Диссертация (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений)

Московский государственный университет информационных технологий,радиотехники и электроникиНа правах рукописиДаева Софья ГеоргиевнаМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНЕШНИХ АКУСТИЧЕСКИХПОЛЕЙ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙСпециальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы икомплексы программДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:д.ф.-м.н., проф. А.В. СетухаМосква – 20152ОглавлениеВведение ..........................................................................................................................

3Глава 1. Постановка задачи ...................................................................................... 111.1.Постановка задачи ............................................................................................ 111.2.Свойства потенциала двойного слоя. ............................................................. 151.3.Сведение задачи к интегральному уравнению ..............................................

171.4.Восстановление поля и его характеристик в дальней зоне по решениюинтегрального уравнения ............................................................................................. 20Глава 2. Численная схема .......................................................................................... 232.1. Дискретизация задачи ............................................................................................ 232.2. Составление системы линейных алгебраических уравнений ............................ 242.3. Вычисление интегралов со слабой особенностью по ячейкам разбиения .......

272.4. Расчет эффективной площади рассеяния ............................................................ 29Глава 3. Обоснование сходимости численной схемы .......................................... 303.1. Гиперсингулярное интегральное уравнение для задачи дифракции на плоскомэкране .............................................................................................................................. 303.2.

Используемые обозначения и классы функций .................................................. 313.3. Разрешимость уравнения (3.3) .............................................................................. 333.4. Доказательство сходимости численной схемы решения уравнения (3.3) ........ 36Глава 4. Программная реализация численного метода и его тестирование .. 504.1. Описание комплекса программ............................................................................. 504.2. Решение интегрального уравнения на поверхности сферы ............................... 524.3. Дифракция акустической волны на жесткой сфере и жестком диске ..............

574.4. Дифракция акустической волны на жестких поверхностях в форме частичнозаполненных диска и параболоида .............................................................................. 654.5. Задача дифракции на системе объектов.............................................................. 81Заключение ...................................................................................................................

84Литература.................................................................................................................... 863ВведениеАктуальность темы исследования. Математическое моделированиедифракции волн на телах сложной формы является актуальной задачей, длярешения которой существуют различные подходы. В случае, когда длина волнымного меньше характерных размеров отражающих объектов, хорошо работаютметоды физической оптики и асимптотические методы [28,38,49]. Однако вслучае, когда длина волны сопоставима с размерами объектов, необходимоставить и численно решать внешние краевые задачи для волновых полей впространственных областях вне тел. Так при моделировании дифракцииакустической волны на жестком теле возникает краевая задача Неймана дляуравнения Гельмгольца, которая является предметом рассмотрения даннойработы.В краевых задачах дифракции акустических и электромагнитных волнширокое применение находят сеточные и конечно-элементные методы.

Такиеметоды позволяют учесть сложную, в том числе неоднородную структуруокружающейсреды,многиефизическиеэффекты[31,39-40].Однакосущественную проблему здесь представляет то обстоятельство, что дляаппроксимации граничных условий на бесконечности приходится решать задачу врасчетной области, многократно превышающей размеры тел. Это приводит кочень большой вычислительной сложности таких методов, которая к тому жерезко возрастает при уменьшении длины волны, поскольку размеры ячеекдолжны быть существенно меньше длины волны.

Для решения этой проблемыприиспользованиисеточныхметодоввпоследнеевремяразвиваютсяспециальные подходы, например, основанные на асимптотическом учетеграничных условий [11].Степеньразработанностипроблемы.Вслучаемоделированиямонохроматических волновых процессов в однородных (кусочно-однородных)средах высокоэффективным является подход, основанный на методе граничныхинтегральных уравнений. Здесь решение краевой задачи ищется на основе4интегрального представления с интегралами по границе области решения задачи(по поверхностям тел) и сводится к решению интегральных уравнений,записанным на этой границе. При этом граничные условия на бесконечностивыполняются автоматически, а получаемые решения точно удовлетворяютуравнениям в области решения задачи. При численном решении задачи расчетнаясетка строится только на поверхностях тел, что существенно снижаетвычислительную сложность задачи.Традиционно задачи дифракции сводится к граничным интегральнымуравнениям Фредгольма 2-го рода [12,29].

