Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

1.11, á, ìàòðèöàÂåòâè1 2 34 5 6I1 1 0 0 0 0 = Êîíòóðû II 0 -1 1 1 0 1 .III 0 0 0 -1 1 0×èñëî íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì õîðä ãðàôà(1.15).1.4. Çàêîíû Êèðõãîôà òåîðèè öåïåé ðàçëè÷àþò äâà òèïà çàäà÷: çàäà÷è àíàëèçà èñèíòåçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ê çàäà÷å àíàëèçà îòíîñÿòñÿ âñå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ îïðåäåëåíèåì òîêîâ, íàïðÿæåíèé èëè ìîùíîñòåéâ ýëåìåíòàõ öåïè, êîíôèãóðàöèÿ è ïàðàìåòðû êîòîðîé èçâåñòíû. Âçàäà÷àõ ñèíòåçà, íàïðîòè⠖ èçâåñòíû òîêè è íàïðÿæåíèÿ â îòäåëüíûõ ýëåìåíòàõ è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü âèä öåïè è åå ïàðàìåòðû, ò. å. ñèíòåç ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé çàäà÷åé ïî îòíîøåíèþ êàíàëèçó. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî çàäà÷à ñèíòåçà ñóùåñòâåííî ñëîæíåå çàäà÷è àíàëèçà è áóäåò ðàññìîòðåíà â ãë.

16. îñíîâå ìåòîäîâ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ëåæàò çàêîíûÊèðõãîôà.Ïåðâûé çàêîí – çàêîí òîêîâ Êèðõãîôà (ÇÒÊ) ôîðìóëèðóåòñÿïî îòíîøåíèþ ê óçëàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è îòðàæàåò òîò ôàêò,÷òî â óçëàõ íå ìîãóò íàêàïëèâàòüñÿ çàðÿäû. Îí ãëàñèò: àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ âåòâåé, ñõîäÿùèõñÿ â ëþáîì óçëå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ðàâíà íóëþ. Ôîðìàëüíî ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê:må ik= 0,(1.16)k =1ãäå m – ÷èñëî âåòâåé, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå. óðàâíåíèè (1.16) òîêè, îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûå îòíîñèòåëüíî óçëà, èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè. Óñëîâèìñÿ çíàêè âûõîäÿùèõ òîêîâ ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè, à âõîäÿùèõ – îòðèöàòåëüíûìè.

Òîãäà, íàïðèìåð, äëÿ óçëà 1 ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà28ðèñ. 1.11, à, ñîãëàñíî ÇÒÊ – i1 + i2 + i3 = 0. ×èñëî íåçàâèñèìûõóðàâíåíèé, ñîñòàâëÿåìûõ ïî ÇÒÊ, ðàâíî ÷èñëó íåçàâèñèìûõ óçëîâýëåêòðè÷åñêîé öåïè è îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (1.14).Çàêîí òîêîâ ñïðàâåäëèâ è ïî îòíîøåíèþ ê ñå÷åíèÿì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ñå÷åíèÿ S3 (ðèñ. 1.13, à).Çàïèøåì ÇÒÊ äëÿ óçëîâ 1 è 2:äëÿ óçëà 1: – i1 + i2 + i3 = 0;äëÿ óçëà 2: – i3 + i4 + i5 = 0.Ñëîæèâ ìåæäó ñîáîé ýòè óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ÇÒÊ äëÿ ñå÷åíèÿ S3:– i1 + i2 + i4 + i5 = 0.Âòîðîé çàêîí – çàêîí íàïðÿæåíèé Êèðõãîôà (ÇÍÊ) ôîðìóëèðóåòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê êîíòóðàì è ãëàñèò: àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììàíàïðÿæåíèé âåòâåé â ëþáîì êîíòóðå ðàâíà íóëþ:nå uk= 0,(1.17)k =1ãäå ï – ÷èñëî âåòâåé, âõîäÿùèõ â êîíòóð. óðàâíåíèè (1.17) íàïðÿæåíèÿ, ñîâïàäàþùèå ñ íàïðàâëåíèåìîáõîäà êîíòóðà, çàïèñûâàþòñÿ ñî çíàêîì «+», à íå ñîâïàäàþùèå –ñî çíàêîì «–».Ñîñòàâèì, íàïðèìåð, óðàâíåíèå ïî ÇÍÊ äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.

