Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007)), страница 12

ãë. 11). ×èñëåííûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2.46)ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà; âñå èõ ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå66áîëüøèå ãðóïïû: ïðÿìûå è èòåðàöèîííûå.  áîëüøèíñòâå ìàøèííûõ ïðîãðàìì èñïîëüçóþòñÿ ïðÿìûå ìåòîäû, îáåñïå÷èâàþùèå ïîëó÷åíèå ðåøåíèÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ.Îñíîâíûå ïðîáëåìû, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ïðèèñïîëüçîâàíèè ïðÿìûõ ìåòîäî⠖ ýòî áîëüøàÿ ðàçðÿæåííîñòü ìàòðèöû Gy, ïðèâîäÿùàÿ ê áîëüøèì çàòðàòàì ìàøèííîãî âðåìåíè èáûñòðîå âîçðàñòàíèå îøèáîê îêðóãëåíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ ðåçóëüòàòîâ, ïðèâîäÿùèõ ê áîëüøèì ïîãðåøíîñòÿì.Äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ ïðîáëåì èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèèïðÿìûõ ìåòîäîâ, êîòîðûå ìîæíî ðàçáèòü íà òðè ãðóïïû: îáðàùåíèÿ ìàòðèöû Gy, ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû Gy íà ñîìíîæèòåëè èìåòîäû äëÿ ìàòðèö Gy ñïåöèàëüíîãî âèäà. Îñíîâíûì ìåòîäîì ïåðâîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ãàóññà è åãî ðàçíîâèäíîñòè.×èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ïî ìåòîäó ÃàóññàN » 2 (n 3 3 + 2n 2),ãäå n - ïîðÿäîê ìàòðèöû G ó .Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñëîæíîé ñõåìû ÷èñëî îïåðàöèé ìîæåò îêàçàòüñÿ î÷åíü áîëüøèì.

Äëÿ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ìåòîäà Ãàóññà èñïîëüçóþò ìåòîä ðàçðÿæåííûõ ìàòðèö.Ìåòîäû îáðàùåíèÿ ìàòðèöû Gy ïðèìåíÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî,äëÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ ñõåì, òàê êàê äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïàðà–1ìåòðà Gy òðåáóåòñÿ áîëüøå îïåðàöèé, ÷åì äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû(2.46) ìåòîäàìè ïåðâîé ãðóïïû. Êðîìå òîãî, ïðè ïðÿìîì îáðàùåíèè ìàòðèöû áûñòðî âîçðàñòàåò åå ðàçðÿæåííîñòü, ÷òî ñóùåñòâåííîñíèæàåò ýôôåêòèâíîñòü ýòîãî ìåòîäà.Ìåòîäû òðåòüåé ãðóïïû ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ìàòðèö óçëîâîé ïðîâîäèìîñòè ñïåöèàëüíîãî âèäà: ëåíòî÷íîãî, áëî÷íî-äèàãîíàëüíîãî èäð.

Ìàòðèöó Gy ëåíòî÷íîãî òèïà èìåþò, íàïðèìåð, ýëåêòðîííûåñõåìû êàñêàäíîé ñòðóêòóðû áåç îáðàòíûõ ñâÿçåé (ñì. ãë. 12).Ìåòîä Ãàóññà. Àëãîðèòì Ãàóññà ñîñòîèò èç ïðÿìîãî è îáðàòíîãî õîäîâ. Ïðÿìîé õîä âêëþ÷àåò ïîñëåäîâàòåëüíîå èñêëþ÷åíèåíåèçâåñòíûõ õ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.46). Ïðè ýòîì íà ïåðâîìøàãå ïîëó÷àåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ õ1:x1 = -a 12a 11x2 -a 13a 11x3 - K -a 1na 11x n + b1 .(2.47)Ïîäñòàâèâ õ1 âî âñå îñòàâøèåñÿ óðàâíåíèÿ, èñêëþ÷àåì èç íèõïåðåìåííóþ õ1, ÷òî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ êîýôôèöèåíòà àij â ýòèõóðàâíåíèÿõ.Íà âòîðîì øàãå îïðåäåëÿåòñÿ â ÿâíîé ôîðìå õ2, ïîñëå ÷åãî îíîèñêëþ÷àåòñÿ èç òðåòüåãî è ïîñëåäóþùèõ óðàâíåíèé è ò. ä. Ïðè÷åì,èñêëþ÷åíèå ïåðåìåííîé ïðèâîäèò ê ïåðåñ÷åòó êîýôôèöèåíòîâ ïîôîðìóëå)a ij = a ij - a ik akj akk , i = (k + 1), n .(2.48)67Ïðîöåäóðà èñêëþ÷åíèÿ ïðîèçâîäèòñÿ äëÿ âñåõ òîêîâ i.

 ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî õîäà ìàòðèöà À ïðåîáðàçóåòñÿ ê òðåóãîëüíîìóâèäó.Îáðàòíûé õîä ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ñîñòàâëÿþùèå èñêîìîãîâåêòîðà õ, íà÷èíàÿ ñ ïîñëåäíåãî ýëåìåíòà. Äåéñòâèòåëüíî, â ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî õîäà â ïîñëåäíåìï-ì óðàâíåíèè îñòàëàñü åäèí) )ñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ xn = bn a nn . Ïîñëå íàõîæäåíèÿ xn îïðåäåëÿåòñÿ èç (ï – 1) óðàâíåíèÿ xn –1 è ò. ä. Íà ðèñ. 2.22 èçîáðàæåíàñõåìà àëãîðèòìà ðàñ÷åòà ïî ìåòîäó Ãàóññà.Ìåòîä ðàçðÿæåííûõ ìàòðèö. Èäåÿ ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò âòîì, ÷òî åñëè ïðè ïðÿìîì õîäå Ãàóññà, õîòÿ áû îäèí êîýôôèöèåíò)(àik èëè àkj,) ðàâåí íóëþ, òî êîýôôèöèåíò aij ïî ôîðìóëå (2.48)ìîæíî íå ïåðåñ÷èòûâàòü, ÷òî ïðè âûñîêîé ñòåïåíè ðàçðÿæåííîñòèìàòðèöû À ìîæåò ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé. Ïðèýòîì òàêæå îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü õðàíèòü â ïàìÿòè ÝÂÌ íóëåâûå êîýôôèöèåíòû, ÷òî óìåíüøàåò çàòðàòû ìàøèííîé ïàìÿòè.Äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîé èäåè èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäûóïîðÿäî÷åíèÿ ìàòðèö, îáåñïå÷èâàþùèå ìèíèìàëüíûé îáúåì âû÷èñëåíèé.

Ïðîñòåéøèì èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé: ñòðîêè ñìåíüøèì ÷èñëîì íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ âûøåñòðîê ñ áîëüøèì ÷èñëîì íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ.Ïóñòü ñòðîêè è ñòîëáöû ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé Góðàñïîëàãàþòñÿ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íîìåðîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ èìóçëîâ. Òîãäà äëÿ ìèíèìèçàöèè îáúåìà âû÷èñëåíèé íóìåðàöèþ óçëîâ íåîáõîäèìî ïðîèçâîäèòü â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ êîëè÷åñòâà íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ â ñòðîêå. Ïðè ýòîì îáúåì âû÷èñëåíèé áóäåò ðàâåí:N » 13 n ,ò. å.

ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé ÷èñëà óçëîâ ï = nó â ýêâèâàëåíòíîé ñõåìå öåïè.Ìåòîäû îáðàùåíèÿ ìàòðèöû óçëîâîé ïðîâîäèìîñòè. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ìåòîäîâ ðåøåíèå ñèñòåìû (2.46) èùåòñÿ â âèäåx = A -1B .(2.49)Íà ðèñ. 2.23 èçîáðàæåíà ñõåìà àëãîðèòìà ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïî ìåòîäó îáðàùåíèÿ óçëîâîé ïðîâîäèìîñòè.Êðîìå ìîäåëåé èíäóêòèâíûõ è åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ â âèäå(1.8) è (1.11) â ïîñëåäíåå âðåìÿ â ïðîãðàììàõ ìàøèííîãî àíàëèçàýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé íàøëè ïðèìåíåíèå äèñêðåòíûå ìîäåëè L- èÑ-ýëåìåíòîâ, îñíîâàííûå íà íåÿâíûõ ìåòîäàõ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ [1]. Òàê, çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé xn +1 â ñîîòâåòñòâèè ñíåÿâíîé ôîðìóëîé Ýéëåðà ìîæíî çàâèñàòü êàêx- xnxn +1 = n +1,Dt68Íà÷àëîk=1Ïðÿìîé õîäi=k+1m = a ik akk ; aik = 0;j = k +1a ij = a ij - makjj=níåòj = j +1äàbi = bi - mbki =näàk = n -1íåòíåòi = i +1k = k +1x n = bn a n ; i = n - 1Âûâîä x nÎáðàòíûé õîäj = i + 1; s = 0s = s - aij x jj=níåòj = j +1äàx i = ( bi - s ) a iiÂûâîä x ii =1íåòi = i -1äàÊîíåöÐèñ.

