Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007)), страница 13

Åäèíèöåéèçìåðåíèÿ ÷àñòîòû f ÿâëÿåòñÿ ãåðö (Ãö), óãëîâîé ÷àñòîòû w – ðàäèàí â ñåêóíäó (ðàä/ñ). Òàê êàê ðàäèàí – âåëè÷èíà áåçðàçìåðíàÿ, òî–1[w] èçìåðÿåòñÿ â 1/ñ èëè ñ . ðàäèîòåõíèêå è ýëåêòðîñâÿçè èñïîëüçóþò ãàðìîíè÷åñêèå ñèãíàëû îò äîëåé ãåðö (èíôðàíèçêèå ÷àñòîòû) äî äåñÿòêîâ è ñîòåí ãèãàãåðö (ñâåðõâûñîêèå ÷àñòîòû).Äëÿ ïèòàíèÿ ðàçëè÷íûõ ýëåêòðîýíåðãåòè÷åñêèõ óñòàíîâîê âÐîññèè è ðÿäå äðóãèõ ñòðàí ïðèíÿòà ïðîìûøëåííàÿ ÷àñòîòàf = 50 Ãö.  êà÷åñòâå èñòî÷íèêîâ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ïðîìûøëåííîé ÷àñòîòû èñïîëüçóþòñÿ ýëåêòðîìàøèííûå ãåíåðàòîðûðàçëè÷íîãî òèïà. Ïðèíöèï ðàáîòû ïðîñòåéøåãî ýëåêòðîìàøèííîãî ãåíåðàòîðà èëëþñòðèðóåò ðèñ. 3.2.

 ñîñòàâ ãåíåðàòîðà âõîäÿò:ñòàòîð, ñîçäàþùèé ìàãíèòíîå ïîëå ñ ìàãíèòíîé èíäóêöèåé Â, èðîòîð, âðàùàþùèéñÿ â ýòîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ óãëîâîé ÷àñòîòîéw. Ïðè ïåðåñå÷åíèè âèòêàìè êàòóøêè ðîòîðà ìàãíèòíîãî ïîòîêàÔ â íèõ ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè íàâîäèòñÿÝÄÑe=-dYdF= -w,dtdt(3.4)73Ñòàòîðãäå Y = wÔ – ïîòîêîñöåïëåíèåêàòóøêè ñ ìàãíèòíûìè ïîòîêàìè; w –÷èñëî âèòêîâ êàòóøêè. Ïðè ïîñòîÿííîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ðîòîðàäëÿ ïîëó÷åíèÿ ÝÄÑ ñèíóñîèäàëüíîéôîðìû ïðèìåíÿþòñÿ ïîëþñà ñïåöèàëüíîé ôîðìû. ×àñòîòà íà âûõîäå ãåíåðàòîðàNjjw ÐîòîðÂf = pnv 60 ,Sãäå ðï – ÷èñëî ïàð ïîëþñîâ ðîòîðà;v – ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ðîòîðà, îá/ìèí.ÑòàòîðÝëåêòðîìàøèííûå ãåíåðàòîðû èñÐèñ.

3.2ïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ íå âûøå5...8 êÃö. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ áîëåå âûñîêèõ÷àñòîò îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ëàìïîâûå è ïîëóïðîâîäíèêîâûå ãåíåðàòîðû (ñì. ãë. 15).Âàæíûìè ïàðàìåòðàìè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ÿâëÿþòñÿ èõäåéñòâóþùåå è ñðåäíåå çíà÷åíèÿ. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ãàðìîíè÷åñêîãî òîêàI=1T 2ò i dt .T0(3.5)Çäåñü i = i (t) – ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ãàðìîíè÷åñêîãî òîêà, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿi = Im sin ( wt + ji ) .(3.6)Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå i èç (3.6) â (3.5), ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿäåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ òîêà ïîëó÷èìI = Im2 » 0,707 Im .(3.7)Àíàëîãè÷íî (3.1) – (3.5) îïðåäåëÿåòñÿ ìãíîâåííîå è äåéñòâóþùåå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ. Òàê, äëÿ äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü:U » 0,707Um .Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé íàçûâàþò åùå èõñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè.Îïðåäåëèì òåïëîâóþ ýíåðãèþ, êîòîðàÿ âûäåëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì êîëåáàíèåì i (t) çà ïåðèîä Ò â ðåçèñòèâíîì ýëåìåíòå ñ ñîïðîòèâëåíèåì R:WR =74TT002ò pdt = ò Ri dt = TRI2.(3.8)Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà ÷èñëåííî ðàâíî òàêîìó ïîñòîÿííîìó òîêó, êîòîðûé çà ïåðèîä Ò íà òîì æå ñîïðîòèâëåíèèâûäåëÿåò òî æå êîëè÷åñòâî òåïëà, ÷òî è ãàðìîíè÷åñêèé òîê.Ñðåäíåå çíà÷åíèå ãàðìîíè÷åñêîãî òîêàIñð1T= ò idt .T0(3.9)Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå i èç (3.6) â (3.9), íàõîäèì, ÷òî Iñð = 0.Ýòîò ðåçóëüòàò âïîëíå ïîíÿòåí, åñëè ó÷åñòü, ÷òî óðàâíåíèå (3.9)îïðåäåëÿåò ïëîùàäü, îãðàíè÷åííóþ êðèâîé i (t) çà ïåðèîä Ò (ñì.ðèñ.

3.1). Åñëè çíà÷åíèå òîêà îïðåäåëåíî çà ïîëïåðèîäà, òî ìîæíîçàïèñàòü:T 222IIñð ( 1 ) =idt = m » 0,637 Im .(3.10)òT 0pÀíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì, ÷òî Uñð(1) » 0,637Um.3.2. Ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéÃàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè: ôóíêöèÿìè âðåìåíè (âðåìåííûå äèàãðàììû) (ñì.ðèñ.

3.1); âðàùàþùèìèñÿ âåêòîðàìè (âåêòîðíûå äèàãðàììû); êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè; àìïëèòóäíûìè è ôàçîâûìè ñïåêòðàìè. Òîòèëè èíîé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ïðèìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà ðåøàåìûõ çàäà÷.Âðåìåííîå ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé íàãëÿäíî,îäíàêî åãî èñïîëüçîâàíèå â çàäà÷àõ àíàëèçà öåïåé çàòðóäíèòåëüíî,òàê êàê òðåáóåò ïðîâåäåíèÿ ãðîìîçäêèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Áîëåå óäîáíî âåêòîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, ïðè êîòîðîì êàæäîìó êîëåáàíèþ ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå âðàùàþùèéñÿ âåêòîð îïðåäåëåííîé äëèíû ñ çàäàííîéíà÷àëüíîé ôàçîé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 3.3 ïîêàçàíî âåêòîðíîå ïðåäñòàâëåíèå äâóõ êîëåáàíèé òîêîâ i1 è i2:i1 = Im1 sin ( wt + j1 ) üïýi2 = Im 2 sin ( wt + j 2 ) ïþ(3.11)Èõ ñóììó i3 ëåãêî ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëàì ñóììèðîâàíèÿâåêòîðîâ:ãäåi3 = i1 + i2 = Im 3 sin ( wt + j 3 ) ,(3.12)22Im1 + Im 2 + 2Im1Im 2 cos ( j 2 - j1 );Im1 sin j1 + Im 2 sin j 2j3 = arctg.Im1 cos j1 + Im 2 cos j 2Im 3 =75I m3Âåëè÷èíà j = j2 – j1 íàçûâàåòñÿôàçîâûì ñäâèãîì ìåæäó êîëåáàíèÿìèI m2i1 è i2.

Îí îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî íà÷àëüjíûìè ôàçàìè j1 è j2 è íå çàâèñèò îòI m1íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè. Íåòðóäíî âèj3äåòü, ÷òî ñóììèðîâàíèå (íàëîæåíèå)j1 j 2ëþáîãî ÷èñëà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé0+ñ ÷àñòîòîé w ïðèâîäèò ê ãàðìîíè÷åñêîìóÐèñ. 3.3êîëåáàíèþ òîé æå ÷àñòîòû w.Ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, íàçûâàþòâåêòîðíîé äèàãðàììîé. Âåêòîðíûå äèàãðàììû ìîæíî ñòðîèòü êàêäëÿ àìïëèòóäíûõ, òàê è äëÿ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé.Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.

Ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ëåæàò â îñíîâå ñèìâîëè÷åñêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé – ìåòîäà êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä. Ïðåäñòàâèì òîê i,îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé (3.6), íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Äëÿýòîãî èçîáðàçèì âåêòîð Im íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîé ôàçû ji, (ðèñ. 3.4, à). Çíàêîì «+» îáîçíà÷åíî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå âåùåñòâåííîé îñè, à j = -1 – ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ìíèìîé îñè. Áóäåì âðàùàòü ýòîò âåêòîð â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé w. Òîãäà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ïîëîæåíèå âðàùàþùåãîñÿâåêòîðà îïðåäåëèòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé (êîìïëåêñíûì ãàðìîíè÷åñêèì êîëåáàíèåì):ji ( t ) = Imej (wt +j i )= Im cos (wt + j i) + jIm sin (wt + j i)(3.13)Ïåðâàÿ ÷àñòü ñëàãàåìîãî (3.13) îòðàæàåò ïðîåêöèþ âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà íà âåùåñòâåííóþ îñü, à âòîðàÿ ÷àñòü – íà ìíèìóþîñü.

Ñðàâíèâ âòîðîå ñëàãàåìîå â (3.13) ñ (3.6), ïðèõîäèì ê âûâîäó: ñèíóñîèäàëüíûé òîê i íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ïðåäñòàâjIm{ Imje jwt }* /2-ImImI m /2jj0Re{ I m e jwt }0+* /2Ima)á)Ðèñ. 3.476w+-wëÿåòñÿ â ôîðìå ïðîåêöèè íà ìíèìóþ îñü âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà(3.13)i = Im ëé Ime j (wt +j i ) ùû = Im éë I me jwt ùû ,(3.14)ãäå Im – ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ñëîâà Imaginarins (ìíèìûé);I m = Imejj i.(3.15)Âåëè÷èíà Im íîñèò íàçâàíèå êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû òîêà.Âàæíûì ñâîéñòâîì êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òîîíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå çàäàííîé ÷àñòîòû w, òàê êàê ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ îá åãî àìïëèòóäå è íà÷àëüíîé ôàçå.Åñëè ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå çàäàåòñÿ â ôîðìå êîñèíóñîèäû,íàïðèìåði = Im cos (wt + j i) ,(3.16)òî íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ýòîìó òîêó ñîîòâåòñòâóåò ïðîåêöèÿâåêòîðà (3.13) íà âåùåñòâåííóþ îñü:i = Re ëé Ime j (wt +j i ) ùû = Re éë I me jwt ùû ,(3.17)ãäå Re – ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ñëîâà Realis (äåéñòâèòåëüíûé,âåùåñòâåííûé).Âîçìîæíà è äðóãàÿ ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.

Ó÷òåì, ÷òî ñîãëàñíî ôîðìóëàìÝéëåðàcos j i = (ejj i+e- jj i) 2;sin j i = (ejj i-e- jj i) 2j .(3.18)Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ òîêà i èç (3.6) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåi=Im j (wt +j )1 é I m jwt I*m - jwt ù- j (wt +j i ) ù =iéë eeeû jê-eú.2jë 2û2(3.19)Àíàëîãè÷íî äëÿ òîêà i èç óðàâíåíèÿ (3.16):i=*Im j (wt +j )I m - jwt ù ,- j (wt +j i ) ù = é I m jwtiéë eee+û ê+eú2ë 2û2(3.20)ãäå I *m = Ime - jj i – ñîïðÿæåííàÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà òîêà.Òàêèì îáðàçîì, òîê i èç (3.6) ñîãëàñíî (3.19) ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ãåîìåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü âåêòîðîâ Im/2 è Im*/2, âðàùàþùèõñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé w, àòîê èç (3.16) – êàê ãåîìåòðè÷åñêóþ ñóììó ýòèõ âåêòîðîâ(ðèñ. 3.4, á).