1.11, à.  ñîîòâåòñòâèè ñ íàïðàâëåíèåì äëÿ êîíòóðà I:–uã + u1 + u2¢ + u2² = 0 äëÿ êîíòóðà II: –u2¢ –u2² + u3 + u4 + u6 == 0; äëÿ êîíòóðà III: – u4 + u5 = 0.Îáùåå ÷èñëî ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ñîñòàâëÿåìûõ ïîÇÍÊ, îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ, ðàâíûõ ÷èñëóõîðä (ñì. (1.15)).Óðàâíåíèå ÇÒÊ è ÇÍÊ ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå, èñïîëüçóÿ ðåäóöèðîâàííóþ ñòðóêòóðíóþ ìàòðèöó À0 è êîíòóðíóþìàòðèöó Â.Çàêîí òîêîâ ïîëó÷àåòñÿ ïóòåì ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèöû À0 íàìàòðèöó-ñòîëáåö òîêîâ âåòâåé:I â = i1, i2 K imT,ãäå Ò – çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ;A 0I â = 0 .(1.18)Çàêîí òîêîâ ìîæíî çàïèñàòü è ÷åðåç ìàòðèöó ãëàâíûõ ñå÷åíèé:Ñ Iâ = 0 .(1.19)Óìíîæèâ êîíòóðíóþ ìàòðèöó  íà ìàòðèöó-ñòîëáåö íàïðÿæåTíèÿ âåòâåé Uâ = || u1u2 ...

un || ïîëó÷èì ÇÍÊ â ìàòðè÷íîé ôîðìå:BUâ = 0.(1.20)291.5. Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïðåîáðàçîâàíèÿýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì îñíîâå ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõñõåì ëåæèò ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîãëàñíî êîòîðîìó íàïðÿæåíèÿ è òîêè â âåòâÿõ ñõåìû, íå çàòðîíóòûõ ïðåîáðàçîâàíèåì, îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ.

Ðàññìîòðèì íàèáîëåå òèïè÷íûåïðåîáðàçîâàíèÿ, îñíîâàííûå íà ïðèíöèïå ýêâèâàëåíòíîñòè.Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ. Ñîãëàñíî ÇÒÊ ïðèïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ÷åðåç íèõ ïðîòåêàåò îäèíè òîò æå òîê (ðèñ. 1.14). Ñîãëàñíî ÇÍÊ íàïðÿæåíèå, ïðèëîæåííîåêî âñåé öåïè,nå uk .u=(1.21)k =1Òîãäà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâR1, R2, ... , Rn (ðèñ. 1.14, à) ñ ó÷åòîì (1.6) áóäåì èìåòünu = i å Rk = iR ,k =1ãäåR=nå Rk .(1.22)k =1Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ L1,L2, ...

, Ln ñ ó÷åòîì (1.9) ïîëó÷àåì (ðèñ. 1.14, á)ndiå Lk dtu==Lk =1ãäåL=di,dtnå Lk .(1.23)k =1Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ Ñ1,Ñ2, ... , Ñn ñ ó÷åòîì (1.12) íàõîäèì (ðèñ. 1.14, â)u=n1k =1R1R2Rn iu1u2unuà)1å C ò idt = C ò idt ,kL1L2Ln iu1u2unuá)Ðèñ. 1.1430Ñ1 Ñ2Ñnu 1 u2unuâ)iãäå1=Cn1åCk =1.(1.24)kÒàêèì îáðàçîì, öåïü èç ï ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòèâíûõ, èíäóêòèâíûõ èëè åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü çàìåíåíà îäíèì ýêâèâàëåíòíûì ðåçèñòèâíûì, èíäóêòèâíûì èëè åìêîñòíûì ýëåìåíòîì ñ ïàðàìåòðàìè, îïðåäåëÿåìûìè ôîðìóëàìè(1.22) – (1.24). Ïðè÷åì, ïðè íàõîæäåíèè ýêâèâàëåíòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ èëè ýêâèâàëåíòíîé èíäóêòèâíîñòè íåîáõîäèìî ñóììèðîâàòüñîïðîòèâëåíèÿ è èíäóêòèâíîñòè îòäåëüíûõ ðåçèñòèâíûõ è èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, à äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíîé îáðàòíîé åìêîñòè – ñóììèðîâàòü âåëè÷èíû, îáðàòíûå åìêîñòè îòäåëüíûõ åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ.  ÷àñòíîñòè, ïðè n = 2C = C1C2 ( C1 + C2 ) .(1.25)Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ íàïðÿæåíèÿ îíè çàìåíÿþòñÿ îäíèì ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì íàïðÿæåíèÿ ñ çàäàþùèì íàïðÿæåíèåì uã, ðàâíûì àëãåáðàè÷åñêîéñóììå çàäàþùèõ íàïðÿæåíèé îòäåëüíûõ èñòî÷íèêîâ.