2.2269à òàê êàê ñîãëàñíî (1.12) iC = CduC/dt, òî äëÿ òîêà iC â ìîìåíòt = tn +1 ìîæíî çàïèñàòü:CCin +1 =un +1 u n = Gun +1 - Gu n ,DtDtãäå Dt = tn +1 – tn , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåçèñòèâíîé ñõåìå çàìåùåíèÿåìêîñòíîãî ýëåìåíòà, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.23, à, ãäå G=C/Dt;iã = Gun.Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü äèñêðåòíóþ ìîäåëü äëÿ ýëåìåíòàèíäóêòèâíîñòè:Íà÷àëîÂâîä ñõåìûÔîðìèðîâàíèå èñõîäíûõìàòðèö A 0 ,G B ,E, JÔîðìèðîâàíèå ìàòðèöûG y = A 0G B A T0Ôîðìèðîâàíèå ìàòðèöûJ y = A 0(J - G BE)Îáðàùåíèå ìàòðèöûGyÎïðåäåëåíèå ìàòðèöûVy = G -y1J yÎïðåäåëåíèå ìàòðèöûVB = A T0 VyÎïðåäåëåíèå ìàòðèöûI B = G B (VB + E)ÊîíåöÐèñ.

2.2270in + 1un + 1in + 1G = Ñ/Dti ã = Ñ/Dt u ëà)un + 1G= Dt/Liã = iíá)Ðèñ. 2.24in +1 =DtDtun +1 u n = Gun +1 - Gu n ,LLãäå G = Dt/L.Íà ðèñ. 2.24, á ïîêàçàíà ýêâèâàëåíòíàÿ äèñêðåòíàÿ ñõåìà çàìåùåíèÿ L-ýëåìåíòà.Èñïîëüçîâàíèå äèñêðåòíûõ ìîäåëåé ýëåìåíòîâ ïîçâîëÿåò ñâåñòèRLC-öåïü ê ñîîòâåòñòâóþùåé ðåçèñòèâíîé öåïè, ÷òî ñóùåñòâåííîóïðîñòèò èõ ìàøèííûé àíàëèç.Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè1. Ïðèíöèï ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé ìåòîäîì çàêîíîâ Êèðõãîôà.2. Êàêèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè ïðè ïåðåõîäåîò ñîåäèíåíèÿ «òðåóãîëüíèêà» â «çâåçäó» è îáðàòíî?3. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî ÷àñòè÷íûõ ñõåì ïðè ðàñ÷åòå òîêîââ öåïè ìåòîäîì íàëîæåíèÿ?4. Êàêèå çàêîíû Êèðõãîôà èñïîëüçóþòñÿ ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ïî ìåòîäàì êîíòóðíûõ òîêîâ è óçëîâûõ íàïðÿæåíèé?5.

Ðàññ÷èòàòü òîêè âåòâåé â öåïè ðèñ. 2.26 ìåòîäàìè íàëîæåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà, êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, åñëèèçâåñòíî, ÷òî: Uã1 = 5 Â; Uã3 = 10 Â; J = 0,5 À; R1 = R2 = R3 == 10 Îì.Îòâåò: I1 = 0,5 À; I2 = 0 À; I3 = 1 À.6. Êàêèå òåîðåìû èñïîëüçóþòñÿ ïðè îïðåäåëåíèè òîêà â îòäåëüíîâçÿòîé âåòâè ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà?7. Ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà â öåïè ðèñ. 2.24 îïðåäåëèòüñîïðîòèâëåíèå R5, êîãäà â íåì âûäåëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿìîùíîñòü, åñëè U = 3 Â; J = 0,5 À; R1 = R2 = R3 = R4 == 2 Îì.Îòâåò: R5 = 3,33 Îì; Ð = 216 ìÂò.8.  ñîãëàñîâàííîì èëè íåñîãëàñîâàííîì ðåæèìå ðàáîòàþò âûñîêîòî÷íûå àòòåíþàòîðû è ïî÷åìó?71Uã3R1R4+++U ã1I1R2I2Ðèñ. 2.25JR3I3JR1 R2R3UR5Ðèñ. 2.269. Îïðåäåëèòü â àòòåíþàòîðå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ.

