Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007)), страница 10

2.8, à.  ñîîòâåòñòâèèñ íàïðàâëåíèåì òîêîâ ñòðîèì íàïðàâëåííûé ãðàô öåïè (ðèñ. 2.8, á) è äåðåâîãðàôà (ðèñ. 2.8, â). Ïîäñîåäèíÿÿ ê äåðåâó õîðäû (íà ðèñ. 2.8, ã îáîçíà÷åíûïóíêòèðîì), ïîëó÷àåì òðè íåçàâèñèìûõ êîíòóðà. Âûáðàâ íàïðàâëåíèå îáõîäàêîíòóðîâ I, II è III, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì, èçëîæåííûì â § 1,3, ñòðîèìêîíòóðíóþ ìàòðèöó1 -1 0 0 -1 0 = 0 1 -1 1 0 0 .0 0 0 -1 1 -1Ìàòðèöà ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé Râ áóäåò èìåòü âèäR1 000 R2 000 R3Râ =000000000000R4000000R50000.00R6Íàéäåì ìàòðèöó êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé:(R1 + R 2 + R 5 ) - R 2 - R 5R ê = BR âB = - R 2 (R 2 + R 3 + R 4 ) - R 4 .- R 5 - R 4 (R 4 + R 5 + R 6 )òÌàòðèöó êîíòóðíûõ çàäàþùèõ íàïðÿæåíèé íàéäåì ñîãëàñíî (2.22)U ê = BU ãâU ã1 + U ã5U ã11 -1 0 0 -1 0= 0 1 -1 1 0 0 ´ -U ã3 =.U ã30 0 0 -1 1 -1-U ã5-U ã5Ïîäñòàâèâ Uê è Rê â óðàâíåíèå (2.23), ïîëó÷èì óðàâíåíèå êîíòóðíûõ òîêîââ ìàòðè÷íîé ôîðìå.

Ïîñëå íàõîæäåíèÿ Iê òîêè âåòâåé îïðåäåëèì ñîãëàñíî (2.20)Iê11 0 0I-1 1 0ê2 - I ê1Iê1- Iê20 -1 0I â = B òI ê =´ Iê2 =.0 1 -1Iê2 - Iê3Iê3-1 0 1Iê3 - Iê10 0 -1- Iê352U ã1R1I1R21R3I2312043252R6I6I4+1U ã5+R4Uã 3I3R5I50+11a)21546I220325III4II333á)â)ã)6Ðèñ. 2.8Äëÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé âàæíóþ ðîëü èãðàåò ïðèíöèï âçàèìíîñòè (òåîðåìà îáðàòèìîñòè). Îí ãëàñèò: åñëè èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ, ïîìåùåííûé â êàêóþ-ëèáî âåòâü l ïàññèâíîé ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, âûçûâàåò â äðóãîé âåòâè kòîê îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ, òî ýòîò æå èñòî÷íèê, áóäó÷è ïîìåùåííûé â âåòâü k, âûçûâàåò â âåòâè l òîê ñ òåì æå çíà÷åíèåì.

Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî ïðèíöèïà ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èçóðàâíåíèé (2.14) è (2.15) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî Dlk = Dkl.2.5. Ìåòîä óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâÌåòîä óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ (óçëîâûõ íàïðÿæåíèé) ÿâëÿåòñÿíàèáîëåå îáùèì è øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõöåïåé, â ÷àñòíîñòè, â ðàçëè÷íûõ ïðîãðàììàõ àâòîìàòèçèðîâàííîãîïðîåêòèðîâàíèÿ ýëåêòðîííûõ ñõåì.Ìåòîä óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ áàçèðóåòñÿ íà ÇÒÊ è çàêîíå Îìà.Îí ïîçâîëÿåò ñíèçèòü ÷èñëî ðåøàåìûõ óðàâíåíèé äî âåëè÷èíû, îïðåäåëÿåìîé ðàâåíñòâîì (1.14).  îñíîâå ýòîãî ìåòîäà ëåæèò ðàñ÷åòíàïðÿæåíèé â (ny – 1)-ì óçëå öåïè îòíîñèòåëüíî áàçèñíîãî óçëà. Ïîñëå ýòîãî íà îñíîâàíèè çàêîíà Îìà íàõîäÿòñÿ òîêè èëè íàïðÿæåíèÿ âñîîòâåòñòâóþùèõ âåòâÿõ.