Ïðè÷åì ñîçíàêîì «+» áåðóòñÿ çàäàþùèå íàïðÿæåíèÿ, ñîâïàäàþùèå ñ çàäàþùèì íàïðÿæåíèåì ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêà, à ñî çíàêîì «–» –íåñîâïàäàþùèå (ðèñ. 1.15).Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ. Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ñîãëàñíî ÇÍÊ ê íèì áóäåò ïðèëîæåíî îäíî è òîæå íàïðÿæåíèå (ðèñ. 1.16).

Ñîãëàñíî ÇÒÊ äëÿ òîêà êàæäîé èçñõåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1.16, ìîæíî çàïèñàòüi=nå ik .(1.26)k =11+u ã1+2+u ã2uãn12+u ã = u ã 1 + u ã2 + … - u ã nÐèñ. 1.15iuii1i2G1G2à)inGnii1ui2inL2LnL1á)i1ui2C1C2inCnâ)Ðèñ. 1.1631Íà îñíîâàíèè ýòîãî, óðàâíåíèÿ ñ ó÷åòîì ôîðìóë (1.6), (1.9) è(1.12) ïîëó÷àåì:äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâni = u å Gk = uG ,k =1ãäåG=nå Gk ;(1.27)k =1äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâi=nå Ckk =1ãäåC=dudu=C,dtdtnå Ck ;(1.28)k =1äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâi=nk =1ãäå1å L ò udt =k1=Ln1åLk =11ò udt ,L.(1.29)kÑëåäîâàòåëüíî, öåïü èç ï ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòèâíûõ, èíäóêòèâíûõ èëè åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ýêâèâàëåíòíûì ðåçèñòèâíûì, èíäóêòèâíûì èëè åìêîñòíûìýëåìåíòîì ñ ïàðàìåòðàìè, îïðåäåëÿåìûìè ôîðìóëàìè (1.27)—(1.29).Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ðåçèñòèâíûõ, åìêîñòíûõ è èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíûõïðîâîäèìîñòåé è åìêîñòè öåïè ïðîâîäèìîñòè èëè åìêîñòè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ñêëàäûâàþòñÿ.

Ýêâèâàëåíòíàÿ îáðàòíàÿ èíäóêòèâíîñòü öåïè íàõîäèòñÿ ñóììèðîâàíèåì îáðàòíûõ èíäóêòèâíîñòåé îòäåëüíûõ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ.  ÷àñòíîñòè, ïðè ï = 2R = R1R2( R1 + R2 ) ;L = L1L2( L 1 + L2 ) .(1.30)Ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå íåçàâèñèìûå èñòî÷íèêè òîêà ìîæíîçàìåíèòü îäíèì ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì òîêà ñ çàäàþùèì òîêîì, ðàâíûì àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå çàäàþùèõ òîêîâ îòäåëüíûõ èñòî÷íèêîâ.

Ïðè÷åì ñî çíàêîì «+» áåðóòñÿ çàäàþùèå òîêè, ñîâïàäàþùèå ïî íàïðàâëåíèþ ñ çàäàþùèì òîêîì ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêà, à ñî çíàêîì «–» – íå ñîâïàäàþùèå (ðèñ. 1.17).Ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÷àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè uã è321i ã1i ã21i ã = i ã1 - i ã2 + … + i ã niãn22Ðèñ.

