Диссертация (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений), страница 4

Представим функцию F ( x  y) в виде (1.14)-(1.15). Тогдаможно записать:  F0 ( x  y ) F ( x  y ) aij   d y .nnnnyxy j  xЧастную производную(2.4)можно внести под знак интеграла, если интегралn xпонимается в смысле конечного значения по Адамару (1.11).Разобьем выражение в правой части формулы (2.4) следующим образомaij  aij0  a~ij ,где26 F0 ( x  y )d ynnxyj(2.5) F ( x  y )d y .n y j n x(2.6)aij0  иa~ij  Интеграл (2.5) может быть посчитан аналитически. Выражение в правой частиформулы (2.5) есть потенциал двойного слоя для уравнения Лапласа с постояннойплотностью.По закону Био-Савара [17], дающего выражение для градиентатакого потенциала двойного слоя через контурный интеграл, можно записатьравенство:1dl  ( x  y ),u j ( x)  (2.7)4  | x  y |3jгде  j – край ячейки  j , а dl - элемент длины контура (рис. 2.2), dl  ( x  y ) -векторное произведение векторов dl и x  y .

В случае, когда край ячейки  jестьзамкнутаяломанаялиния,дляпоследнегоаналитическое выражение.Рис. 2.2. Закон Био-СавараИнтеграл (2.6) запишем в видеинтеграласуществует27aij   K1 ( xi , y )d y ,(2.8)jiгде K1 ( x , y ) - слабо сингулярное ядро уравнения (1.16).2.3. Вычисление интегралов со слабой особенностью по ячейкамразбиенияДля каждой ячейки  j при для вычисления интеграла в выражении (2.8)разобьем ячейку эту ячейку дополнительно на ячейки  mj , выберем в каждойmm~ячейке  mj точку y j в центре ячейки  j и будем вычислять коэффициенты aijприближенно по формуле:Nmmaij   K1( xi , y mj )    xi  y jm 1 sm , j(2.9)где3  r 2r3 2  , r   (r )      1, r  - сглаживающая функция, которая была выбрана так, что  (r )  C1[0, ) , C0 константа, не зависящая от r и  . Число  - малый параметр, который выбиралсякак   2h' , где h ' - максимальный из диаметров мелкого разбиения  mj ,j  1,..., N , m  1,..., N j .Доразбивка ячейки  j на ячейки  mj происходит следующим образом:каждая из сторон ячейки  j разбивается на отрезки равной длины, причемпротивоположные стороны разбиваются на одинаковое количество отрезков(рис.2.3).

Пусть A1 , A2 , A3 , A4 - вершины рассматриваемой ячейки  j , точки Pi28и Qi , i  0,..., n0 - концы отрезков разбиения сторон A1A2 и A4 A3 , а точки Rk иTk , k  0,..., m0 - концы отрезков разбиения сторон A2 A3 и A1A4 соответственно.При этом ячейка  j будет разбита на N j  m0n0 более мелких ячеек.Выбирая на противоположных сторонах точки с одинаковым индексом Pi иQi , а также соседние с ними точки Pi  1 и Qi  1 , строим отрезки PQi i и Pi 1Qi 1.Аналогично, выбирая точкиRk ,TkиRk  1 ,Tk 1на другой парепротивоположных сторон, строим отрезки Rk Tk и Rk  1Tk 1 .

При пересечениипостроенныхпаротрезковвозникаютвершинычетырехугольникаDi, k Di  1, k Di  1, k  1Di, k  1 одной из ячеек  mj доразбиения ячейки  j ,m  1,..., N j .Заметим, что хотя вершины ячейки  j могут не лежать в одной плоскости,указанные пары отрезком пересекаются. Например, пересечение отрезков PQi i иRk Tk следует из следующего рассуждения. Разместим в точках A1 , A2 , A3 , A4точечные массы (1  p)(1  q) , p(1  q) , pq и (1  p)q соответственно, гдеpA1PiAQ 4 i ,A1A2A4 A3ARATq 1 k  2 k .A1A4A2 A3Тогда центр масс такой системы точек, с одной стороны, лежит на отрезке PQi i, ас другой стороны на отрезке Rk Tk , т.е.

этот центр масс и есть искомая точка Di, k .mДля каждой такой построенной ячейки  mj построим узел y j , векторmнормали n mj и определим ее площадь s j тем же способом, что и для основныхячеек разбиения (см. формулы (2.1)).Отметим, что построенный алгоритм численного решения интегральногоуравнения (1.13)требует для реализации (с точки зрения задания геометрии29суммарной поверхности  ) знания только массива вершин ячеек разбиения  j ,j  1,..., n .Рис.2.3. Построение ячеек  mj2.4. Расчет эффективной площади рассеянияВ главе 1 было получено выражение (1.21) для функции  ( ) , выражающейзависимость эффективной площади рассеяния от направления, определяемоговектором  .

При численных расчетах поле u приближенно записывается в виде(2.2). При этом выражение (1.21) для величины  ( ) аппроксимировалосьформулой: ( )  4 k2nj 1( x , )ikg j e j n j , S j2.(2.10)30Глава 3. Обоснование сходимости численной схемы3.1. Гиперсингулярное интегральное уравнение для задачи дифракциина плоском экранеПусть множество  есть плоская поверхность, лежащая на координатнойплоскостиOx1x2 . Рассмотрим интегральное уравнение (1.13), на такойповерхности.