Ðàññìîòðèì ñóùíîñòü ìåòîäà óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ íà ïðèìåðå ðåçèñòèâíîé öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.9, à.Ïðèìåì ïîòåíöèàë V3 = 0 (áàçèñíûé óçåë) è ñ ïîìîùüþ (1.31) ïðåîáðàçóåì èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ â ýêâèâàëåíòíûå èñòî÷íèêè òîêà53R4I4U ã21+ I1U ã1G4I4Iã2R2+I2I5R5+I5R1I212G2I1U ã3R3I2Iã 1U1I5G1G5I ã3I5I32U2G3I333a)á)Ðèñ.

2.9(ðèñ. 2.9, á); ãäå Iã1 = Uã1G1; Iã2 = Uã2G2; Iã3 = Uã3G3; G1 == 1/R1; G2 = 1/R2; G3 = 1/R3; G4 = 1/R4; G5 = 1/R5.Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ äëÿ óçëîâ 1 è 2 ïî ÇÒÊ:- I1 + I2 - I 4 + I5 = 0; I 4 + I3 - I2 = 0 .(2.24)Êàæäûé èç ýòèõ òîêîâ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç óçëîâûå ïîòåíöèàëû è òîêè Iã1, Iã2, Iã3:I1 = Iã1 - V1 G1; I2 = Iã 2 - ( V2 - V1 ) G2;I3 = Iã 3 + V2 G 3; I 4 = ( V2 - V1 ) G 4; I1 = V1 × G5.Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèå (2.24), ïîëó÷èì ïîñëåãðóïïèðîâêè ÷ëåíîâ ïðè V1, V2 è ïåðåíîñå Iã1, Iã2, Iã3 â ïðàâóþ÷àñòü:(G 1 + G 2 + G 4 + G 5 ) V1 - (G 2 + G 4) V2 = Iã1 - Iã2, ü(2.25)ý-(G 2 + G 4) V1 + (G 2 + G 3 + G 4 ) V2 = Iã2 - Iã3.þÂâåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:G 11 = G 1 + G 2 + G 4 + G 5; G 22 = G 2 + G 3 + G 4;G 12 = G 21 = G 2 + G 4; Ió1 = Iã1 - Iã2; I ó2 = Iã2 - Iã3.Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.25) ïðèìåò âèäG 11V1 - G 12V2 = I ó1, ü-G 21V1 + G 22V2 = I ó2.

ýþ(2.26)Ïðîâîäèìîñòè G11 è G22 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àðèôìåòè÷åñêóþñóììó ïðîâîäèìîñòåé âñåõ âåòâåé, ïîäñîåäèíåííûõ ñîîòâåòñòâåííîê óçëàì 1 è 2; îíè íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè ïðîâîäèìîñòÿìè óçëîâ 1 è 2. Ïðîâîäèìîñòè G12 = G21 ðàâíû àðèôìåòè÷åñêîé ñóììåïðîâîäèìîñòåé âñåõ âåòâåé, âêëþ÷åííûõ ìåæäó óçëàìè 1 è 2, è íà54çûâàþòñÿ âçàèìíûìè ïðîâîäèìîñòÿìè óçëîâ 1 è 2. Àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó çàäàþùèõ òîêîâ Ió1 è Ió2 èñòî÷íèêîâ òîêà ïîäêëþ÷åííûõ ñîîòâåòñòâåííî ê óçëàì 1 è 2 íàçûâàþò çàäàþùèìè óçëîâûìèòîêàìè óçëîâ 1 è 2. Çàäàþùèå òîêè èñòî÷íèêîâ â àëãåáðàè÷åñêîéñóììå áåðóòñÿ ñî çíàêîì «+», åñëè ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå çàäàþùåãî òîêà èñòî÷íèêà îðèåíòèðîâàíî ê ñîîòâåòñòâóþùåìó óçëó,è «–», åñëè îò óçëà. Íàïðèìåð, äëÿ óçëîâîãî òîêà Ió1 ñî çíàêîì«+» áåðåòñÿ òîê Iã1, òàê êàê îðèåíòèðîâàí ïî íàïðàâëåíèþ ê óçëó1, è çíàê «–» áåðåòñÿ äëÿ Iã2, òàê êàê îí îðèåíòèðîâàí îò óçëà 1.Ðåøèâ ñèñòåìó (2.26) îòíîñèòåëüíî V1 è V2 îïðåäåëèì óçëîâûåïîòåíöèàëû öåïè.

