Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007)), страница 9

Òàêèì îáðàçîì, åñëè âêëþ÷èòü â äèàãîíàëüìîñòà âìåñòî R23 èçìåðèòåëüíûé ïðèáîð – àìïåðìåòð, òî ïóòåì èçìåíåíèÿ îäíîãî èç ñîïðîòèâëåíèé ïëå÷à (íàïðèìåð, R24 ñ ïîìîùüþ ìàãàçèíà ñîïðîòèâëåíèé), ìîæíî íàéòè ñîïðîòèâëåíèå äðóãîãî (íàïðèìåð R31). Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäàR12 = R31 = R, óñëîâèå áàëàíñà äîñòèãàåòñÿ ïðè R34 = R24.Ïðåîáðàçóåì òðåóãîëüíèê R12, R23, R31 â çâåçäó ñ ëó÷àìè R1, R2, R3(ðèñ.

2.4, á), ãäå R1, R2, R3 îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (2.6) è (2.7). Òîãäà ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè îòíîñèòåëüíî çàæèìîâ èñòî÷íèêà (óçëû 1 è 4)R ý = R1 +(R 3 + R 34 )(R 2 + R 24 )R 3 + R 34 + R 2 + R 24.Òîê èñòî÷íèêà îïðåäåëÿåì ïî çàêîíó Îìà:I = Uã R ý ,à òîêè âåòâåé I34 è I24 ïî «ôîðìóëå ðàçáðîñà», êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíàíà îñíîâàíèè ÇÒÊ è çàêîíà Îìà äëÿ ñîïðîòèâëåíèé (R3 + R34) è (R2 + R24):I 34 = IR 2 + R 24R 2 + R 24 + R 3 + R 34;I 24 = IR 3 + R 34R 2 + R 24 + R 3 + R 34.Äëÿ íàõîæäåíèÿ òîêîâ I12 è I31 îïðåäåëèì íàïðÿæåíèå U12 äëÿ ïðåîáðàçîâàííîé ñõåìû (ðèñ. 2.4, á): U12 = R1I + R2I24. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî U12 â ñõåìåòðåóãîëüíèêà (ðèñ.

2.4, à) è â ñõåìå çâåçäû (ðèñ. 2.4, á) ðàâíû ñîãëàñíîïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè, íàéäåì òîê I12 = U12/R12. Òîêè I23 è I31 îïðåäåëÿåì ïî ÇÒÊ: I23 = I12 – I24; I31 = I23 – I34.I+11U31UãR 313+U12I 31I23R 23R 12I12R3U233R 34R 24I24R 34I3444a)á)Ðèñ. 2.446U12R22U23I34R1U ã U312I24R 24Àíàëîãè÷íî ôîðìóëå (2.9) ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ n-ëó÷åâîé çâåçäû â ïîëíûé ìíîãîóãîëüíèê ñ ÷èñëîì âåòâåéðàâíûì nâ = n (n – 1)/2:Glm =Gl G mnâå Gk.(2.10)k =1Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îáðàòíàÿ çàäà÷à ïðåîáðàçîâàíèÿ ìíîãîóãîëüíèêà â ýêâèâàëåíòíóþ n-ëó÷åâóþ çâåçäó ïðè n > 3 íå èìååòðåøåíèÿ, òàê êàê ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ ÷èñëî óðàâíåíèé n (n – 1)/2ïðåâûøàåò ÷èñëî íåèçâåñòíûõ.2.3.

Ìåòîä íàëîæåíèÿ îñíîâå ìåòîäà íàëîæåíèÿ ëåæèò ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè (íàëîæåíèÿ), ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé (§ 1.6). Ýòîò ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà â öåïè äåéñòâóåò íåñêîëüêî èñòî÷íèêîâíàïðÿæåíèÿ èëè òîêà. Ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðèíöèïîìíàõîäÿò ÷àñòè÷íûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ, à ðåçóëüòèðóþùèå ðåàêöèèîïðåäåëÿþòñÿ ïóòåì àëãåáðàè÷åñêîãî ñóììèðîâàíèÿ ÷àñòè÷íûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé.Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðèíöèï íàëîæåíèÿ íà ïðèìåðå ðåçèñòèâíîéöåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.5, à, ñîäåðæàùåé èäåàëüíûå èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ. Íàéäåì òîê â ðåçèñòèâíîì ýëåìåíòå R3. Ïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî â öåïè äåéñòâóåò òîëüêî îäèí èñòî÷íèê Uã1; âòîðîé èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ èñêëþ÷àåòñÿ è çàæèìû åãî çàêîðà÷èâàþòñÿ.

