Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007)), страница 14

Ôàçîâûé ñäâèãìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì íà åìêîñòíîì ýëåìåíòåj = j u - j i = -p 2 .(3.27)Èç ïðèâåäåííûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî òîê â åìêîñòè îïåðåæàåò ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå íà óãîë p/2 (ðèñ. 3.6, â), ïðè÷åìçíàê «–» ñâèäåòåëüñòâóåò îá îòñòàâàíèè íàïðÿæåíèÿ è îò òîêà i.Ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä ìîùíîñòü â åìêîñòíîé öåïè òàêæå ðàâíà íóëþ.Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì è ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèÿõ åìêîñòíûõýëåìåíòîâ òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (3.26), ãäå Ñ íàõîäèòñÿ èç (1.24) äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî è (1.28) äëÿ ïàðàëëåëüíîãîñîåäèíåíèé.793.4.

Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â öåïè ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîìñîåäèíåíèè R, L, Ñ-ýëåìåíòîâÄîïóñòèì, ÷òî â öåïè, ñîäåðæàùåé ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå ýëåìåíòû R, L, Ñ (ðèñ. 3.7), ïðîòåêàåò òîêi = Im sin ( w t + j i ) .(3.28)Ñîãëàñíî ÇÍÊ íàïðÿæåíèå íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåìdi 1+ ò idt .dt CÏîäñòàâèâ â (3.29) çíà÷åíèå òîêà èç (3.28), ïîëó÷èìu = uR + uL + uC = Ri + L(3.29)u = RIm sin ( w t + j i ) + w LIm sin ( w t + j i - p 2 ) +1Im sin ( w t + j i + p 2 ) ,+wCèëèu = UmR sin ( wt + jR ) + UmL sin ( wt + jL ) ++UmC sin ( w t + j C ) ,(3.30)UmR = RIm; UmL = XLIm; UmC = XC Im; üj R = j i; j L = j i - p 2; j C = j i + p 2.

ýþ(3.31)ãäåÍà ðèñ. 3.8 èçîáðàæåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèé, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèé (3.30).Íàïðÿæåíèå UmR íà ðåçèñòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè R íàçûâàåòñÿàêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ Uma = UmR, ðàçíîñòü íàïðÿæåíèé Ump = UmL – UmC íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé. Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ èôîðìóëàì (3.31) èìååì:Uma = RIm; Ump = ( XL - XC ) Im = XIm .iuCuCÐèñ. 3.780juRLUmCUm LU m L- Um C = Um pUmuLjju ji(3.32)ImU m R= U m a0+Ðèñ.

3.8U maUmj>0Umaa)ZUmpj>0X>0j<0UmU mpRj<0X<0ZRá)â)ã)Ðèñ. 3.9Âåëè÷èíà X = XL – XC = wL – 1/(wC) íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíûìñîïðîòèâëåíèåì, à âåëè÷èíàZ = R2 + X 2(3.33)– ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè.Òðåóãîëüíèê íà âåêòîðíîé äèàãðàììå, îáðàçîâàííûé íàïðÿæåíèÿìè Uma, Ump, Um íàçûâàþò òðåóãîëüíèêîì íàïðÿæåíèé. ÅñëèUmL > UmC (XL > XC), òî öåïü íîñèò èíäóêòèâíûé õàðàêòåð (ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå îïåðåæàåò òîê) è òðåóãîëüíèê íàïðÿæåíèé èìååòâèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.

3.9, à; åñëè UmL < UmC (XL < XC), òîöåïü íîñèò åìêîñòíûé õàðàêòåð (ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå îòñòàåòîò òîêà) è òðåóãîëüíèê íàïðÿæåíèé ïðèíèìàåò âèä, èçîáðàæåííûéíà ðèñ. 3.9, â. Òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè R, X, Z ïîäîáíûé òðåóãîëüíèêó íàïðÿæåíèé, íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì ñîïðîòèâëåíèé(ðèñ.

