Даева отзыв оппонента Марчевского И.К. (1091501)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ОТЗЫВ официального оппонента, кандидата физико-математических наук Марчевского Ильи Константиновича на диссертационную работу Даевой Софьи Георгиевны «Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных ураи1ений». представленнук) на соисканис у~!СКОЙ с1епени кандидата физико-магематичес1.их наук по специальности 05.13,18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ В диссертации рассмотрена и ре1пена задача о моделировании дифракцин акустических волн на различных объектах -- трехмерных телах, тонких экранах, атакже их комбинациях. При этом предполагается, что длина волны сопоставима с характерными размерами обьектов, поэтому для описания распространения волн возникает необходимость решения краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца в пространственной обласги, являк1щейся внешностью тел и экранов. В предположении о том, что рассматриваемый волновой процесс явля!ггся монохроматическим.

задача сводится к решению граничного интегрального уравнения, ядро которого имеет сильную особенность. Сам интеграл при этом понимается в смысле главного значения по Адамару. Для получения приближенного решения на поверхности тел вводится сетка и предполагается, что искомая функция являсгся кусочно-постоянной на ячейках сетки.

Это позволяет записать систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функции ца ячейках разбиения. Для нахождения коэффициентов системы применен оригинальный подход, который закщочается в том, что указанные коэффициенты удалось прсдсгавить в виде сумм гиперсингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения по Адамару, и абсолютно сходящихся несобственных интегралов.

Для ячеек сетки, представляющих собой произвольные пространственные многоугольники, значения . гиперсингулярных интегралов удается найти аналитически, а для несобственных интегралов разработана методика их приближенного вычисления путем применения квадратурных формул типа формулы прямоугольников со сглаживанием особенности подынтегральной функции. Актуальность темы исследования. Во многих случаях для численного решения задач дифракции волн используют сеточные методы, в частности, иптегро-интерполяционный метод (метод контрольных объемов) и метод копченых элементов.

Г!ри решении внешних задач граничные условия задаются на бесконечном удалении от тел, что приводит к необходимости рассмотрения расчетной области, намного превышающей размеры обьектов. Оставляя в стороне нетривиальный вопрос о постановке граничных условий на внешних границах такой расчетной области, важно отметить, что для получения корректных результатов размеры ячеек сетки в расчетной области должны быть существенно меньше длины волны. Это обстоятельство не позволяет применить традиционный подход, в соответствии с которым вблизи исследуемых тел строится подробная сетка, а вдали от них, там, где решение не имеет больших градиентов, ячейки постепенно увеличиваются. Необходимость использования сеток с малым размером ячеек при решении задач дифракции акустических волн приводит к значительному росту вычислительной сложности численного алгоритма.

В связи с этим подход, основанный на сведении задачи к граничному интегральному уравнению на поверхности тел представляется исключительно перспективным. поскольку он, во-первых. не требует введения пространственной сетки в расчетной области, а во-вторых, позволяет точно удовлетворить раничным условиям на бесконечносги. Данный подход имеет ограничение — в частности, среда, в которой распространяется волна, должна быть однородной„однако для многих представляющих практический интерес задач данное ограничение не является критичным, Разработка эффективных методов решения соответствующих интегральных уравнений, которые являются гиперсингулярными, исследования в области их обоснования и доказательства сходимости, создание расчетных схем и их программная реализация„несомненно, являются актуальными задачами, имеющими большое теоретическое и практическое значение.

Представляет интерес как собственно исследование волновых процессов и моделирование дифракции волн„так и развитие методов граничных интегральных уравнений решения задач математической физики. Разработанная методика может бы гь полезна при решении многих практических задач, в частности, оценки уровня шума в городской застройке. Обоснованность предложенного подход» базируется на применении строго математического аппарата при сведении краевых задач к интегральным уравнениям и построении численных схем. При выводе интегральных уравнений использованы известные сведения из теории потенциала.

Для частного случая дифракции волны на плоском экране выполнено обоснование метода и построено доказательство сходимости численного решения к точному в равномерной норме при измельчении ячеек сетки па поверхности экрана. Для рассмотренных в диссертации задач достоверность получаемых по разработанной методике результатов подтверждается результатами вычислительных экспериментов, в которых произведено сравнение получаемых численных решений с известными точными решениями на сфере, а также сравнением характеристик отраженной волны с известными в литературе численными и аналитическими данными для ряда модельных задач. Научная новизна работы состоит в явном выделении сильной особенности в ядре интегрального уравнения и ее аналитическом интегрировании по ячейке сетки на поверхности тела, что в совокупности с реализацией приближенного численного метода вычисления абсолютно сходящегося несобственного интеграла дало возможность существенно повысить ~г|о сравнению с ранее применявшимися подходами к численному решению уравнений подобно1 о типа) точность вычисления коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений.