Èñêîìûå òîêè íàõîäèì ïî çàêîíó Îìà.Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî îáîáùèòü íà ïðîèçâîëüíóþ ðåçèñòèâíóþ ñõåìó ñ ï óçëàìè. Åñëè ïðèíÿòü ï-é óçåë çà áàçèñíûé, òîñèñòåìà óðàâíåíèé ïî ìåòîäó óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ ïðèîáðåòàåò âèäG 11V1 - G 12V2 - K - G 1(n -1)V(n -1) = Ió1;üïï-G 21V1 + G 22V2 - K - G 2(n -1)V(n -1) = I ó2;ý. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .ï-G (n -1)1V1 - G (n -1) 2V2 - K + G (n -1)(n -1)V(n -1) = I ó(n -1), ïþ(2.27)ãäå Ió1, Ió2, ... , Ió(n –1), – çàäàþùèå óçëîâûå òîêè â óçëàõ 1, 2,...,(n – 1).Ðåøåíèå ñèñòåìû (2.27) ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ îïðåäåëèòåëåéV1 = D 1 D G ; V2 = D 2 D G ; K ;V(n -1) = D (n -1) D G ,ãäå îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (2.27)DGG 11 - G 12 - K - G 1(n -1)-G 21 + G 22 - K - G 2(n -1).=. . .

. . . . . . . . . . . . . .-G (n -1)1 - G (n -1) 2 - K + G (n -1)(n -1)(2.28)Îïðåäåëèòåëè D1, D2, ... , D(n –1), íàõîäÿòñÿ ïóòåì çàìåíû ñîîòâåòñòâóþùåãî ñòîëáöà â (2.28) çàäàþùèìè óçëîâûìè òîêàìè Ió1,Ió2, ... , Ió(n –1). Ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëè D1, D2, ... , D(n –1) ïî ýëåìåíòàì 1, 2, ... , (n – l)-ão ñòîëáöà, ïîëó÷àåì ïî àíàëîãèè ñ (2.14)óðàâíåíèÿ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé:V1 =1DGn -1ål =1I ól D l1; V2 =K Vn -11=DGn -11DGn -1å I ól D l 2 ; Kl =1(2.29)å Iól D l (n -1).l =1Èç óðàâíåíèé (2.29) òàê æå êàê èç óðàâíåíèé (2.14), ñëåäóåò,÷òî óçëîâûå ïîòåíöèàëû îïðåäåëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñóììîé55R1R3÷àñòè÷íûõ óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ,îáóñëîâëåííûõ äåéñòâèåì êàæäîãîI1 I2çàäàþùåãî óçëîâîãî òîêà â îòäåëü+Uíîñòè, ò.

