Диссертация (1091517), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

За счет этого удалосьдобиться следующего:- Во-первых, при дискретизации граничного интегрального возникаетсистема линейных уравнений, коэффициенты которой, представляются в видесуммы сильно сингулярных и слабо сингулярных интегралов. В отличие отработы [6], сильно сингулярные интегралы вычисляются аналитически. Численновычисляются только интегралы со слабой особенностью.7- во-вторых, для частного случая, когда отражающая поверхность выпуклое множество на плоскости, удалось доказать сходимость численногометода решения граничного интегрального уравнения.Теоретическая и практическая значимость состоит в том, чторазработанный подход может быть применен к решению задач дифракцииакустических волн как на телесных объектах, так и на тонких экранах, а также ихкомбинациях.

Разработанная вычислительная модель может быть применена дляисследования характеристик различных звуковых полей, в частности в задачахоценки уровня шума, вызываемого источниками с известными характеристиками,в городской застройке.Методологияиметодыисследования.Методологиянаучногоисследования определяется через математическую формализацию физическогоявления, построение его математической модели, построение численной моделина основе математической, верификацию численной модели с помощьюэкспериментов и/или теоретическое обоснование математической модели. Воснове построения вычислительной модели лежат математические методы теориипотенциала и граничных интегральных уравнений.На защиту выносятся следующие результаты и положения:- разработка нового варианта численного алгоритма решения краевой задачиНеймана для уравнения Гельмгольца, основанного на сведении задачи кграничным интегральным уравнениям с гиперсингулярными интегралами;- разработка вычислительного метода для математического моделированиядифракции скалярных волн;- получение для частного случая задачи на плоском экране теоретическихоценок для погрешности численных решений граничного интегральногоуравнения, основанных на доказательстве сходимости численной схемы;-осуществление программной реализации численного метода в видекомплекса программ для решения задач дифракции скалярных волнразработанным методом.8Достоверность разработанных численных алгоритмов подтверждаетсядоказательствомсходимостичисленнойсхемырешенияграничногоинтегрального уравнения для частного случая, проведенными исследованиямиповедения численных решений модельных задач при измельчении шага разбиенияповерхности, сравнением численных решений интегрального уравнения на сфересизвестнымианалитическимирешениями,сравнениямихарактеристикотраженного поля в дальней зоне с известными расчетно-аналитическимиданными других авторов для модельных задач.Апробация результатов: Результаты работы докладывались и обсуждалисьна следующих конференциях и научных семинарах:1.

61 НТК МИРЭА «Численная схема решения краевой задачи Неймана дляуравнения Гельмгольца на плоском экране», Москва 2012г.2. Научно-техническая конференция «Новые технологии в перспективныхсистемах обнаружения, навигации и радиоуправления» «О решении задачдифракции волн на тонких экранах методом интегральных уравнений»,Москва 2012г.3. 62 НТК МИРЭА «Математическое моделирование дифракции акустическойволны на тонком экране», Москва 2013г.4. 62 НТК МИРЭА «Численное решение краевой задачи Неймана для уравненияГельмгольца на тонком экране», Москва 2013г.5. XVI Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей взадачах математической физики» «Численное решение краевой задачиНеймана для уравнения Гельмгольца методом дискретных особенностей»,Харьков-Херсон 2013г.6.

ЕжемесячныйМеждународныйавиационно-космическийнаучно-гуманитарный семинар им. С.М. Белоцерковского проводится под эгидойЦентрального аэрогидродинамического института им. проф. Н.Е. Жуковскогои Военно-воздушной академии им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина9«Применение идей метода вихревых рамок к задачам дифракции волн»,Москва 2014г.7. 12th International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics(ICNAAM 2014) « Numerical Simulation of Scattering of Acoustic Waves byInelastic Bodies using Hypersingular Boundary Integral Equation», Rhodes, Greece,22-28 сентября 2014г.Публикации.