Ïðè ýòîì ïîëó÷àåì ÷àñòè÷íóþ ñõåìó, èçîáðàæåííóþ íàðèñ. 2.5, á. Îïðåäåëèì òîê I3¢ îò âîçäåéñòâèÿ íàïðÿæåíèÿ Uã1:R2U ã1.I3 ¢ = I1¢, ãäå I1¢ =R1 + R 3R1 + R 2R 3 (R 2 + R 3 )R1I2 R 2I1I3+R3Uã 1R1I 1¢U ã1R3U ã2a)R2++I 2¢I 2¢¢ R 2R1+I 1¢¢I 3¢R3I 3¢¢á)U ã2â)Ðèñ. 2.547I2 R 2+U ã2R3I ã1R ã2I3I ã1I 3¢R3I 2¢¢ R 2a)R2I 2¢R3Rã 2I 3¢¢á)+U ã2R ã2â)Ðèñ. 2.6Òåïåðü ïîëàãàåì, ÷òî â öåïè äåéñòâóåò òîëüêî èñòî÷íèê Uã2. Èñêëþ÷èâ èñòî÷íèê Uã1, ïîëó÷èì âòîðóþ ÷àñòè÷íóþ ñõåìó(ðèñ.

2.5, â). Òîê I3² îò âîçäåéñòâèÿ Uã2 îïðåäåëèòñÿ êàêR1U ã2., ãäå I2 ¢¢ =I3 ¢¢ = I2 ¢¢R1 + R 3R2 + R1R 3 (R1 + R 3 )Ðåçóëüòèðóþùèé òîê I3 íàéäåì êàê àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó ÷àñòè÷íûõ òîêîâ I3¢ è I3²: I3 = I3¢ + I3². Ïðè îïðåäåëåíèè ðåçóëüòèðóþùèõ òîêîâ çíàê «+» áåðóò ó ÷àñòè÷íûõ òîêîâ, ñîâïàäàþùèõ ñâûáðàííûì ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì ðåçóëüòèðóþùåãî òîêà,è çíàê «–» – ó íåñîâïàäàþùèõ.

Êàê ñëåäóåò èç ðàññìîòðåííîãîïðèìåðà, ïðè ñîñòàâëåíèè ÷àñòè÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì èñêëþ÷àåìûå èäåàëüíûå èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ çàêîðà÷èâàþòñÿ.  ñëó÷àå, åñëè â öåïè äåéñòâóþò èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ ñ âíóòðåííèìèñîïðîòèâëåíèÿìè Rã, ïðè èõ èñêëþ÷åíèè îíè çàìåíÿþòñÿ ñâîèìèâíóòðåííèìè ñîïðîòèâëåíèÿìè Rã.Ïðè íàëè÷èè èäåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ òîêà ñîîòâåòñòâóþùèå âåòâè èñêëþ÷àåìûõ èñòî÷íèêîâ ðàçìûêàþòñÿ, à ïðè íàëè÷èè ðåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ îíè çàìåíÿþòñÿ ñâîèìè âíóòðåííèìè ïðîâîäèìîñòÿìè Gã.Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü òîê I3 â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.

2.6, à. Ñîñòàâëÿåì äâå ÷àñòíûå ñõåìû (ðèñ. 2.6, á, â), äëÿ êîòîðûõ íàõîäèì ÷àñòè÷íûå òîêè:I3 ¢ = Iã1R 2 + R ã2R 2 + R ã2 + R 3;I3 ¢¢ =R ã2U ã2.+ R2 + R3Ðåçóëüòèðóþùèé òîê I3 = I3² – I3¢.Ïðè íàëè÷èè â öåïè çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ îíè îñòàþòñÿ â ÷àñòè÷íûõ ñõåìàõ íåèçìåííûìè.482.4. Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâÏðè îïðåäåëåíèè òîêîâ è íàïðÿæåíèé â îòäåëüíûõ âåòâÿõ öåïèñ nâ-âåòâÿìè ïî çàêîíàì Êèðõãîôà â îáùåì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó èç nâ óðàâíåíèé. Äëÿ ñíèæåíèÿ ÷èñëà ðåøàåìûõóðàâíåíèé è óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóþò ìåòîäû êîíòóðíûõòîêîâ è óçëîâûõ íàïðÿæåíèé.Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ ïîçâîëÿåò ñíèçèòü ÷èñëî ðåøàåìûõóðàâíåíèé äî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ, îïðåäåëÿåìûõ ðàâåíñòâîì (1.15).

 åãî îñíîâå ëåæèò ââåäåíèå â êàæäûé êîíòóð óñëîâíîãî êîíòóðíîãî òîêà Ik, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî îáû÷íî âûáèðàþò ñîâïàäàþùèì ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà. Ïðè ýòîì äëÿêîíòóðíîãî òîêà áóäóò ñïðàâåäëèâû ÇÒÊ è ÇÍÊ.  ÷àñòíîñòè, äëÿêàæäîãî èç âûäåëåííûõ êîíòóðîâ ìîæíî ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïîÇÍÊ. Ïîÿñíèì ñóòü ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ íà ïðèìåðå ðåçèñòèâíîé öåïè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñ. 2.5, à.

