Диссертация (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений), страница 7

4.2. Распределение модуля плотности потенциала двойного слоя g поповерхности сфер. Случай k  2 , n  m  3Рис. 4.3. Распределение модуля плотности потенциала двойного слоя g поповерхности сфер. Случай k  5 , n  m  555Количественные данные о разности численных и аналитических решенийсведены в таблицы 4.1-4.3В таблице 4.1 приведены значения собственных чисел, соответствующиеисследованным сочетаниям параметров k и n, а в таблицах 4.2 и 4.3 - значениясредней (  ср ) и максимальной (  макс ) погрешностей численного решенияинтегрального уравнения, полученных для правых частей вида (4.1) (при этом вовсех случаях параметр m выбирался как m=n).

Указанные погрешностиопределялись по формулам ср 1 n | g точное, j  gчисл, j | s jS j 11 n | g точное, j | s jS j 1,max | g точное, j  gчисл, j | макс j 1,...,n1 n|s|gS j 1 точное, j j,nS   sj .j 1Здесь gточное, j и gчисл, j - значения точного и приближенного решений,соответствующие узлу разбиения на ячейке  j .Таблица 4.1. Собственные числа Cnn\k123450.1-1.5045 + 0.0002*i-0.8340-0.5836-0.4501-0.36671-1.8594 + 0.2000*i-0.9212 + 0.0112*i-0.6106+ 0.0002*i-0.4619-0.3730100.1017+ 0.0999*i-0.1523 + 0.1019*i0.0302 + 0.1051*i0.7803 + 0.1098*i-0.0934 + 0.1165*i56Таблица 4.2.

Средняя относительная погрешность  срn\k123450.10.00560.00360.00210.00190.002710.00140.00740.00450.00220.0019100.0500.0630.0160.5400.036Таблица 4.3. Максимальная относительная погрешность  максn\k123450.10.03500.00840.00620.00500.01110.03500.01300.00900.00630.0059100.0990.1400.0471.5900.120Видно, что для k  0.1 и k  1 средняя и максимальная относительныепогрешности решения интегрального уравнения составляют доли процента. Призначении k  10 погрешности значительно выше.В данной задаче можно ввести аналог длины волны  2(указанноеkзначение -  есть длина акустической волны для задачи (1.1)-(1.4), котораясоответствует уравнению (1.13)) . При значении волнового числа k  10 диаметрразбиения всего примерно в 5 раз меньше длины волны, что по-видимомунедостаточно.

Соотношение между длиной волны и количеством ячеекприведены в Таблице 4.4.Таблица 4.4. Количество ячеек на длину волныkКолвоячеек0.15000.5100150225105574.3. Дифракция акустической волны на жесткой сфере и жестком дискеДля тестирования построенного численного метода решения краевой задачиНеймана для уравнения Гельмгольца (1.6)-(1.9) были получены решения такойзадачи,возникающиепримоделированиидифракцииплоскоймонохроматической акустической волны на жесткой сфере и на жесткомкруговом диске. При этом искалось полное поле акустического давления вида(1.4), где первичное поле имеет вид (1.1) c пространственной составляющей(1.17).Для вторичного поля возникает краевая задача (1.6)-(1.9), в которой  естьповерхность облучаемого тела, с правой частью (1.7).В задачах дифракции акустических волн представляет интерес диаграмманаправленности, выражающая зависимость эффективной площади рассеянияотражающего тела от направления.

Эффективнаяплощадь рассеяния внаправлении единичного вектора  вводится по формуле (1.19) и вычисляется поформуле (2.10).В задаче о дифракции акустической волны на жестком круговом дискерассмотрен случай, когда первичная плоская волна падает вдоль оси диска(вектор k сонаправлен с осью диска - рис. 4.4).Рис. 4.4.

Схема разбиения диска и построения диаграммы направленности58На примере этой задачи было исследовано влияние размера ячеек разбиенияна получаемые диаграммы рассеяния. Кроме того, было проведено сравнениерезультатов, получаемых при вычислении интеграла в формуле (2.8) длякоэффициентов aij по формуле (2.9) с результатами, когда эти интегралывычисляются по упрощенным формулам:aij  K1( xi , y j )s j ,(4.2)i  j , aii  0 , i, j  1,..., n .Использовалось разбиение диска на ячейки  j , равномерное по полярнымкоординатам на диске со значениями числа ячеек разбиения n  100  5  20 ,n  400  10  40 и n  1600  20  80 (здесь первый сомножитель - число ячеекразбиения по радиусу, второй - по дуге окружности на диске, см. рис.

4.4). На рис.4.5-4.7 приведены диаграммы направленности в виде зависимостейD( )  10lg ( ), ( 0 )(4.3)где  - угол между вектором k , задающим направление распространенияпадающейплоскойволны,ивектором,0-единичныйвектор,противоположно направленный вектору k , полученные для значений волновогочисла k  3;10;20 соответственно.При этом на графиках слева приведеныкривые, полученные при использовании для вычисления коэффициентов aijупрощенной формулы (4.2), а справа формулы (2.9) с доразбивкой каждой ячейкиразбиения  j ,j  1,..., n на Nm  100 ячеек ( n0  m0  10 , см. рис. 2.3) исглаживаем особенности в ядре.На каждом графике приведены кривые,соответствующие различным разбиениям диска на основные ячейки.59Рис. 4.5. Диаграммы направленности для k  3 (слева Nm  1, справаNm  100 )Рис.