Основные результаты опубликованы в следующих 7 научныхработах, из которых 3 работы (статьи [1-3]) опубликованы в журналах из перечняВАК, 1 статья в сборнике трудов конференции, индексируемая базами данныхScopus и Web of Science [4]:1. Лебедева С.Г., Сетуха А.В. О численном решении полного двумерногогиперсингулярногоуравненияметодомдискретныхособенностей//Дифференциальные уравнения. 2012. 49. №2. С.223-233.2. Лебедева С.Г. О решении задач дифракции волн методом интегральныхуравнений // Антенны.

2013. №2. С.3-6.3. Даева С.Г., Сетуха А.В. О численном решении краевой задачи Неймана дляуравнения Гельмгольца методом гиперсингулярных интегральных уравнений.Вычислительные методы и программирование. 2015. Т.16. С.421-435.4. Daeva S.G., Setukha A.V. Numerical Simulation of Scattering of Acoustic Wavesby Inelastic Bodies using Hypersingular Boundary Equation // AIP ConferenceProceedings. 2015. v. 1648. P.39004-1 - 390004-4.5. Лебедева С.Г. Численная схема решения краевой задачи Неймана дляуравнения Гельмгольца на плоском экране // Сборник трудов 61 НТК МИРЭА.2012. Часть 5.

С.80-85.6. Лебедева С.Г. О решении задач дифракции волн на тонких экранах методоминтегральных уравнений // Труды научно-технической конференции «Новыетехнологиивперспективныхрадиоуправления». 2012. С.63-68.системахобнаружения,навигациии107. Лебедева С.Г.

Численное решение краевой задачи Неймана для уравненияГельмгольцаметодомдискретныхособенностей//ТрудыXVIМеждународного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачахматематической физики». 2013. С.230-233.Структура работы:Работа состоит из введения, 4 глав, в которых отражены основныерезультаты, полученные в процессе исследований, заключения и спискалитературы. Общий объем 92 страницы, библиографических ссылок 49.11Глава 1. Постановка задачи1.1.Постановка задачиРассматривается задача о дифракции монохроматической акустическойволны на системе жестких тел и экранов (см. рис.1.1).

Пусть  есть областьтрехмерного пространства вне рассматриваемых тел и экранов. Будем считать,что граница области  есть суммарная поверхность  , которая представляетсобой систему простых ориентируемых поверхностей (компонент). Каждая такаякомпонента может быть замкнутой (поверхность телесного объекта, при этом есть внешняя область по отношению к такой компоненте поверхности), либоограниченной разомкнутой поверхностью с краем (в этом случае область  имеетразрез по этой поверхности, такая компонента аппроксимирует тонкий экран).Всюду далее предполагаем, что в пространстве введена декартова системакоординат Ox1x2 x3 и каждая точка x пространства отождествляется с набором еекоординат: ( x1, x2 , x3 )  R3 .

При этом область  рассматривается как область впространстве R3 , а поверхность  как его граница.Рис. 1.1. К задаче о дифракции волны на системе тел12Задача дифракции монохроматической акустической волны состоит внахождении поля акустического давления в области  вне тел видаu full ( x, t )  u full ( x)eit , -которое далее будем называть полным полем акустического давления. Здесь t –время, ω - заданная частота волнового процесса, x  ( x1, x2 , x3 )  , функция u fullявляется комплексной функцией действительных аргументов.

Полагается чтополе u full ( x, t ) вызвано первичным полем (падающей волной):u0 ( x, t )  u0 ( x)eit .(1.1)u full  u0  u ,(1.2)Тогда полное поле ищется в видегдеu ( x, t )  u ( x)eit -неизвестное вторичное поле.Предположение о том, что поверхность тел является жесткой, записываетсяв виде граничного условияu fulln 0 на поверхности  .(1.3)В силу формулы (1.2), пространственную составляющую полного поляакустического давления u full ( x) ищем в виде:u full  u0  u ,(1.4)Для пространственной составляющей вторичного поля u ( x) возникаеткраевая задача Неймана для уравнения Гельмгольца (см. [12,27,30])u  k 2u  0 в области (1.5)u f на поверхности  ,n(1.6)где параметр k называется волновым числом и определяется по формуле13kc,c –скорость звука в среде. Правая часть в граничном условии (1.6), в соответствиис формулой (1.4) и условием (1.3), определяется выражениемf u0,n(1.7)u0 - заданное первичное поле.Взадаче(1.5)-(1.6)ищетсянеизвестнаякомплекснаяфункциядействительных аргументов u ( x) , x  ( x1, x2 , x3 )  .Граничное условие (1.6) ставится в случае замкнутой поверхности навнешней стороне этой поверхности, в случае разомкнутой поверхности – на обеихсторонах этой поверхности (функция f полагается одинаковой на обеих сторонахповерхности),u- производная в направлении вектора нормали n к суммарнойnповерхности  .