3.9, á, ã). Èç òðåóãîëüíèêîâ ñîïðîòèâëåíèé è íàïðÿæåíèéñëåäóåò:22Um = Uma + Um p = ZIm ,(3.34)j = arctg(Ump Uma ) = arctg(X R), üýR = Z cos j; X = Z sin j.þ(3.35)Òðåóãîëüíèêè íàïðÿæåíèé è ñîïðîòèâëåíèé ïîçâîëÿþò óïðîñòèòü àíàëèç ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.3.5. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â öåïè ïðè ïàðàëëåëüíîìñîåäèíåíèè R, L, Ñ-ýëåìåíòîâÏðèëîæèì ê öåïè, ñîäåðæàùåé ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå ýëåìåíòû R, L, Ñ (ðèñ. 3.10), íàïðÿæåíèåu = Um sin ( w t + j u ) .(3.36)Ñîãëàñíî ÇÒÊ òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè1duudt+C.(3.37)òLdtÏîäñòàâèâ çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ è èç (3.36) â (3.37), ïîëó÷èìi = iR + iL + iC = Gu +81jiiRuRiLImR= ImaiCLIm CjCUmI m p= I m L- I m CImLImju ji+Ðèñ.

3.10i=Ðèñ. 3.11Um1sin ( w t + j u ) +Um sin ( w t + j u - p 2 ) +RwL+w CUm sin ( w t + j u + p 2 ) .(3.38)Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (3.38) â âèäåi = ImR sin ( wt + jR ) + ImL sin ( wt + jL ) ++ ImC sin ( w t + j C ) ,(3.39)ImR = Um R = GUm ; ImL = BLUm; ImC = BCUm; üýj R = j u ; j L = j u - p 2; j C = j u + p 2.þ(3.40)ãäåÍà ðèñ. 3.11 èçîáðàæåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêîâ, îïèñûâàåìûõóðàâíåíèåì (3.39).Òîê â ðåçèñòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ImR íàçûâàþò àêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé òîêà Ima, à ðàçíîñòü òîêà Imp = ImL – ImC – ðåàêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé òîêà. Äëÿ Ima è Imp ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿIma = GUm; Imp = ( BL - BC ) Um = BUm .(3.41)Âåëè÷èíà B = BL – BC = 1/(wL) – wC íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíîéïðîâîäèìîñòüþ öåïè, à âåëè÷èíàY = G 2 + B2(3.42)– ïîëíîé ïðîâîäèìîñòüþ öåïè.Ïî àíàëîãèè ñ òðåóãîëüíèêîì íàïðÿæåíèé è ñîïðîòèâëåíèé ïðèïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ìîæíî ââåñòè òðåóãîëüíèêèòîêîâ è ïðîâîäèìîñòåé (ðèñ.

3.12, à, á). Êàê ñëåäóåò èç ýòèõ ðèI maj>0Ima)I mpGj>0YB>0j<0I maâ)á)Ðèñ. 3.1282ImI mpYj<0Gã)B<0ñóíêîâ, ïðè ImL > ImC (BL > BC) öåïü íîñèò èíäóêòèâíûé õàðàêòåð(îáùèé òîê îòñòàåò îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ) è ïðè ImL < ImC(BL < BC) – åìêîñòíûé õàðàêòåð (òîê îïåðåæàåò ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå). Èç òðåóãîëüíèêîâ òîêîâ è ïðîâîäèìîñòåé ñëåäóåò:22üIm = Ima + Im p = YUm,ï(3.43)j = arctg(Im p Im a ) = arctg(B G), ýïG = Y cos j, B = Y sin j.þÑðàâíåíèå òðåóãîëüíèêîâ òîêîâ è ïðîâîäèìîñòåé ñ òðåóãîëüíèêàìè íàïðÿæåíèé è ñîïðîòèâëåíèé ïîêàçûâàåò èõ äóàëüíûé õàðàêòåð. Äóàëüíû òàêæå è âñå ñîîòíîøåíèÿ, îïèñûâàþùèå öåïè ïðèïîñëåäîâàòåëüíîì è ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ, äóàëüíûè ñàìè öåïè.3.6.

Ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà ðàçâåòâëåííûõ öåïåéÐàñ÷åò ðàçâåòâëåííûõ öåïåé ïðè ñìåøàííîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ â ðåæèìå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îáû÷íî îñóùåñòâëÿåòñÿñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî êëàññè÷åñêèéìåòîä ðàñ÷åòà ïðèâîäèò ê ãðîìîçäêèì èíòåãðàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì è òðåáóåò áîëüøîãî îáúåìà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä ïîçâîëÿåò òðèãîíîìåòðè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ãàðìîíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè è ãåîìåòðè÷åñêèå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè ñâåñòè ê àëãåáðàè÷åñêèì îïåðàöèÿì íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, ÷òî ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ðàñ÷åò.

Ïðè ýòîì ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû âñå ìåòîäû ïðåîáðàçîâàíèé è àíàëèçà, èçëîæåííûå â ãë. 1, 2. Äîïóñòèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿñèìâîëè÷åñêîãî ìåòîäà îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â ëèíåéíûõ öåïÿõ âðåæèìå ãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé â öåïè óñòàíàâëèâàþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ òîé æå ÷àñòîòû. Òàêèì îáðàçîì, íåèçâåñòíûìèïàðàìåòðàìè òîêîâ è íàïðÿæåíèé áóäóò ëèøü àìïëèòóäû è ôàçû,îïðåäåëÿåìûå îäíîçíà÷íî èõ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè. Çàïèøåìîñíîâíûå çàêîíû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé â ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå.Äëÿ ðåçèñòèâíîãî ýëåìåíòà R ñâÿçü ìåæäó êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè òîêà Im è íàïðÿæåíèÿ Um ìîæíî îïðåäåëèòü ñîãëàñíîçàêîíó Îìà (1.6) ïóòåì çàìåíû ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêîâ i è íàïðÿæåíèé è èõ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè:U m = RI m .(3.44)Äëÿ èíäóêòèâíîãî ýëåìåíòà L ñâÿçü ìåæäó Im è Um îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (1.9) ñ ó÷åòîì (3.24):I m = U m ( jwL); U m = jwLI m = jXL I m ,(3.45)j /2ãäå j = e p – ìíîæèòåëü, õàðàêòåðèçóþùèé ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó âåêòîðàìè òîêà Im è íàïðÿæåíèÿ Um (ñì.

ðèñ. 3.6). Óðàâíåíèå83(3.45) îòðàæàåò çàêîí Îìà äëÿ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Ñðàâíåíèå(3.45) ñ (1.9) ïîêàçûâàåò, ÷òî îïåðàöèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ d/dtñîîòâåòñòâóåò â êîìïëåêñíîé ôîðìå óìíîæåíèþ íà jw.Äëÿ åìêîñòíîãî ýëåìåíòà Ñ íà îñíîâàíèè (1.12) ìîæíî çàïèñàòü:I m = jw CU m èëè U m = - j1I m = - jXÑ I m ,wÑ(3.46)ò. å. îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò â êîìïëåêñíîé ôîðìåäåëåíèþ íà jw. Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ (3.44) – (3.46) ñïðàâåäëèâûè äëÿ êîìïëåêñíûõ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé:äëÿ R : I = U R = GU,üïäëÿ L : I = U jXL = - jBLU, ýäëÿ C : I = U (- jXC ) = jBCU, ïþ(3.47)ãäå I = I m 2 ; U = U m 2 .Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà âêîìïëåêñíîé ôîðìå.

Òàê, äëÿ ÇÒÊ (1.16) çàìåíèâ ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ òîêîâ ik èõ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè Imk, ïîëó÷èìmå Imkà äëÿ ÇÍÊ (1.17)= 0,(3.48)= 0.(3.49)k =1nå U mkk =1Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Îìà è Êèðõãîôà â êîìïëåêñíîéôîðìå ëåæàò â îñíîâå ñèìâîëè÷åñêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà ëèíåéíûõöåïåé ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ. Ïðè÷åì, êàê ïîêàçûâàåòàíàëèç óðàâíåíèé (3.24), (3.26), (3.45) è (3.46), ïðè ïåðåõîäå êêîìïëåêñíîé çàïèñè îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ çàìåíÿþòñÿ óìíîæåíèåì íà jw, îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ – äåëåíèåì íà jw. Âðåçóëüòàòå âìåñòî ñèñòåìû èíòåãðàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðåøåíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåò àìïëèòóäû è íà÷àëüíûå ôàçû èñêîìûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé.Ïðèìåíèì ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä ê àíàëèçó ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé â öåïè ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì (ñì.