Äëÿ êîíòóðíûõòîêîâ Iê1 è Iê2 ýòîé ñõåìû ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ ïî ÇÍÊ â âèäå-U ã1 + (R 1+ R 3) Iê1 + R 3 Iê2 = 0, üý-U ã2 + R 3 Iê1 + (R 2+ R 3) Iê2 = 0. þÏåðåíåñåì Uã1 è Uã2 â ïðàâóþ ÷àñòü ñèñòåìû è ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìóþ êàíîíè÷åñêóþ ôîðìó çàïèñè óðàâíåíèé ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ:R11Iê1 + R12Iê2 = U ê1, üR 21Iê1 + R 22Iê2 = U ê2, ýþãäå R11 = R1 + R3; R22 = R2 + R3 íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè èëèêîíòóðíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè I è II êîíòóðîâ: R2 = R21 = R3 –âçàèìíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè I è II êîíòóðîâ; Uê1 = Uã1; Uê2 == Uã2 – êîíòóðíûìè çàäàþùèìè íàïðÿæåíèÿìè.

Èñòèííûå òîêèâ âåòâÿõ íàõîäÿòñÿ êàê àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà êîíòóðíûõ òîêîâ:I1 = Iê1; I2 = Iê2; I3 = Iê1 + Iê2. îáùåì ñëó÷àå, åñëè ðåçèñòèâíàÿ öåïü ñîäåðæèò k íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ, ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò âèäR11Iê1 + R12Iê2 + K + R1k Iêk = U ê1, üR 21Iê1 + R 22Iê2 + K + R 2k Iêk = U ê2, ïïý. . . . . . . . . . . . . . . . . .ïRk1Iê1 + Rk 2Iê2 + K + Rkk Iêk = U êk.

ïþ(2.11)Ñëàãàåìûå RlnIên â óðàâíåíèè (2.11) áåðóòñÿ ñî çíàêîì «+», åñëèòîê Iêl è Iên îáòåêàþò Rln â îäíîì íàïðàâëåíèè è ñî çíàêîì «–» âïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êîíòóðíîå çàäàþùåå íàïðÿæåíèå Uê ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå çàäàþùèõ íàïðÿæåíèé èñòî÷íèêîâ, âõîäÿùèõâ êàæäûé êîíòóð. Ñî çíàêîì «+» ñóììèðóþòñÿ èñòî÷íèêè, çàäàþùåå íàïðÿæåíèå êîòîðûõ íàïðàâëåíî íàâñòðå÷ó êîíòóðíîìó òîêó,49è ñî çíàêîì «–», åñëè íàïðàâëåíèå íàïðÿæåíèÿ è êîíòóðíîãî òîêàñîâïàäàþò.Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.11), íàéäåì çíà÷åíèÿ êîíòóðíûõòîêîâIê1 = D 1 D R ; Iê2 = D 2 D R ; K Iêk = D k D R ,ãäå DR – ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (2.11):DRR11R= 21. . .Rk1R12R 22. .

.Rk 2KK. .KR1kR2k.. .Rkk(2.12)Îïðåäåëèòåëü Dk íàõîäèòñÿ ïóòåì çàìåíû k-ãî ñòîëáöà â (2.12)ïðàâîé ÷àñòüþ ñèñòåìû (2.11). Íàïðèìåð, äëÿ D1 èìååì:U ê1U ê1D1 =. . .U êkR12R 22. . .Rk 2KK. .KR1kR2k.. .Rkk(2.13)Ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü D1 ïî ýëåìåíòàì ïåðâîãî ñòîëáöà, ìîæåìïîëó÷èòü óðàâíåíèå äëÿ Iê1 â äðóãîé ôîðìå:D k1D 11D 211 kIê1 = U ê1+ U ê2+ K + U êk=å U êl D l1 , (2.14)DRDRDRD R l =1ãäå D11, D12, ..., Dk1 – àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ(2.12).Àíàëîãè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ îñòàëüíûõ òîêîâ:Iê2 =1 k1 kKD,,=UIå êl l 2å U êl D l ê .êkD R l =1D R l =1(2.15)Êàê ñëåäóåò èç óðàâíåíèé (2.14) è (2.15), êîíòóðíûé òîê ìîæåòáûòü ïîëó÷åí àëãåáðàè÷åñêèì ñóììèðîâàíèåì ÷àñòè÷íûõ òîêîâ îòâîçäåéñòâèÿ êàæäîãî êîíòóðíîãî çàäàþùåãî íàïðÿæåíèÿ â îòäåëüíîñòè.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îòðàæàåò ðàññìîòðåííûé â § 1.6 ïðèíöèï íàëîæåíèÿ.Åñëè â ñõåìå êðîìå èñòî÷Uã2R1 I1 1 I2 R2íèêîâ íàïðÿæåíèÿ ñîäåðæèòñÿ ï+âåòâåé ñ èñòî÷íèêàìè òîêà, òî íå+çàâèñèìûå êîíòóðû âûáèðàþòñÿRU ã1J3òàê, ÷òîáû èñòî÷íèê òîêà âõîäèëòîëüêî â îäèí êîíòóð. Ýòî ìîæíîñäåëàòü, åñëè âûáðàòü äåðåâî ãðà2ôà öåïè òàêèì, ÷òîáû èñòî÷íèêÐèñ. 2.7òîêà âõîäèë â îäíó èç õîðä.50×èñëî êîíòóðíûõ óðàâíåíèé ïðè ýòîì óìåíüøàåòñÿ äînê = nâ - nó + 1 - nã.(2.16)Íàïðÿæåíèÿ îò çàäàþùèõ òîêîâ ýòèõ èñòî÷íèêîâ ó÷èòûâàþòñÿ âëåâîé ÷àñòè ñèñòåìû (2.11) íà âçàèìíûõ ñîïðîòèâëåíèÿõ, êîòîðûåýòè òîêè îáòåêàþò.