Предполагаем, что n - единичный вектор нормали, котораяявляется внешней на замкнутых компонентах. На разомкнутых компонентахповерхности  вектор n выбирается на одной из сторон поверхности.Ищется решение задачи – функция u ( x) с комплексными значениями,определенная в области  , такая, что она сама и ее градиент имеют краевыезначения на поверхности  со стороны области  во всех точках гладкости (заисключением краев разомкнутых компонент поверхности  ), x  ( x1, x2 , x3 )  R3 точки пространства.Неизвестная функция u ( x) должна удовлетворять условию локальнойинтегрируемости квадрата градиента (условие конечности энергии поля – условиеМейснера [12]):gradu  L1loc   2иусловиямнаЗоммерфельда [12]):бесконечности(условияизлучения(1.8)набесконечности14u ( x)  0 , 1 1( x, gradu ( x))  ikx  o  при | x |  ,| x|| x|(1.9)o  r  - величина более высокого порядка малости, чем r при выполнениисоответствующего предельного перехода.Как правило, первичное поле u 0 может быть представлено в видесуперпозиции полей точечных источников и/или плоской волны, идущей сбесконечности.Если поле u0 генерируется точечным источником, тоe  ikru0  Q,rгде Q – интенсивность источника, r | x  q | , q – точка в которой расположенисточник.Если поле u 0 представляет собой плоскую волну, идущую с бесконечности,то оно задается следующим образом:u0  Qeik (r l ) ,где l – единичный вектор, задающий направление падающей полны.

При этом наповерхности тела имеем:u0 Qikeik ( r l ) (r  n y ) .nПри решении краевых задач для уравнений Гельмгольца широкоиспользуется теория потенциала, на основе которой краевая задача сводится кинтегральномууравнению,записанномунаграницеобласти.Основныеположения этой теории изложены в [19,21,27]. Сведение краевых задач дляуравнения Гельмгольца при помощи поверхностных потенциалов к интегральнымуравнениям дает возможность эффективного численного решения краевых задачдля областей сложной формы [6,10].В данной работе будем использовать подход, основанный на представлениирешения задачи (1.5)-(1.6) в виде потенциала двойного слоя. Основы такого15подхода были сформулированы в работах Лифанова И.К. [17]. Его достоинствосостоит в том, что в рамках этого подхода используется интегральноепредставление решения с однотипными интегралами как по замкнутым, так и поразомкнутым компонентам граничной поверхности.Перейдем к сведению задачи (1.5)-(1.9) к граничному интегральномууравнению.1.2.Свойства потенциала двойного слоя.Потенциалом двойного слоя с плотностью ( y ) , y  , называетсяфункция w( x) , определяемая выражениемw( x)    ( y )F ( x  y )d y ,n y(1.10)гдеeikr, r  x yF ( x  y) r-фундаментальное решение уравнения Гельмгольца (1.5), удовлетворяющееусловию излучения (1.9).Потенциал двойного слоя обладает следующими свойствами:1) в точках x, не лежащих на поверхности  , функция w(x) удовлетворяетуравнению Гельмгольца (1.5);2) при x   выполнено условие w( x)  0 ;3) если плотность ( y ) непрерывна на  , то потенциал двойного слоя(1.10) имеет разрыв первого рода в точках поверхности  , причем для егокраевых значений на этой поверхности выполнены соотношения1w  w( x)   ( x) ,21w  w( x)   ( x) ,216x  ,гдеw( x)-прямоезначениепотенциаладвойногослоя,получаемоенепосредственно из его интегрального представления (1.10).

Характеристики

Список файлов диссертации