å. êàê è â ìåòîäå êîíòóðR2J3U ã1 1R4íûõ òîêîâ óðàâíåíèÿ (2.29) îòðàæàþò ïðèíöèï íàëîæåíèÿ, õàðàêòåðíûé äëÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè2÷åñêèõ öåïåé.Ðàññìîòðåííûé ìåòîä ñîñòàâëåÐèñ. 2.10íèÿ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ñïðàâåäëèâè ïðè íàëè÷èè â öåïè çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ òèïà ÈÒÓÒ è ÈÒÓÍ. Âöåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.10, ñîäåðæèòñÿ êðîìå íåçàâèñèìîãî èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ Uã1 çàâèñèìûé ÈÒÓÍ ñ çàäàþùèì òîêîì J3 == HGU1. Îïðåäåëèì òîêè â öåïè ìåòîäîì óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ. ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì ìåòîäîì ïðèìåì çà áàçèñíûé óçåë V2 = 0. Òîãäà äëÿ óçëà 1 ïîëó÷èì1i3V1 (G 1 + G 2 + G 3,4 ) = U ã1G1 - J3 = U ã1G 1 - HGV1 .Îòñþäà íàõîäèìV1 = U ã1G 1 (G 1 + G 2 + G 3,4 + HG ); I1 = (U ã1 - V1)G 1;I2 = V1G 2; I3 = V1G 3,4,ãäå G1 = 1/R1; G2 = 1/R2; G3,4 = 1/(R3 + R4).Çàïèøåì óðàâíåíèå ïî ìåòîëó óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Óìíîæèì ýëåìåíòû ðåäóöèðîâàííîé ñòðóêòóðíîéìàòðèöû A0 íà ïîòåíöèàëû V ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâ, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìàòðèöó íàïðÿæåíèÿ âåòâåé:U â = À 0ò Vó .(2.30)Óìíîæèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (2.17)íà ìàòðèöó A0 è ó÷èòûâàÿ ÇÒÊ â ìàòðè÷íîé ôîðìå (1.18) è ðàâåíñòâî (2.30), ïîëó÷èìÀ 0G â À 0ò Vó = - À 0G âU ãâ .(2.30a)À 0G â À 0ò = G ó ,(2.31)- À 0G âU ãâ = I ó ,(2.32)Ó÷òÿ, ÷òîïîëó÷èì ìàòðè÷íóþ ôîðìó óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ:G ó Vó = I ó ,(2.33)ãäå Gy – êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé, Ió – ìàòðèöà-ñòîëáåö óçëîâûõ òîêîâ.56Ïðèìåð.

Ñîñòàâèì óðàâíåíèå óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ â ìàòðè÷íîé ôîðìåäëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.8, à. Ïðèìåì çà áàçèñ íóëåâîé óçåë V0 = 0.Ñòðóêòóðíàÿ ìàòðèöà À0 â ýòîé öåïè â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì, èçëîæåííûìâ § 1.3, èìååò âèä1 1 1 0 0 0À 0 = -1 0 0 0 -1 -1 .0 0 -1 -1 0 1Ìàòðèöó óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé íàéäåì ñîãëàñíî (2.31)G1000000 G200001 1 1 0 0 000000G3G ó = À 0G â À 0ò = -1 0 0 0 -1 -1 ´´000 G4000 0 -1 -1 0 10000 G5000000 G61 -1 01 0 0(G1 + G 2 + G 3 ) - G1 - G 31 0 -1´= -G1 (G1 + G5 + G6 ) - G6 ,0 0 -1-G 3 - G6 (G 3 + G 4 + G6 )0 -1 00 -1 1ãäåG1 = 1 R1; G2 = 1 R 2; G3 = 1 R 3 ; G 4 = 1 R 4 ; G5 = 1 R 5 ; G6 = 1 R 6 .Ìàòðèöà óçëîâûõ òîêîâ îïðåäåëÿåòñÿ èç (2.32):I ó = - À 0G âU ãâ =-U ã1G1 + U ã3G 3U ã1G1 - U ã5G5 .-U ã3G3Ïîäñòàâèâ Gy è Iy â (2.33), ïîëó÷èì óðàâíåíèå óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ â ìàòðè÷íîé ôîðìå.

Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû óçëîâûõïîòåíöèàëîâ Vy íàéäåì ìàòðèöó íàïðÿæåíèé âåòâåé ñîãëàñíî(2.30) è òîêè âåòâåé ïî çàêîíó Îìà (2.17).Äëÿ ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé â (2.23) èëè (2.33) îáû÷íîèñïîëüçóþò ÝÂÌ (ñì. § 2.7).2.6. Ìåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðàÌåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà áàçèðóåòñÿ íà òåîðåìå îá àêòèâíîì äâóõïîëþñíèêå (ñì.