аппроксимирующих исходное интегральное уравнение. К новым научным результатам, безусловно, относится обоснование метода и построенис оценки погрешности приближенного решения в равномерной норме для частного случая дифракции волны на плоском экране. Научная и практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что разработанный численный метод может быль применен к решению достаточно широкого класса задач дифракции акустических вол на различных объектах. В разработанном программном комплексе имеется возмо>кность моделирования телесных обьектов, тонких экранов и их комбинаций.

Исключительно плодотворной представляется идея о дополнительной «доразбивке» ячеек сетки на поверхности объекта на более мелкие ячейки, что позволило существенно повысить точность расчета коэффициентов системы линейных уравнений. а, следовательно. и точность решения всей задачи, при сохранении сравнительно низкой размерности системы.

Диссертация С.Г. Даевой имеет объем 92 страницы, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 49 наименований. Во введении приведены сведения об объекге и предмете исследования, обоснована актуальность исследования, а также содержится краткий обзор известных исследований по соответствующей тематике. Сформулирована цель исследования, перечислены решенные в диссертации задачи, приведены положения, составляющие научную новизну работы. Здесь же приведены сведения об апробации работы и публикациях автора по теме диссертации. В первой главе поставлена задача о расчете дифракции монохроматической акустической волны на жестких телах, выполнено сведение задачи к решению гиперсингулярного интегрального уравнения относительно потенциала двойного слоя на поверхности тела либо экрана. Указано, в каком смысле следует понигиать записанные интегралы, а также выполнено преобразование полученного интегрального уравнения с цслью выделения в нем главной особенности, Во второй главе построен числегшый метод расчета дифракции монохроматической акустической волны, основанный на приближенном решении полученного в первой главе гиперсингулярного интегрального уравнения.

Главное значение по Адамару соответствующих гиперсингулярных интегралов вычислено аналитически для многоугольных ячеек; для интегралов со слабой особенностью предложена квадратурная формула. позволяющая находить их значения с высокой точностью. Важно отметить, что все расчетные формулы приведены к удобному для использования при программной реализации виду, для проведения расчета требуется задание лишь координат вершин ячеек сетки на поверхности тела ~или тонкого экрана) — в общем случае пространственных прямоугольников. Результаты второй главы интересны не только применительно к задачам дифракции акустических волн, поскольку разработанная методика численного решения интегральных уравнений с сильной особенностью может быть полезна при решении более широкого класса задач.

Третья глава посвящена теоретическому обоснованию метода: рассмотрен частный случай задачи, соответствующей дифракции акустической волны на плоском экране. С использованием известного утверждения о выполнении альтернативы Фредгольма для рассматриваемого типа интегральных уравнений показано, что поставленная задача однозначно разрешима в классе непрерывных по Гельдеру функций. Основным результатом третьей главы диссертации является доказанная теорема, которая помимо утверждения об однозначной разрешимости задачи дает оценку близости приближенного численного рец)ения к точному в равномерной норме.

Данный результат следуег рассматривать как существенный вклад в теорию гиперсингулярных интегральных уравнений и численных методов их решения. В чствертой главс приведены примеры решения модельных задач, подтверждающие полученные в предыдущих главах результаты. Для решения уравнения на сфере проведено сравнение с точным аналитическим решением, которое может быть построено для правых частей специального вида. Установлены границы применимости метода в смысле необходимой для получения адекватного результата густоты поверхностной сетки.

Полученные результагы согласуются со всеми предположениями и утверждениями, сделанными в диссертации, Также выполнен расчет диаграммы направленности для случая плоской акустической волны, падающей на жесткий круговой диск. Продемонстрирована численная сходимость решения при измельчении поверхностной сетки; показано. что разработанный метод позволяет получать качественно и количественно верные результаты даже при использовании сравнительно грубых поверхностных сеток. Показана высокая эффективность предложенного подхода к повышению точности расчета за счет дополнительного доразбиения ячеек сетки, что связано с более точным вычислением соответствующих интегралов, являющихся коэффициентами решаемых систем линейных алгебраических уравнений.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации