Диссертация (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений), страница 5

При это A' - линейное подпространство пространствA  A( , ) и H  () .35Пусть G  1 : H  ()  A' - оператор, определяемый равенством (3.8) дляфункций f  H  () . Обозначим A"  ImG  1 , при этом A" A'  A и операторG1являетсяобратнымдляоператораG : A" H  () ,определяемогоравенством (3.6).Теперь предположим, что уравнение (3.7) рассматривается в классекомплексных функций. Пустьf ( x)  f1( x)  if 2 ( x)  H C () .Функция  1  i2  AC ()будет решением уравнения (3.7) тогда и только тогда, когда функции 1 и  2будут решениями действительного уравнения (3.7) для правых частей f1 и f 2соответственно.ОбозначимчерезA'Cf  f1  if 2 :   C таких, чтоиA"Cf i  A' имножествакомплексныхфункцийf i  A" , i  1,2 , соответственно.

Изприведенных выше результатов следует, что уравнение (3.7) при f  HC()однозначно разрешимо в классе функций A . Это решение определяетсяCравенством (3.8), удовлетворяет условию   A"C  A'C  A и оценке (3.11). ПриCэтом операторы G и G  1 можно продолжить на комплексные функции так, чтооператор G  1 ставит в соответствие функции f  f1  if 2  H C () функцию  1  i2  AC () , где i  G 1 f i , i  1,2 , а оператор G ставит в соответствиефункции   1  i2  A"C () функциюf  f1  if 2  H C () , гдеf i  Gi , () и G  1 : H  ()  A" являются взаимноi  1,2 .

Операторы G : A"C  H CCCобратными. Отметим, что эти операторы определяются равенствами (3.6) и (3.8).36Имеет место Теорема 1, которая была записана и доказана в [16] СетухойА.В.:Теорема 1. 1) Для уравнения (3.3) справедлива альтернатива Фредгольма:либо уравнение (3.3) имеет решение   AC для любой правой части f  H C () ,либо однородное уравнение имеет ненулевые решения в классе функций AC ;2) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.3), имеет неболее чем конечное число независимых решений;3) если однородное уравнение однозначно разрешимо в классе функций AC ,то существует константа С такая, что для любой правой части f  H C ()для решения уравнения (3.3) в классе AC справедливо условие   A"C ивыполнена оценка (3.11).3.4.

Доказательство сходимости численной схемы решения уравнения(3.3)В данном пункте доказывается сходимость численной схемы решенияуравнения (3.3). При этом рассматривается численная схема, описанная в п.2.2, сравномерным разбиением применительно к случаю плоского экрана.Рассмотрим случай, когда уравнение (3.3) однозначно разрешимо длялюбой правой части f  H  () (т.е. имеет место первый случай альтернативыФредгольма, см. теорему 1).Осуществим равномерное разбиение плоскости R 2 на непересекающиесяквадратные ячейки со стороной h , например, так, что каждая из ячеек разбиения задается в виде  ( x1, x2 )  R 2 ih  x1  (i  1)h, jh  x2  ( j  1)h37с некоторыми i, j  Z .

Пусть  i , i  1,...,n , - множество всех тех ячеек разбиенияплоскости, которые удовлетворяют условию  i   , и, кроме того, x i - центрячейки  i , i  1,...,n (точка пересечения диагоналей квадрата  i ).Ниже рассматривается численная схема решения уравнения (3.3), в которойищутся приближенные значения неизвестной функции  в точках x i на основеквадратурных формул по узлам в этих же точках. При этом построение иобоснование излагаемого численного метода могут быть связаны с отысканиемприближенного решения в виде кусочно-постоянной функции.Построенную систему ячеек разбиения T   i , i  1,...,n будем называтьрегулярным разбиением множества  .

Обозначим также T  i . При этомi 1,...NT , вообще говоря, не совпадает со множеством  , но легко показать, что присформулированном условии на гладкость границы множества  площадь фигуры \ T есть величина порядка h .Будем называть функцию  , заданную на множестве  , кусочнонепрерывной, если множество  можно разбить на некоторое конечное числоячеек  k , k  1,...,K (не обязательно квадратных), так, что каждое из множеств k измеримо по Жордану,  k , k  i   при k  ik 1,..., Kи при этом для каждого k  1,...,K сужение функции  на множество  kудовлетворяет условию   C ( k ) , и его можно продолжить по непрерывности назамыкание множества  k .Пусть L - нормированное пространство функций, кусочно-непрерывных намножестве  с нормой  sup  ( x) .x38ДлякаждогоразбиениявTпространствеLможновыделитьподпространство L' , состоящее из функций  (x) вида ( x )  i ,x  i , i  1,...,n ,(3.12) ( x)  0 , x   \ T ,где  i , i  1,...,n , - некоторый набор комплексных чисел.

При этом L' - замкнутоеподпространство пространства L размерности n .Пусть также L - нормированное пространство упорядоченных наборовкомплексных чисел вида   (1,..., n ) с нормой  max | i | . При этом каждойi 1,..., nфункции  L' вида (3.12) можно поставить во взаимно однозначноесоответствие вектор  (1,..., n )  Lи отображение 0 : L'  Lестьизоморфизм.Введем на пространстве L оператор проецирования  : L  L так, чтобы       x1 ,..., x n  L ,при этом  1 ,    0 для   L' .В работах [3,17,25] описана численная схема решения уравнения (3.7) вклассе действительных функций методом дискретных особенностей, котораясводит его к системе линейных уравнений относительно неизвестных  i ,i  1,...,n :n aij  j i 1fi ,i  1,...,n ,сf  f ( xi ) ,(3.13)39aij dyi3 j |x  y|,причем при практической реализации алгоритма данный интеграл может бытьсведен к контурному интегралу с использованием закона Био-Савара и вычисленаналитически [17].Известно, что:1) матрица системы (3.13) невырождена и для любого набора правых частейf1,..., f n для решения этой системы справедлива оценка [3,25]| i | C maxj 1,..., nf i  x j ,  ;(3.14)2) для любой функции  , представленной в виде1 ( x )   * ( x )  2  x,   ,где *  H 1,  () ,найдется константа C0 , не зависящая от разбиения T , и такая, что функцияf  G и числа f i , получаемые при подстановке    ( xi ) в левые частиравенств (3.13), связаны оценкой [3]ifi  f ( x ) C0 h ( x i , )i  1,...,n ,,(3.15)12  min   ,  .При этом в работе [3] рассматривалось уравнение (3.7) для конкретнойправой части f .

Можно показать, что рассуждение, приведенное в [3] придоказательстве оценки (3.15), остается в силе при условии   A . При этомконстанта зависит от функции  таким образом, что справедливо следующеесвойство.402а) Существует константа С , не зависящая от разбиения T , и такая, что длялюбой функции   A , которая представляется в виде (3.9) и при этом снекоторой константой N выполнены неравенства:1 1,   N ,D  2 ( x)  ( x, )| |1 / 2  N для всех x   ,(3.16)  3,функция f  G и числа f 'i , получаемые при подстановке значений i   ( xi ) влевые части равенств (3.13), связаны оценкойCNh Ri,f 'i  f ( x ) ( x j , )i  1,...,n ,(3.17)12  min   ,  .Из утверждений 1) и 2а) следует, что3)для любой функции f  H  () числа i , являющиеся решениямисистемы (3.13) с правыми частями fi  f ( xi ) , связаны с решением уравнения (3.7)неравенствамиi   ( xi )  C || f || h ,i  1,...,n ,(3.18)12  min   ,  .Действительно, в силу оценок (3.10) найдется константа C такая, что длялюбой правой частиf  H  () функция - решение уравнения (3.7),удовлетворяет оценкам (3.16) с N  C || f || , .

Разностиi  i   ( xi ) , i  1,...,n .удовлетворяют системе уравнений (3.13) с правыми частями41fi  f ( xi )  fi' , i  1,...,n ,для которых справедлива оценка (3.17). Тогда из оценки (3.14) следует оценка(3.18).Сформулированные результаты переносятся на уравнение (3.7) в классефункций с комплексными значениями. Пусть G : L  L - оператор, ставящийэлементу   (1,...,n )  L в соответствие элемент f  ( f1,..., f n )  L по формулеnfi   aij j , i  1,...,n .i 1Для элементов пространства L введем норму|| f ||*  max | fi  ( x j , ) | .i 1,...,nТогда оператор G имеет ограниченный обратный оператор и для элемента G1f Lсправедлива оценка||  || C || f ||* .(3.19)Из оценки (3.15) следует соотношение G  G   Ch ,* A,а из оценки (3.18) имеемG1f G1f* Ch || f || , ,(3.20)f  H  () .Вернемся к уравнению (3.3).

