Диссертация (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений), страница 3

При этом приподстановке в выражение (1.10) точки x  возникает интеграл, сходящийсяабсолютно и равномерно по x  .4) если плотность 2 ( y) дважды дифференцируема в каждой точке w поверхности  , то существуют нормальные производные   n  w и   , и n выполняется равенство:2 F ( x  y) w  w d y ,     ( y)nx n y n  n где интеграл следует понимать в смысле конечного значения по Адамару(последнее свойство доказано в [3]).Здесь отметим, что 1  2 F ( x  y) при x  y  0 , O x y3 nx n yздесь и далее O(r ) - величина порядка r при соответствующем предельномпереходе.

Поэтому интеграл в выражении для краевых значений нормальныхпроизводных потенциала двойного слоя не существует в обычном смысле (ни какнесобственный, ни в смысле главного значения).Интеграл видаf ( y)x yd y ,где f - функция, заданная на поверхности  и непрерывная в точке x  ,называется сходящимся в смысле конечного значения по Адамару, если найдутсячисла  и C , с которыми существует предел17f ( y)C ,lim  dy 0  \U ( x ) x  y   который и принимается за значение интеграла,U  ( x )  z  R3 x  z   - - окрестность точки x в трехмерном пространстве,  \ U - разность множеств[1].Как показано в монографии [3], 2 F ( x  y) 2 F ( x  y)2 g ( x) g(y)dg(y)dlim   , (1.11)yynnnn 0 x yx y \U ( x )где  - рассматриваемая поверхность (рис. 1.2).Рис.

1.2. Вычисление интеграла в смысле конечного значения по Адамару1.3.Сведение задачи к интегральному уравнениюВ монографии Лифанова И.К. [21] был предложен подход к решениюкраевой задачи (1.5)-(1.9), при котором решение ищется в виде потенциаладвойного слоя:u ( x)   g ( y )F ( x  y )d yn yгде F ( x  y) - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца:(1.12)18F ( x  y) e  ikr, r | x  y | .rПосле подстановки выражения (1.12) для функции u ( x) в граничноеусловие (1.6), возникает следующее интегральное уравнение:F ( x  y )d y  f ( x) , x  . g ( y)nx n yКак отмечалось в п.1.2., частную производнуюможно внести под знакn xинтеграла, если интеграл понимать в смысле конечного значения по Адамару(1.11): g ( y) F ( x  y )d y  f ( x) , x  .n x n y(1.13)В статье [7] был предложен численный метод решения данного уравнения,основанный на кусочно-постоянных аппроксимациях неизвестной функции иметоде коллокаций.

При этом возникала система линейных уравнений,коэффициенты которой выражались через интегралы по ячейкам разбиения ссильной особенностью и эти интегралы вычислялись численно.В настоящей работе предлагается преобразовать уравнение (1.13), выделивв нем главную особенность в явном виде. За счет этого удается добитьсяследующего.- Во-первых, при дискретизации граничного интегрального возникаетсистема линейных уравнений, коэффициенты которой, представляются в видесуммы сильно сингулярных и слабо сингулярных интегралов.

В отличие отработы [6], сильно сингулярные интегралы вычисляются аналитически. Численновычисляются только интегралы со слабой особенностью. Эта схема будет описанав п.2.2.- Во-вторых, для частного случая, когда решается уравнение (1.13) намножестве  , которое есть выпуклое множество на плоскости, удалось доказатьсходимость численного метода. Этот результат будет описан в главе 3.19Перейдем к преобразованию уравнения (1.13).ПустьF0 ( x  y ) 14 | x  y |(1.14)фундаментальное решение уравнения Лапласа,F ( x  y)  F ( x  y)  F0 ( x  y) .(1.15)Подставив выражения (1.14)-(1.15) в уравнение (1.13), получим уравнение: g ( y) F ( x  y ) d   g ( y ) K1 ( x, y )d  f ( x ) , x  ,yynx n 0(1.16)yгдеK1 ( x, y )  F ( x  y ) .nx nyДля ядра K1 ( x, y ) справедливо выражение k 2 e ikr 3ike ikr 3e ikr  3 K1 ( x, y )   3   ( x  y , nx )  ( x  y , n y ) 45rrr eikr  ikreikr  1  nx n y , x, y  , x  y, r  x  y ,3rПри этом при r  x  y  0 выполнены свойства:( x  y)nx  O(1/ r 2 ) ,( x  y)ny  O(1/ r 2 )eikr  ikreikr  1  O(1/ r 2 ) .Поэтому1K1 ( x, y )  O   , при r  x  y  0 .rПоэтому второй интеграл в уравнении (1.16) есть несобственный абсолютносходящийся интеграл.201.4.Восстановление поля и его характеристик в дальней зоне порешению интегрального уравненияРассмотрим задачу о дифракции акустической волны на жестком теле илисистемежесткихтел.Пустьпервичноеполеестьплоскаяволнаcпространственной составляющей:u0 ( x)  eikr ,(1.17)где r - радиус вектор точки x, k - заданный волновой вектор, такой, что k  k .Полное поле представляется в виде (1.4), где u - неизвестное вторичноеполе.

При решении задачи описанным методом оно определяется по формуле:u ( x)   g ( y )F ( x  y )d y ,n yгдеF ( x  y ) eik | x  y| eik | x  y|   ik   y  x  ny .23 n y|xy||xy|(1.18)В задачах дифракции акустических волн представляет интерес диаграмманаправленности, выражающая зависимость эффективной площади рассеянияотражающего тела от направления. Эффективнаяплощадь рассеяния внаправлении единичного вектора  вводится по формуле:  limR u 2 ( x) 4 R 2u02 ( x),(1.19)гдеx  R  ,R – радиус,  - единичный вектор.

Величина характеризует энергиюотраженного поля в направлении вектора  . Получим выражение для величины через плотность потенциала двойного слоя в выражении (1.12). Подставив ввыражение (1.16) выражение (1.12) и, учитывая, что21| u0 | 1 ,получим:2eik | x  y| eik | x  y|   4 R lim   g ( y )  ik ( y  x ) n y d y  .| x  y |2 | x  y |3 R  2При R   выполнена оценка:| x  y || R   y | O( R) .ТогдаF ( x  y )ik | x  y | eik | x  y|  eik | x  y| ( y  R   , n y )RR2n y|xy||x y| ikeik | x  y| eik | x  y|   y, n yR R , ny2  | x  y | | x  y | |x y||xy| y, n y1RRik | x  y| Rik | x  y|    ikee , ny| x y| | x y|| x y|  | x  y | | x  y |RR11ikeik | x  y| , n y  O    ikeik | x  y|  , n y  O   .|x y||x y|RRЗаметим, что1 0,|x y|RR1 1. | x  y | | y  R  |  yRПоэтому  4 R 2 lim  g ( y )  ikeik | x  y|  n y ,  d yR  Представим e  ik | x  y | в виде:e  ik | x  y |  e  ik | y  R  | .2(1.20)22Заметим, чтоy  R   ( y  R  , y  R  ) ( y , ) y 2y  2 R( y, )  R ( , )  R 1  2RR2  y ,  1 R1   O  при R   .R R22  Значитeik | y  R |  eikR ( y, )ik  o(1)  eikRe( y, )ik  o(1) ,где o(1)  0 при R   .С помощью полученных выражений преобразуем выражение (1.20):    4lim  g ( y) (ik )eR   ikR 2  ike ikR ( y , )ike n y   d y4  g ( y ) e ( y , )ik  n y , d y222 4k 2  g ( y ) e ( y, )ik  n y , d y .Таким образом зависимость  ( ) можно описать следующей формулой:2 ( )  4k 2  g ( y ) e ( y, )ik  n y , d y .(1.21)Часто эффективную площадь рассеяния выражают в Дб.  10lgгде S - площадь поверхности объекта. ( )SДб ,(1.22)23Глава 2.

Численная схема2.1. Дискретизация задачиВ работе [6] для нахождения приближенного решения интегральногоуравнения (1.13) предложен подход, основанный на кусочно-постоянныхаппроксимациях неизвестной функции и применении метода коллокаций.Разобьем поверхность  на ячейки  i , i 1,...,n , так что  n iиi 1множество  i   j при i  j имеет нулевую площадь. Предполагается, чтоконтур каждой ячейки  jесть пространственный четырехугольник.

Точкаколлокации x j выбирается как геометрический центр масс вершин ячеек,единичный вектор нормали n j строится как нормаль к отрезкам, соединяющимвершины противоположных сторон. Также могут быть использованы треугольныеячейки, при этом такая ячейка трактуется как четырехугольная, у которой одна извершин сдвоенная. Приближенная площадь ячейки s j определяется как модульвекторного произведения векторов, соединяющих середины противоположныхсторон (рис.2.1). Для ячейки  j с вершинами A1, A2 , A3, A4 используем формулыA  A2  A3  A4xj  1,4n 'j'n j   RT , PQ  , n j ,n 'jsj  n'j , n'j  .(2.1)24Рис. 2.1.

Ячейка сетки  jПриближенное решение уравнения ищем в виде кусочно-постояннойфункции g~( x) , принимающей постоянное значение g на внутренности каждойiиз ячеек разбиения  i .При этом приближенное решение краевой задачи (1.5)-(1.9) ищется в виде:F ( x  y )d ynyjnu ( x)   g j j 1(2.2)2.2. Составление системы линейных алгебраических уравненийОбозначимF ( x  y )d y nyju j ( x)  потенциал двойного слоя с плотностью, равной единице, на ячейке с номером j .Таким образом, получим:nu ( x)   g j u j ( x) .j 125Запишем выражение для нормальной производной функции u~ в точках xi ,i  1,..., n . Продифференцировав выражение (2.2), получим:nF ( xi  y )u ( x)   g jd y .nn(x)ni jyj 1Обозначивaij F ( x  y )d y , x  xin x n yjпридем к следующей системе линейных алгебраических уравнений:n g j aijj 1Вработахкоэффициентов[7,18]интегралыaijпреобразовывалисьописан f ( xi ) , i  1,...,n .подход,винтегрированиемпривыражениипочастям(2.3)которомдлядляэтихксумменахождениякоэффициентовконтурногоиповерхностного интегралов, понимаемых в обычном смысле (не сингулярных), иэти интегралы предлагалось вычислять численно.В данной работе для расчета коэффициентов aij предлагаются следующиепреобразования.