Такое уравнение возникает в рассматриваемой краевой задаче дляуравнений Гельмгольца (1.5)-(1.9), в случае, когда поверхность  есть плоскийэкран.В этой главе будем рассматривать поверхность  как множество наплоскости Ox1x2 . Предположим дополнительно, что множество естьзамыкание выпуклого открытого множества (на плоскости).Интегральное уравнение (1.13) можно переписать в виде g ( y)  F0 ( x  y )d   g ( y )F ( x  y )d y  f ( x) ,ynx nnx nyy(3.1)x  .гдеF0 ( x  y ) 114 x  y,ik x  yF ( x  y ) В данном случае производные1 e14x y(3.2)ивычисляются с выходом вn ynxтрехмерное пространство, причем эти производные совпадают с производнымиисоответственно. При этом справедливы выражения:x3 y331F0 ( x  y )nx n yF ( x  y )nx n y1 1,4 r 31 eikr  ikreikr  1,34rr  x y .При этом ядро второго интегрального оператора представляется в видеF ( x  y )nx n yK * (r ), r  x y ,rгде K (r )  C [1, ) .*Делая в уравнении (3.1) замену неизвестной функции  ( x)  g ( x) / 4 ,получим уравнение вида ( y)dy3| x  y |  B( x, y) ( y)dy  f ( x) , x  ( x1, x2 )   ,(3.3)гдеB( x, y) (3.4)B* ( x, y),| x y|*B ( x, y ) - гладкая функция.В данной главе рассматривается теоретически вопрос о численном решенииуравнения (3.3) в случае, когда функции*f ( x) и B ( x, y ) непрерывны поГельдеру.3.2.

Используемые обозначения и классы функцийБудем обозначать через H  (G) , где   (0,1] , G - открытое множество вR n , нормированное пространство действительных функций f (x) , определенныхна множестве G , для которых ограничено выражение, определяющее норму:32|| f || , G  sup | f ( x) |  supx Gx, y  Gx y| f ( x)  f ( y ) || x y|,и через H 1,  (G) нормированное пространство функций f (x) , для которыхопределена нормаn f|| f ||1,  , G  sup | f ( x) |  i  1 xi  , Gx G(в случае, когда G - замыкание открытого множества, считаем, что частныепроизводные по непрерывности доопределяются на границе этого множества).ПустьтакжеH С (G)и1, HС(G)-нормированныепространствакомплексных функций f : G  C таких, чтоf ( x)  f1( x)  if 2 ( x) , x  G .Если функцииf1 ,(3.5)f 2 принадлежат H  (G) , то норма определяетсяследующим выражением:,f  , G  f1 f2, G, G1, а если функции f1 , f 2 принадлежат H С(G) , то:.f 1,  , G  f1 f21,  , G1,  , GПусть описанное выше множество  - область интегрирования изуравнения (3.3),   (0,1) и A  A(, ) - линейное пространство действительныхфункций, определенных на множестве  и таких, что f  H  () , f ( x)  0 приx   и для сужения функции f на любое замкнутое множество 1  in , гдеin - внутренность множества  , выполнено условие f  H 1,  (1) .Обозначим через AC  AC ( , ) множество комплексных функций вида(3.5), где f1, f 2  A( , ) .33Для функций   AC определен интеграл в смысле конечного значения поАдамару (1.11) ( y)dy 2 ( x) (G )(x)   lim ,33|xy||xy|  0  \ S ( x,  ) ( y)dy(3.6)S ( x,  ) - открытый круг радиусом  с центром в точке x .Будем рассматривать уравнение (3.3) для случая, когда функция B( x, y)представляется в виде (3.4), гдеB*  H C (  ) , f  H C ()при   (0,1) , и ищется решение   AC ( , ) .Будем обозначать через C константы, зависящие только от множества  ,функции B( x, y) - ядра уравнения (3.3) и показателя  в условии Гёльдера направую часть уравнения (3.3), причем в различных оценках значения константыC может быть разным.3.3.

Разрешимость уравнения (3.3)Сначала изложим известные факты о разрешимости уравнения (3.3.)В работах [22,24-25] рассматривалось уравнение ( y)dy3| x  y | f ( x) , x   ,(3.7)в классе действительных функций. В статье [25] доказано, что при f  H  () ,  (0,1) , это уравнение имеет и притом единственное решение   A(, ) ,определяемое равенством ( x)   G( x, y) f ( y)dy  (G 1 f )( x) ,где G( x, y) - функция Грина, которая имеет вид4 2G( x, y)   g ( x, y) ,| x y|(3.8)34g ( x, y)  C (, in ) ,4 2 G( x, y)  0 .| x y|Также в [25] доказано, что указанное решение уравнения (3.7) представимов виде:  1   2 , 1  H 1,  () ,  2  C  (in ) ,функции D  ( x)  ( x, )|  | 1 / 2 ограничены,(3.9)2где  ( x, ) - расстояние от точки x  in до края  множества  ,  in внутренность множества  ,  (1, 2 )  Z 2 , |  | 1   2  1 ,|  |D 1x1 x2.2При этом11,  ,  C f ,  ,D  2 ( x)  C ( ) f  ,   ( x, )1 / 2 |  | ,(3.10)  Z 2 , |  | 1 ,где C ( ) - некоторые константы, зависящие от множества  ,  и  .При выполнении условий (3.9) и (3.10) имеют место условие   H 1 / 2 () иоценка [16]: 1 / 2,   C f  ,  .(3.11)Обозначим через A' множество функций, удовлетворяющих условиям (3.9)и  ( x)  0 при x   .