2.15, ðåçèñòîðû R1 è R2, åñëè èçâåñòíî ÷òî R0 = 50 Îì; Ê = 0,1.Îòâåò: R1 = 450 Îì; R2 = 5,55 Îì.10. ×åì îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ïåðåäà÷è ìàñøòàáíûõ óñèëèòåëåé, âêëþ÷åííûõ ïî èíâåðòèðóþùåé è íåèíâåðòèðóþùåéñõåìàì?11. Äëÿ êîíâåðòîðà îòðèöàòåëüíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, èçîáðàæåííîãîíà ðèñ. 2.21, îïðåäåëèòü R1, åñëè Râõ = 1 êÎì; Rí = 50 Îì;R2 = 500 Îì.Îòâåò: R1 = 25 Îì.12.  ÷åì îñîáåííîñòè àëãîðèòìîâ àíàëèçà ëèíåéíûõ ðåçèñòèâíûõöåïåé íà ÝÂÌ ìåòîäîì óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ?ÃËÀÂÀ 3. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÖÅÏÈ ÐÅÆÈÌÅ ÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÈ3.1. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿè îïðåäåëåíèÿÝëåêòðè÷åñêèå öåïè ìîãóò íàõîäèòüñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ïîñòîÿííûõ èëè ïåðåìåííûõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ. Ñðåäè ýòèõ âîçäåéñòâèé âàæíåéøóþ ðîëü èãðàþò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.

Ïîñëåäíèåøèðîêî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ è ýëåêòðè÷åñêîéýíåðãèè, à òàêæå ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ â êà÷åñòâå ïðîñòåéøåãî èñïûòàòåëüíîãî ñèãíàëà. Èññëåäîâàíèå ðåæèìà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé âàæíî è ñ ìåòîäè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ïîñêîëüêó àíàëèç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ ìîæíî ñâåñòèê àíàëèçó öåïè îò ñîâîêóïíîñòè ãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé. Âýòîì ñìûñëå ìåòîäèêó àíàëèçà è ðàñ÷åòà öåïåé ïðè ãàðìîíè÷åñêèõâîçäåéñòâèÿõ ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü è íà öåïè ïðè ïåðèîäè÷åñêèõíåñèíóñîèäàëüíûõ, à òàêæå íåïåðèîäè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ (ñì.ãë. 5, 9).72Ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå i (t)(ðèñ. 3.1) õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ïàðàìåòðàìè: àìïëèòóäîé Iò; óãëîâîé ÷àñòîòîé w,íà÷àëüíîé ôàçîé ji.

Àìïëèòóäîéíàçûâàþò ìàêñèìàëüíîå àáñîëþòíîåçíà÷åíèå òîêà i (t). Àíàëèòè÷åñêèãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäåi(t)ImTj i /wtÐèñ. 3.1i ( t ) = Im sin ( wt + ji ) = Im sin Y i ( t )(3.1)ãäå Yi (t) = wt + ji – íàçûâàåòñÿ òåêóùåé ôàçîé (èëè ïðîñòî ôàçîé)ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ, òàê êàê îíà ðàñòåò ëèíåéíî âî âðåìåíè ñóãëîâîé ñêîðîñòüþ w = dYi /dt. Âìåñòî ôîðìóëû (3.1) ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ìîæíî âûðàçèòü è â êîñèíóñîèäàëüíîé ôîðìå:i ( t ) = Im cos ( wt + j¢i ) ,(3.2)ãäå ji¢ = ji +p/2.Íàèìåíüøèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî çíà÷åíèÿôóíêöèè i (t) ïîâòîðÿþòñÿ, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì Ò. Ìåæäó ïåðèîäîì Ò è óãëîâîé ÷àñòîòîé w ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ñâÿçü:T = 2p w .(3.3)Âåëè÷èíó, îáðàòíóþ ïåðèîäó, íàçûâàþò öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé: f = l/T. Èç âûøåèçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî w = 2pf.