Однако используемые при этоминтегральные представления поля неприменимы к задачам дифракции волн натонких экранах, в которых необходимо обеспечить выполнение граничногоусловия на обеих сторонах поверхности.Во многих задачах естественным является применение граничныхинтегральных уравнений с сингулярными и гиперсингулярными интегралами,которые позволяют единообразно описывать дифракционные задачи как нателесных объектах, так и на тонких экранах. В последнее время при решениизадач дифракции акустических и электромагнитных волн все шире применяютсяметоды, основанные на решении сильно сингулярных интегральных уравнений.Так, известны подходы, основанные на рассмотрении таких уравнений какпсевдодифференциальных с применением для их решения проекционных методов[26,33,37,41,42,44,46], а также специальных квадратурных формул и алгоритмовсглаживания особенности [35,36,45,47,48].В данной работе применяется другой подход, основанный на рассмотренииинтегралов с сильными особенностями в смысле конечного значения по Адамару[1] и решении интегральных уравнений с такими интегралами методами кусочнопостоянных аппроксимаций и коллокаций.

Достоинствами используемогоподхода являются простота реализации, применимость на поверхностях исистемах поверхностей произвольной сложной формы. Применительно к краевойзадаче Неймана для уравнения Гельмгольца методы такого типа были5предложены И.К.Лифановым [17] и развиты в дальнейшем в работах [6,18]применительно к задачам внешней акустики. При дискретизации возникалисистемы линейных уравнений с коэффициентами, выражающимися черезинтегралы с сильными особенностями по ячейкам разбиения поверхности. Приэтомуказанныеинтегралысводилиськконтурныминтеграламислабосингулярным поверхностным интегралам, вычисляемым численно, наоснове параметризации поверхности и предположении о том, что поверхностьаппроксимируется плоскими ячейками.Отметим также, что для задач дифракции электромагнитных волн методгиперсингулярныхинтегральныхуравненийприменялсявработахДмитриева В.И, Захарова Е.В.[9], Ганделя Ю.В.

[5], Галишниковой Т.Н.,Ильинского А.С.[4].В диссертации предлагается численная схема решения граничногогиперсингулярного интегрального уравнения, возникающего в краевой задачеНеймана для уравнения Гельмгольца, основанная на выделении в явном видеглавной особенности в ядре. При этом при дискретизации граничногоинтегрального возникает система линейных уравнений, коэффициенты которойпредставляются в виде суммы сильно сингулярных и слабосингулярныхинтегралов. Указанные сильносингулярные интегралы вычисляются аналитическив случае, когда поверхность аппроксимируется ячейками, так, что края всех ячеекестьпространственныеслабосингулярныхмногоугольникиинтегралов(непредложеныобязательноквадратурныеплоские).Дляформулытипапрямоугольников со сглаживанием особенности.Предлагаемая численная схема протестирована на ряде модельныхпримеров:прирешениигиперсингулярногоосуществлялосьсравнениечисленныханалитическимирешениямиинтегральногоуравнениярешенийнаэтогоуравнения,сфере,гдеуравнениясполучаемымиизспектральных соотношений; при решении задач дифракции акустической волнына жестких сфере и диске, где осуществлялось сравнение характеристик6акустического поля в дальней зоне, полученных на основе численного решениязадачи, с известными теоретическими и численными данными (в основе этихданных лежат решения, полученные в рамках осесимметричной постановкизадачи).

Для случая, когда решается краевая задача на плоском экране (экрандолжен представлять собой выпуклое множество на плоскости), полученодоказательстворавномернойсходимостичисленных решенийграничногоинтегрального уравнения к точному на сетке при стремлении диаметра разбиенияк нулю.(см. [16]).Цели и задачи. Целью диссертационной работы явилась разработка,программная реализация и верификация численного метода решения скалярныхзадачдифракцииметодомграничныхинтегральныхуравненийсгиперсингулярными интегралами.Для достижения указанной цели в работе решены задачи:1) построена численная схема решения задач дифракции скалярной волны нажестких телах, основанная на сведении задачи к гиперсингулярномуинтегральному уравнению;2) осуществлена программная реализация разработанного численного методарешения краевых задач дифракции;3) проведено тестирование разработанного численного метода на модельныхпримерах, получено математическое обоснование метода для частногослучая.Научная новизна состоит в том, в граничном интегральном уравнениибыла в явном виде выделена гиперсингулярная особенность.