§ 1.8) è ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü ðåøåíèåìíîãèõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïåðåäà÷åé ñèãíàëîâ è ýëåêòðè÷åñêîéýíåðãèè îò èñòî÷íèêà ê ïðèåìíèêó. Ïðè ýòîì îáû÷íî èñòî÷íèêðàññìàòðèâàåòñÿ êàê àêòèâíûé äâóõïîëþñíèê ñ èçâåñòíûìè çàäàþùèìè íàïðÿæåíèÿìè Uã èëè òîêîì Iã è âíóòðåííèìè ñîïðîòèâëåíèåì Rã èëè ïðîâîäèìîñòüþ Gã, à ïðèåìíèê – êàê ïàññèâíûé5712uÀ1¢1a)2Ï2¢12RãRí+Uã1¢JãGã2¢Gí1¢á)2¢â)Ðèñ. 2.11äâóõïîëþñíèê ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì íàãðóçêè Rí èëè ïðîâîäèìîñòüþ Gí (ðèñ. 2.11).Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà ïåðåäà÷è, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 2.11, àìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ ñõåì: ñ èñòî÷íèêîì íàïðÿæåíèÿ (ðèñ.

2.11, á) è ñ èñòî÷íèêîì òîêà (ðèñ. 2.11, â). ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìàìè Òåâåíèíà è Íîðòîíà (ñì. § 1.8) çàäàþùåå íàïðÿæåíèå ãåíåðàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ êàê íàïðÿæåíèå õîëîñòîãî õîäà íà ðàçîìêíóòûõ çàæèìàõ àêòèâíîãî äâóõïîëþñíèêàUã = Uxx, à çàäàþùèé òîê – êàê òîê êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ Jã == Iêç. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå àêòèâíîãî äâóõïîëþñíèêà Rã èëèåãî ïðîâîäèìîñòü Gã íàõîäÿòñÿ êàê ýêâèâàëåíòíûå âõîäíûå ñîïðîòèâëåíèÿ èëè ïðîâîäèìîñòü îòíîñèòåëüíî ðàçîìêíóòûõ çàæèìîâïàññèâíîãî äâóõïîëþñíèêà, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå èñêëþ÷åíèÿèç ñõåìû âñåõ èñòî÷íèêîâ íàïðÿæåíèÿ è òîêà. Ïðè ýòîì èäåàëüíûåèñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ çàêîðà÷èâàþòñÿ, à òîêà – ðàçìûêàþòñÿ; ðåàëüíûå æå èñòî÷íèêè çàìåíÿþòñÿ ñâîèìè âíóòðåííèìè ñîïðîòèâëåíèÿìè èëè ïðîâîäèìîñòÿìè.Ïàðàìåòðû Uxx, Iêç, Rã, Gã ìîæíî íàéòè êàê ýêñïåðèìåíòàëüíûì, òàê è ðàñ÷åòíûì ïóòåì. Ïîñëå íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðîâ ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà, òîê I è íàïðÿæåíèåU â íàãðóçêå ìîæíî íàéòè äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.

2.9, á,ïî ôîðìóëåUãU õõI==(2.34)Rã + RíRã + Ríè äëÿ ñõåìû (ðèñ. 2.9, â) ïî ôîðìóëåRãGí.I = Jã= IêçRã + RíGã + Gí58(2.35)R1R11R2+U ã1R3U ã2R1I2xR2++1¢U ã1¢Iêç1U ã2R1+R3I+I3à)R21U ã11¢á)1¢¢IêçR2Iêç+U ã21¢â)Uõõ1¢ã)Ðèñ. 2.12Ïðèìåð. Íàéòè òîê â ñîïðîòèâëåíèè R3 (ðèñ. 2.12, à) ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ.Ðàçîìêíåì âåòâü ñ R3 è îïðåäåëèì Uxx (ðèñ. 2.12, á) ïî ÇÍÊ äëÿ I êîíòóðà:U õõ + R 2 I2x - U ã2 = 0 .ÎòñþäàU õõ = U ã2 - R 2 I2x ,ãäåI2 x = (U ã2 - U ã1) (R1 + R 2 ) .Ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå Rý = Rã ïàññèâíîãî äâóõïîëþñíèêà îïðåäåëÿåòñÿ èç ñõåìû íà ðèñ.