1.17Rã (ñì. ðèñ. 1.5, ä) â ýêâèâàëåíòíûé èñòî÷íèê òîêà ñ ïàðàìåòðàìèiã è Gã (ñì. ðèñ. 1.5, å), èëè íàîáîðîò – ïðåîáðàçîâàíèå èñòî÷íèêàòîêà â ýêâèâàëåíòíûé èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ. Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿîñóùåñòâëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìèi ã = u ã R ã; G ã = 1 R ã ,(1.31)êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ÇÍÊ è ÇÒÊ äëÿ ñõåìû íàðèñ.

1.5, ä, å è ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè.1.6. Ïðèíöèï íàëîæåíèÿÏðèíöèï íàëîæåíèÿ (ñóïåðïîçèöèè) èìååò âàæíåéøåå çíà÷åíèåâ òåîðèè ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ïîäàâëÿþùåå ÷èñëî ìåòîäîâ àíàëèçà ëèíåéíûõ öåïåé áàçèðóåòñÿ íà ýòîì ïðèíöèïå. Åñëèðàññìàòðèâàòü íàïðÿæåíèÿ è òîêè èñòî÷íèêîâ êàê çàäàþùèå âîçäåéñòâèÿ, à íàïðÿæåíèå è òîêè â îòäåëüíûõ âåòâÿõ öåïè êàê ðåàêöèþ (îòêëèê) öåïè íà ýòè âîçäåéñòâèÿ, òî ïðèíöèï íàëîæåíèÿìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ðåàêöèÿ ëèíåéíîéöåïè íà ñóììó âîçäåéñòâèé ðàâíà ñóììå ðåàêöèé îò êàæäîãîâîçäåéñòâèÿ â îòäåëüíîñòè.Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåàêöèè â ëèíåéíîé öåïè, íàõîäÿùåéñÿ êàê ïîä âîçäåéñòâèåì íåñêîëüêèõ èñòî÷íèêîâ, òàê è ïðè ñëîæíîì ïðîèçâîëüíîì âîçäåéñòâèè îäíîãî èñòî÷íèêà.Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà â ëèíåéíîé öåïè äåéñòâóåòíåñêîëüêî èñòî÷íèêîâ.

 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì íàëîæåíèÿ äëÿíàõîæäåíèÿ òîêà i èëè íàïðÿæåíèÿ è â çàäàííîé âåòâè îñóùåñòâèìïîî÷åðåäíîå âîçäåéñòâèå êàæäûì èñòî÷íèêîì è íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòíûå ðåàêöèè ik è uk íà ýòè âîçäåéñòâèÿ. Òîãäà ðåçóëüòèðóþùàÿ ðåàêöèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì íàëîæåíèÿ îïðåäåëèòñÿ êàêi=nå ik; u =k =1nå uk ,(1.32)k =1ãäå ï – îáùåå ÷èñëî èñòî÷íèêîâ.Åñëè â ëèíåéíîé öåïè ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå ñëîæíîé ôîðìû,ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà íàëîæåíèÿ ïîçâîëÿåò ïîñëå ðàçëîæåíèÿ ýòî3312ãî âîçäåéñòâèÿ íà ñóììó ïðîñòåéøèõ íàéËèíåéíàÿòè ðåàêöèþ öåïè íà êàæäîå èç íèõ âx(t)y(t)öåïüîòäåëüíîñòè ñ ïîñëåäóþùèì íàëîæåíèåìïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. Ñëåäóåò îòìå2¢1¢òèòü, ÷òî ïðèíöèï íàëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿÐèñ.

1.18ñëåäñòâèåì ëèíåéíîñòè óðàâíåíèé, êîòîðûå îïèñûâàþò öåïü, ïîýòîìó åãî ìîæíîïðèìåíèòü ê ëþáûì ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì, êîòîðûå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ (íàïðèìåð, òîê è íàïðÿæåíèå). Âòî æå âðåìÿ ýòîò ïðèíöèï íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü ïðè âû÷èñëåíèèìîùíîñòè, òàê êàê îíà ñâÿçàíà ñ íàïðÿæåíèåì è òîêîì êâàäðàòè÷íîé çàâèñèìîñòüþ (1.7).Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ ëåæèò â îñíîâå áîëüøèíñòâà âðåìåííûõ è÷àñòîòíûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ëèíåéíûõ öåïåé, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â ïîñëåäóþùèõ ãëàâàõ.

Характеристики

Список файлов книги