Пусть B : L  L - линейный оператор,ставящийкаждомуэлементуf  ( f1,..., f n )  L по формуле  (1,...,n )  Lвсоответствиеэлемент42nfi   bij j , i  1,...,n ,(3.21)i 1так, что равенство (3.21) есть квадратурная формула для интегрального оператораB , удовлетворяющая следующим условиям:i1) Существует функция 1(h) , обладающая свойством 1(h)  0 при h  0и такая, что для всех i  1,...,n выполнено неравенствоn1(h)j 1 ( xi , )1i   bij   B( xi , y )dy j.i2) Для решения уравнения (3.3) – функции   AC - существует функция2 (h, ) , удовлетворяющая условию 2 (h, )  0 при h  0 и такая, что для всехi  1,...,n имеет место неравенствоn 2 (h, )j 1 ( x , )i2   bij ( xi )   B( xi , y ) ( y )dy ji.Приближенное решение уравнения (3.3) будем искать из системы линейныхалгебраических уравненийnni 1i 1 aij j   bij j  fi , i  1,...,n ,сfi  f ( xi ) , гдеaij(3.22)- коэффициенты системы уравнений (3.13), bij-коэффициенты квадратурной формулы (3.21), удовлетворяющие условиям i1) и i2).Ниже будет доказано, что при стремлении шага сетки h к нулю разностиi   ( xi ) равномерно стремятся к нулю на сетке из узлов xi , i  1,...,n .Систему уравнений (3.22) можно записать в операторном (матричном) видеG  B  f ,(3.23)где f  ( f1,..., f n )  L и ищется решение   (1,...,n )  L .

Умножив уравнение(3.23) на оператор G1, получим равносильно уравнение  K  g ,(3.24)43g G1f,g C f ,K G1B.Для доказательства разрешимости уравнения (3.24) и оценки нормы егорешения воспользуемся следующей теоремой, которую можно сформулировать наоснове результатов Л.В. Канторовича (см., например, [20, с. 95-96, 23]).Теорема 2:ПустьL-нормированноепространство,L'подпространство, которое изоморфно пространству-егозамкнутоеL , и, кроме того,0 : L '  L - взаимно однозначное отображение, причем 0 и 01 ограничены, исуществует ограниченный оператор  : L  L , совпадающий с ∏0 на L ' . Пустьтакже K : L  L и K : L  L - линейные операторы, связанные условиями:1) Существует константа 1 такая, что для всех   L ' выполнено неравенство K  K L 1  L ;(3.25)2) Существует константа  2 такая, что для любого   L найдется элемент  L ' , для которого  K L   2  L .(3.26)Тогда если оператор I  K имеет ограниченный обратный оператор,определенный на всем пространстве L , и константы 1 и  2 достаточно малы,точнее, еслиI  K  2  1   21  ( I  K )1 01  q  1,то уравнение ( I  K )  f имеет для любого f  L некоторое решение   L ,удовлетворяющее оценке (1   2 ) ( I  K )1  011 qf .44Построенные выше пространства L , L ' , L и оператор проецирования имеют структуру, указанную в теореме 2.

Докажем, что для оператора K изуравнения (3.24) выполнены оценки (3.25) и (3.26) с величинами 1  1(h) и 2   2 (h) , стремящимися к нулю при h  0 .Сначала заметим, что операторпереводит пространствоBLвпространство функций, непрерывных по Гельдеру, и справедлива оценкаB ,C  L.(3.27)Пусть   L ' . Образуем элементыf  B  H  () иg  B   L .Тогда K  K    G 1 f  G1g  ( G 1 f  G11 f )  G ( f  g ) .Оценим разность  f  g . Пусть f  f  ( f1,..., f n ) , g  ( g1,..., gn ) .Тогда, учитывая, что  ( x)  0 при x  \ T , имеемfi  gi   B( xi , y ) ( y )dy   bij ( x j )    ( x j )   B( xi , y )dy  bij j 1j 1 jnnи из условия i1) получаем оценку* f  g  1(h) ||  ||L .Теперь, применяя оценки (3.19) и (3.20) и учитывая оценку (3.25), получаемоценку K  K L C (1(h)  h ) ||  ||L .Путь   L .