 ïåðâîì ñëó÷àå i ðàñïîëàãàåòñÿ íà ìíèìîé, à âîâòîðîì ñëó÷àå – íà äåéñòâèòåëüíîé îñÿõ. Êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäóñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè çàäàííîé ÷àñòîòû ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê ïðåîáðàçîâàíèå âðåìåííîé ôóíêöèè â ÷àñòîòíóþ îáëàñòü.77jImI m1j10a)w1w0á)w1wÐèñ. 3.5Ñïåêòðàëüíîå (÷àñòîòíîå) ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñîñòîèò â çàäàíèè àìïëèòóäíîãî è ôàçîâîãî ñïåêòðîâ êîëåáàíèÿ (ðèñ.

3.5). Áîëåå ïîäðîáíî ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå èìåòîäû àíàëèçà öåïåé, îñíîâàííûå íà ýòîì ïðåäñòàâëåíèè, ðàññìîòðåíû â ãë. 5, 9.3.3. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â ðåçèñòèâíûõ,èíäóêòèâíûõ è åìêîñòíûõ ýëåìåíòàõÐåçèñòèâíûå öåïè. Ïóñòü ê ðåçèñòèâíîìó ýëåìåíòó R ïðèëîæåíî ãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèåu = Um sin ( w t + j u ) .(3.21)Ñîãëàñíî çàêîíó Îìà ÷åðåç ýëåìåíò R áóäåò ïðîòåêàòü òîêu Um=sin ( w t + j u ) = Im sin ( w t + j i ) ,(3.22)RRãäå Im = Um/R – àìïëèòóäà; ji = ju – íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà. Òàêèì îáðàçîì, òîê i è íàïðÿæåíèå è â ðåçèñòèâíîì ýëåìåíòå ñîâïàäàþò ïî ôàçå äðóã ñ äðóãîì (ðèñ.

3.6, à). Ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä Òìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ â ðåçèñòîðå R,i=Pñð1T1T= ò pdt = ò uidt = UI = I 2R = U 2G .T0T0(3.23)Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì èëè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèÿõ íåñêîëüêèõ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì,àíàëîãè÷íûì (3.22), ãäå R îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (1.22) äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî è (1.27) äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèé ýëåìåíòîâ.Ïðè ýòîì ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì è ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì îñòàåòñÿ ðàâíûì íóëþ.Èíäóêòèâíûå öåïè. Ïîä äåéñòâèåì íàïðÿæåíèÿ (3.21) â èíäóêòèâíîì ýëåìåíòå áóäåò ïðîòåêàòü òîê ñîãëàñíî (1.9):i=7811pudt =Um sin æç w t + j u - ö÷ = Im sin ( w t + j i ) , (3.24)òLwLè2øjjImUmUmjj i = ju0ta)Im0jUmjijutjiá)jImju0tâ)Ðèñ.3.6ãäå Im = Um/(wL) = Um/XL; XL = wL – èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå; ji = ju – p/2 – íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà.Âåëè÷èíó, îáðàòíóþ XL, íàçûâàþò èíäóêòèâíîé ïðîâîäèìîñòüþBL = 1/(wL).

Êàê ñëåäóåò èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé, òîê â èíäóêòèâíîñòè îòñòàåò îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ íà p/2, ò. å. ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì i è íàïðÿæåíèåì è (ðèñ. 3.6, á)j = ju - ji = p 2 .(3.25)Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå ôàçîâûé ñäâèã j îòêëàäûâàåòñÿ îò âåêòîðà òîêà ê âåêòîðó íàïðÿæåíèÿ.

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñðåäíÿÿ çàïåðèîä ìîùíîñòü â èíäóêòèâíîì ýëåìåíòå ðàâíà íóëþ.Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì è ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèÿõ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì, àíàëîãè÷íûì(3.24), ãäå L íàõîäèòñÿ ñîãëàñíî (1.23) äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî è(1.29) äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèé.Åìêîñòíûå öåïè. Äëÿ åìêîñòíîãî ýëåìåíòà ñîãëàñíî óðàâíåíèþ(1.12) èìååì:i=Cdup= wCUm sin æç w t + j u + ö÷ = Im sin ( w t + j i ) ,dtè2ø(3.26)ãäå Im = wCUm = BCUm; BC = wC – åìêîñòíàÿ ïðîâîäèìîñòü; ji == ju + p/2 – íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà. Âåëè÷èíó, îáðàòíóþ BC, íàçûâàþò åìêîñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì XC = 1/(wC).