§ 3.4) è ïàðàëëåëüíîì(ñì. § 3.5) ñîåäèíåíèÿõ ýëåìåíòîâ R, L, Ñ. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãîñîåäèíåíèÿ R, L, Ñ ñîãëàñíî ÇÍÊ (3.49) èìååì Um = UmR ++ UmL + UmC èëè ñ ó÷åòîì (3.44), (3.45), (3.46):U m = [ R + j ( wL - 1 wC ) ] I m = ( R + jX ) I m = ZI m .(3.50)Âåëè÷èíà Z â óðàâíåíèè (3.50) åñòü êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè:Z = R + jX .84(3.51)1IRX21IU12a)ICRUaUa)G12I2Bá)Ðèñ. 3.131GCUpá)U12Ia2IpUÐèñ.

3.14Êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå Z ìîæíî âûðàçèòü â ïîêàçàòåëüíîéèëè òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:Z = Z e jj = Z cos j + jZ sin j .(3.52)Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííîå ðàíåå ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè (3.33) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ:Z= Z =R2 + X 2 ,à ôàçîâûé ñäâèã j – àðãóìåíò (arg) êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ:j = arg Z = arctg ( X R ) .Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â êîìïëåêñíîé ôîðìå äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿýëåìåíòîâ R, L, Ñ (ñì.

§ 3.5). Òàê óðàâíåíèå (3.39) â êîìïëåêñíîéôîðìå ïðèìåò âèäI m = éë G - j ( BL - BC ) ùûU m = ( G - jB ) U m = YU m .(3.53)Âåëè÷èíà Y â (3.53) åñòü êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè:Y = G - jB èëè Y = Ye - jj = Y cos j - jY sin j .(3.54)Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè Y ðàâíà ìîäóëþêîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè Y = | Y |, à ôàçîâûé ñäâèã j – àðãóìåíòó êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè j = arg Y = arctg (B/G).Ïðè àíàëèçå ðàçëè÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÷àñòî âîçíèêàåòíåîáõîäèìîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ ñõåìû ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ â ýêâèâàëåíòíîå ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå è íàîáîðîò (ðèñ. 3.13).

 îñíîâå ïîäîáíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ëåæèò ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè (ñì. § 1.5). Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó òîê I èíàïðÿæåíèå U12 â èñõîäíîé (ðèñ. 3.13, à) è ïðåîáðàçîâàííîé(ðèñ. 3.13, á) ñõåìàõ äîëæíû îñòàòüñÿ íåèçìåííûìè. Äëÿ ïåðâîé85ñõåìû I = U12/Z, äëÿ âòîðîé I = U12Y. Èç ðàâåíñòâà òîêîâ I èíàïðÿæåíèé U12 äëÿ îáåèõ ñõåì èìååì:Z = R + jX =11G + jBGB== 2= 2 + j 2.2Y G - jB G + BYY(3.55)Èç ðàâåíñòâà (3.55) ñëåäóþò ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïàðàëëåëüíîãî ó÷àñòêà (ðèñ. 3.13, á) â ýêâèâàëåíòíûé ïîñëåäîâàòåëüíûé(ðèñ.

3.13, à):R = G Y 2; X = B Y 2 .(3.56)Àíàëîãè÷íî èç ðàâåíñòâà Y = 1/Z ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëûïðåîáðàçîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ó÷àñòêà (ðèñ. 3.13, à) â ýêâèâàëåíòíûé ïàðàëëåëüíûé (ðèñ. 3.13, á):G = R Z2; B = X Z2 .(3.57)Ïðåîáðàçîâàíèå (3.56) è (3.57) ìîæíî ïîëîæèòü â îñíîâó ðàçëîæåíèÿ òîêà â ïîñëåäîâàòåëüíîì ó÷àñòêå è íàïðÿæåíèÿ â ïàðàëëåëüíîì íà àêòèâíóþ è ðåàêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùèå.Ïðèìåð. Ïðåîáðàçîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíûé RÑ-ó÷àñòîê (ðèñ 3.14, à) â ýêâèâàëåíòíûé ïàðàëëåëüíûé (ðèñ.