Íàïðèìåð, äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íàðèñ. 2.6, à, ñîñòàâëÿåòñÿ òîëüêî îäíî óðàâíåíèå äëÿ II êîíòóðà:R 22Iê2 - Iã1R 3 = (Rã2 + R 2 + R 3) Iê2 - R 3 Iã1 = U ã2 .Ñôîðìóëèðîâàííûå âûøå ïðàâèëà ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé ïîìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ ñïðàâåäëèâû è â ñëó÷àå çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ íàïðÿæåíèÿ ÈÍÓÍ è ÈÍÓÒ.Ïðèìåð. Íàéäåì òîêè â öåïè ñîäåðæàùåé ÈÍÓÒ ñ çàäàþùèì íàïðÿæåíèåì Uã2 = HRI1 (ðèñ. 2.7) ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî öåïü ñîäåðæèò âåòâü ñ èäåàëüíûì íåçàâèñèìûì èñòî÷íèêîìòîêà J ñîãëàñíî (2.15) ñîñòàâèì âñåãî îäíî óðàâíåíèå äëÿ êîíòóðíîãî òîêà Iê.Ïðè ýòîì çàäàþùèé òîê èñòî÷íèêà òîêà J çàìûêàåì ïî âåòâè c R1 è Uã1, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èìIê (R1 + R 2 + R 3 ) - JR1 == U ã1 + U ã2 = U ã1 + H R I1,èëè ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî I1 = Iê – J, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èìIê (R1 + R 2 + R 3 - H R ) = U ã1 - (H R - R1) .Îòñþäà ñëåäóåòIê = I2 =U ã1 - (H R - R1)(R1 + R 2 + R 3 - H R ).Çàïèøåì óðàâíåíèå êîíòóðíûõ òîêîâ â ìàòðè÷íîé ôîðìå.

Çàêîí Îìà â ìàòðè÷íîé ôîðìå èìååò âèäI â = G â ( U ãâ + U â ) ,(2.17)R âI â = U ãâ + U â(2.18)èëè–1ãäå Gâ = Râ , Gâ, R⠖ êâàäðàòíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðîâîäèìîñòåé è ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé.Iâ, Uãâ, U⠖ ìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ, çàäàþùèõ íàïðÿæåíèéèñòî÷íèêîâ è íàïðÿæåíèé âåòâåé. Óìíîæèâ ñëåâà îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.17) íà êîíòóðíóþ ìàòðèöó  è ó÷òÿ, ÷òî ñîãëàñíî ÇÍÊ(1.20) ÂUâ = 0, ïîëó÷èìBR âI â = BU ãâ .(2.19)Òîêè âåòâåé ñâÿçàíû ñ êîíòóðíûìè òîêàìè ñîîòíîøåíèåì:I â = B òI ê(2.20)51ãäå Iê – ìàòðèöà-ñòîëáåö êîíòóðíûõ òîêîâ.Ïîäñòàâëÿÿ (2.19) â (2.18), ïîëó÷àåì:BR âB òI ê = BU ãâ .(2.21)BR âB ò = R ê , BU ãâ = U ê ,(2.22)Åñëè ó÷åñòü, ÷òîãäå Rê – êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà êîíòóðíûõ ñîïðîòèâëåíèé; Uê – ìàòðèöà-ñòîëáåö êîíòóðíûõ çàäàþùèõ íàïðÿæåíèé, òî â ñîîòâåòñòâèèñ (2.20) ïîëó÷èì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå êîíòóðíûõ òîêîâR êI ê = U ê .(2.23)Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñõåìó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ.