волны от границы рассматриваемого диэлектрического световода соответствует отражению от металлической границы, расположенной на некоторомрасстоянии от границы раздела двух сред (см.

рис. 7.2).На рисунке 7.2. (1) и (2) xметаллические идеально прово(1) дящие плоскости. Если ввестиэти плоскости, внутри световоaда сохранится картина полей.Распространение волн междуz-aэтими плоскостями происходит(2) так же, как и в металлическомсветоводе,заполненном диэлектрической средой с поРис. 7.2.казателем преломления n 1 .61Получим дисперсионное уравнение для одномерного диэлектрического световода.k 12 = β 2 + χ 2 ,(7.12)k 22 = β2 − γ 2 .(7.13)Исключим β :k12 − χ 2 = k 2 2 + γ 2 ,k1 =ωωn1 , k 2 = n 2 ,ccχ2 + γ 2 =ω2c2(n 12 − n 2 2 ) .( 7.14)Запишем условие согласования фаз. Пусть δ ⊥ - фазовый сдвиг,возникающий при отражении от каждой границы раздела двухсред.

Рассмотрим полный сдвиг фазы при прохождении волныот нижней стенки до верхней и обратно. Он равен:k 1 ⋅ sin θ ⋅ x = 4a k 1 sin θ . Полный сдвиг фазы с учетом фазовогосдвига при отражении должен быть кратен 2π:4a k 1 sin θ + 2δ ⊥ = 2 π m .(7.15)Найдем фазовый сдвиг из формул 3.29:tg(n 22 / n 12) sin 2 ψ − n 22 / n 12sin 2 ϕ − n 22 / n 12δ⊥===2cos ϕcos ϕ=n 2 / n 1 sin 2 ψ − 1cos ϕδ ⊥ = −2 arctg(i= ±icos ψ,cos ϕn 2 cos ψγ) = − 2 arctg ( ) .n 1 cos ϕχ(7.16)Подставляя (7.16) в (7.15), получим дисперсионные уравнения:χ tgχa = γдля мод с номером m = 2p,(7.17)− χ ctgχa = γ для мод с номером m = 2p + 1.62Это трансцендентные уравнения, которые можно решить толькочисленными методами.

Подробности решения можно найти вкниге [2]. Нас же интересует то, что в диэлектрическом световоде, как и в металлическом, существует бесконечная последовательность решений, зависящих от номера m, то есть существуетбесконечная последовательность четных и нечетных мод.7.3. Поведение мод при изменении частоты.Критические частотыКритические частоты для диэлектрического световода находим так же, как и в металлическом световоде:πmχ=.2aТогда при γ = 0 из (7.14) следует:ωкр =πmc2 a n12 − n 2 2,(7.18)где m=0, 1, 2 … .

Если перейти к длине волны то критическаядлина волны рассчитывается следующим образом:4an12 − n 2 2 .(7.19)mМы видим, что, в отличие от металлического световода, здесьсуществует нулевая мода с номером m=0. Это означает, что длядиэлектрического световода нет частотного порога.Когда возникает новая мода распространения, мы имеемγ = 0 , откуда в силу формулы (7.10) cos θ = n 2 / n 1 , то есть уголθ - критический. В этом случае распространение волны возможно, так как мы находимся на пределе преломления. Но условиеγ = 0 означает, что волна полностью распространяется вне световода, то есть в среде 2.

При увеличении частоты величина γвозрастает, а угол θ убывает. Поле не так глубоко проникает вовнешнюю среду, и волна концентрируется внутри световода. Впределе, когда частота ω стремится к бесконечности, величинаλ кр =63γ также устремляется к бесконечности, θ = 0 , и волна полностью удерживается в среде 1.С точки зрения дисперсии в диэлектрическом световоде. каки в металлическом. желателен одномодовый режим. Для этогонеобходимо обеспечить условие:ω < ω кр1 .(7.20)максимальный размер такого одномодового световода в соответствии с (7.19) определяется выражением:(2a ) одномод ≤λn 12 − n 2 2.(7.21)Таким образом, можно получить одномодовый световод с поперечными размерами во много длин волн, если достаточномала разность показателей преломления Δn = n 1 − n 2 .

То жесамое будет показано для цилиндрических оптических волокон.Однако, из-за сложного характера дисперсии основной модыили по каким-либо причинам практического характера можетоказаться необходимым работать с многомодовом режиме иучитывать одновременно дисперсию каждой моды и многомодовые эффекты.ВыводыРассмотрена задача распространения световых волн в идеализированном плоском диэлектрическом световоде. В решениииспользованы результаты, полученные в прошлой лекции.

Получено условие одномодового режима, рассчитаны размеры световода, работающего в одномодовом режиме на данной длиневолны.Вопросы и задачи7.1. Что такое мода? (см. лекцию № 6 и 5)7.2. При каком условии в плоском металлическом световоде будет распространяться одна мода?647.3. Почему выгодно работать в одномодовом режиме?7.4.

Что такое Н-волна? (см. лекцию № 6)7.5. В чем заключается явление полного внутреннего отражения(см. лекцию № 3)7.6. Чем качественно отличается распространение волн в плоском диэлектрическом световоде от случая плоского металлического световода? Как зависит от координат напряженность электрического поля волны во внешней средепри выполнении условия полного отражения? Какой характер имеет волна во внешней среде при выполнении условия полного отражения?7.7. Как определяются критическая частота и критическая длинаволны для плоского диэлектрического световода? Что такое критическая частота? (см.

лекцию № 6)7.8. При каком условии в плоском диэлектрическом световодебудет распространяться одна мода?7.9. Каким образом можно увеличить размеры диэлектрическогосветовода, работающего в одномодовом режиме на даннойдлине волны?7.10. Найдите число мод, распространяющихся в плоском диэлектрическом световоде сразмерами сердцевины2a = 10 мкм на длине волны 0,85 мкм ( n 1 = 1,490 ,n 2 = 1,485 ).ЛЕКЦИЯ 8Оптические волокна8.1.

Типы оптических волоконВ следующих лекциях мы изложим основы, необходимыедля понимания явления распространения света в оптическихволокнах с учетом элементов теории оптики и электродинамики,представленных в лекциях 1-7.Оптическое волокно представляет собой внутреннюю диэлектрическую среду (кварц, стекло и др.), в которой содержится основная часть световой энергии, передаваемой по волокну, икоторая называется сердцевиной.

Сердцевина может быть окружена слоем с более низким показателем преломления, кото-65рый называется оболочкой. Для защиты от внешних воздействий и для повышения механической прочности сердцевина соболочкой может быть покрыта дополнительным слоем пластмассы.ОболочкаabСердцевинаРис. 8.1. Оптическое волокноСуществуют различные типы волокон.

Оптические волокнабез оболочки представляют собой просто стеклянную или кварцевую нить. Они хрупки и неэффективны. У них большие потери, поскольку на границе двух сред электрическое поле не равнонулю, а граница весьма несовершенна. Притом, чтобы такое волокно было одномодовым, его диаметр должен быть менее 1мкм (см. (7.21)). Такие волокна в настоящее время практическине применяются.Оптические волокна с оболочкой. Сердцевина в таких оптических волокнах покрыта оболочкой с более низким показателем преломления.