4.6. Диаграммы направленности для k  10 (слева Nm  1, справаNm  100 )Рис. 4.7. Диаграммы направленности для k  20 (слева Nm  1, справаNm  100 )60В таблице 4.5 приведена средняя разность между значениями эффективнойплощади рассеяния на кривых, изображенных на рис. 4.5-4.7, соответствующихразличным вариантам разбиения в Дб:N point D(i )  D0 (i ) ,N point i  11где N point - число точек i , по которым строились графики, D(i ) - значениедля указанного варианта, D0 (i ) - значения, полученные на самой мелкой сетке20_80 при Nm  100 , рассматриваемые в качестве эталонных.Таблица 4. 5.

Различие между рассчитанными зависимостями эффективнойповерхности рассеяния для различных вариантов разбиения5_20 - 20_8010_40 - 20_80Nm  1Nm  100Nm  1Nm  100k 30,039 %0,096 %0,037 %0,057 %k  102,225 %0,526 %1,177 %0,201 %k  205,873 %1,657 %1,644 %0,699 %Можно заметить, что при k  3 отклонение от эталонного вариантаминимальное для обеих схем, причем для упрощенной схемы отклонение немноговыше, чем для схемы с доразбивкой ячеек. При k  10 отклонение от эталонногорешения для схемы с разбивкой ячеек на Nm  100 подъячеек меньше, чем дляупрощенной схемы с Nm  1, в 4 раза для сетки 5_20 и в 6 раз для сетки 10_40;приk  20 в 4 раза и в 2 раза соответственно.

Приведенные результатыпоказывают, что согласованность расчетов при использовании неизменной сеткиразбиения падает с увеличением волнового числа k , причем использованиеформул (2.9) для аппроксимации влияния слабосингулярной части ядра позволяетполучать более точные результаты.61Всюдудалееприводятсярезультаты,полученныепосхемесиспользованием формулы (2.9).На рис. 4.8, 4.9 приведены результаты расчета характеристик поля в дальнейзоне в сравнении с соответствующими численными характеристиками, взятымииз [30] (указанные результаты в монографии [30] получены на основе численногорешенияодномерногоинтегральногоуравнения,возникающегоприиспользовании свойства осесимметричности задачи). При расчетах автораиспользовалосьразбиениенаn=1600=20x80ячеек(привычислениикоэффициентов aij по формуле (2.9) осуществлялось дополнительное разбиениекаждой ячейки N j  100  10  10 более мелких ячеек. На рис.

4.8 приведенызависимости величины D(φ), определяемой выражение (4.3), а на рис. 4.9приведены зависимости интенсивности обратного рассеяния в децибелах:  10lg ( 0 )k2,здесь  0 - единичный вектор, противоположно направленный с вектором k .Видно хорошее согласование результатов, полученных в рамках предложеннойвычислительной модели, с известными результатами.62Рис.

4.8. Дифракция на диске. Диаграммы направленности для различныхзначений числа k (красные и зеленые линии – расчет автора, черные линии –расчет из [30])63Рис. 4.9. Дифракция на диске. Зависимость интенсивности обратного рассеянияот числа k (красные точки – расчет автора, черная линия – расчет из [30])Также были получены решения краевой задачи (1.6)-(1.9), возникающей примоделировании дифракции плоской волны на жесткой сфере (рис.

4.10).Использовалось разбиение сферы на n  1500 ячеек (такое же, как и при решенииинтегрального уравнения на сфере в п.4.2). На рис.4.11 приведены зависимостивеличины эффективной поверхности рассеяния сферы радиусом a (величины  ,определяемой формулой (2.10)) от угла  между векторами k , задающимнаправление распространения падающей плоской волны, и вектором  (см. рис.4.10) для нескольких значений волнового числа k, определяемых равенствамиka  0.1;1;3;5 . На рис.

4.12 приведена зависимость от волнового числа k величиныa2для вектора  0 , противоположно направленного с векторомk,характеризующая интенсивность обратного рассеяния. На рис. 4.11 и 4.12зависимости, полученные в результате расчета по предложенной схеме,приведены в сравнении с соответствующими известными теоретическими64зависимостями, основанными на представлении решения краевой задачи в видефункциональных рядов [34]. Видно хорошее качественное (наличие максимумови минимумов) и количественное совпадение представленных зависимостей вовсем исследованном диапазоне значений волнового числа.Рис.

4.10. Дифракция на сфере. Схема распространения падающей и отраженнойволныРис. 4.11. Дифракция на сфере. Диаграмма направленности (красные линии –расчет автора, черные линии – теоретическая зависимость из [34])65Рис. 4.12. Дифракция на сфере. Зависимость интенсивности обратногорассеяния от числа k (серые точки – расчет автора, черная линия –теоретическая зависимость из [34])4.4. Дифракция акустической волны на жестких поверхностях в формечастично заполненных диска и параболоидаБыли построены диаграммы направленности (см. формулу (1.19)) иотраженные поля на экранах в форме диска и параболоида вращения радиуса 1, атакже на сложных поверхностях, представляющих собой аналогичные диск ипараболоид вращения, выложенные из колец или небольших сегментов счастичнымзаполнением.Бралисьзначенияволновогочислаk  3;10;20 .Падающее поле представляло собой плоскую волну с волновым вектором k .66На рис. 4.13 приведены конфигурации диска (разбиение n  6720 ячеек,суммарная площадь ячеек Sdisk  3,141 ), диска выложенного кольцами ( n  3840ячеек, суммарная площадь Sdisk _ kol  1,795 , Sdisk _ kol / Sdisk  0,571 ) и диска,выложенногопластинами( n  1920ячеек,суммарнаяплощадьSdisk _ plast  0,897 , Sdisk _ plast / Sdisk  0,286 ).Рис.