Диссертация (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений), страница 6

Тогда B  H  () и элемент45h  K  G 1Bудовлетворяет условиямh  H  ( ) ,|| h || ,  C ||  ||L .Поэтому элемент K можно приблизить элементом   01  K  L ' . При этомдля любой точки x  выберем номер i  1,...,n так, что x  i , и тогда|  K || h( xi )  h( x) | Ch  || h || ,  Ch  ||  ||L .Таким образом, выполнены оценки (3.25) и (3.27) с1  C (1(h)  h ) ||  ||L ,  2  Ch ||  ||L .Тогда найдется такое h0  0 , что при h  h0 выполнены условия q  1/ 2 и  2  1.В этом случае уравнение (3.24) имеет для любой правой части g  L некотороерешение   L , для которого выполнена оценкаL 4 ( I  K )1 gL.Операторное уравнение (3.24) равносильно системе линейных алгебраическихуравнений (3.22) с квадратной матрицей, которая разрешима для любой правойчасти. Тогда определитель этой системы не равен нулю.

Следовательно, еерешение, а значит, и решение уравнения (3.24) единственны. Таким образом, приh  h0существует операторI  K 1: L  L , для которого выполненонеравенство( I  K )1  4 ( I  K )1 .(3.28)Пусть теперь  - решение уравнения (3.3) с некоторой правой частьюf  H  () ,длякоторогосправедливоусловиеi2),ипусть    ( ( x1),..., ( xn ))  L и   (1,...,n ) - решение уравнений (3.22) с правой46частью f   f  L .

Получим оценку, связывающую компоненты векторов  и.g  I  K  . Тогда разностьОбразуем векторg fесть невязка,получаемая при подстановке переменных  в уравнение (3.24), и для неесправедливы соотношенияg  f  g   f    K     K   K    K  GG11B    G 1B  B    B    G1  B   G 1B  .В силу оценок (3.20) и (3.25) для второго слагаемого справедлива оценкаG1 Ch  B   G 1BLL.С учетом условия i2) можно записать неравенство*B    B  2 (h, )и тогда, используя оценку (3.19), имеемG1 B    B  C2 (h, ) .LТаким образом,f gL C h  L  2 (h, ) .Посколькуg  f  I  K   ,применяя оценку (3.28), получаем следующее утверждение.Теорема 3.

(о сходимости численного метода):Для уравнения (3.3) существуют константы C и h0  0 такие, что прилюбом регулярном разбиении T с диаметром h  h0 система линейных уравнений(3.22) однозначно разрешима и для ее решений справедлива оценка:| i   ( xi )| C h  L  ij  ( xi , ) ,   min(,1/ 2) .47Рассмотрим примеры конкретного выбора коэффициентов квадратурнойформулы (3.21).А) Можно положитьbij   B( xi , y )dy  bij0 ,j(3.29)i, j  1,..., n .Тогда условие i1) выполнено с 1  0 . Рассмотрим условие i2) в предположении,что   H  () . Используя коэффициенты bij (3.29), для величин i2 получаемпредставлениеi2 n  B( xi , y)( ( x j )   ( y))dy   B( xi , y) ( y)dyi 1 j \ Tи, поскольку при y  j выполнена оценка ( x j )   ( y )  h    , ,а при y  \ T - оценка ( y )  h    , ,заключаем, чтоi2  Ch    , .Таким образом, условие i2) выполнено с2 (h, )  Ch    , .Б) При практических расчетах формулы (3.29) могут оказаться неудобными,так как требуют вычисления интегралов.

Более удобно положитьbij  B( xi , x j )h2 , i  j ,bij  0 , i  j .Проверим выполнение условий i1), i2) в этом случае.48Для величин 1i имеем1i ii ji B( x , y )  B( x , x ) dy   B( x , y )dy ,j 1,..., n  jii jB ( xi , y )  B ( x i , x j ) B* ( xi , y )  B* ( xi , x j )| xi  y | 11 B* ( xi , x j ) . | xi  y | | xi  x j | Заметим, что при y  j и i  j справедлива оценка| xi  x j |1 3| xi  y |1 .Она следует из оценок| xi  y | 2h ,| xi  x j | h ,| xi  y | iji1| x  x |  | x  y |  1  | xi  x j | 11 (1  2)1  .3Тогдаi B( x , y )dy  Ch ,jB ( xi , y )  B ( xi , x j ) 1i Ch i1 | x  y |Ch i1 |x  y|,dy  Ch .Для величины  2j имеемn 2j   2j (bij0 )   (bij  bij0 ) ( x j )   2j (bij0 )  1j ||  || , ,i 149где  2j (bij0 )- разности из условия i2), соответствующие коэффициентам bij0 ,определяемым равенством (3.29).

Тогда для данного случая выполнены условияi1) и i2) с1(h)  Ch  ,1(h, )  Ch  ||  || , .50Глава 4. Программная реализация численного метода и еготестирование4.1. Описание комплекса программМоделирование проводилось в среде разработки Visual Studio на языкепрограммирования Fortran.Комплекс состоит из трех программ: «Решение интегрального уравнения»,«Решение краевой задачи для заданного первичного поля», «Решение краевойзадачи с отражением».Программа "Решение интегрального уравнения" осуществляет решениеинтегрального уравнения (1.13) для заданной правой части на заданнойповерхности.

В этой программе осуществляется считывание входной геометрииобъектов, считывание входные данные (вектор волнового числа), производитсярасчет точек коллокации, векторов нормалей и площадей ячеек (2.1),вычисляются коэффициенты матрицы системы линейных уравнений (2.3) изначения правых частей, решается система линейных уравнений (2.3) и находятсязначения неизвестной функции - решения интегрального уравнения, в узлахколлокации.Программа "Решение краевой задачи для заданного первичного поля"предназначена для решения краевой задачи (1.5)-(1.9), возникающей примоделировании процесса дифракции акустической волны на жестких телах.Программа осуществляет считывание входной геометрии объектов, считываниефизических входных данных (вектор волнового числа), расчет точек коллокации,векторовнормалейиплощадейячеекпоформулам(2.1),вычисляеткоэффициенты матрицы системы линейных уравнений (2.3) и значения правыхчастей, решение системы линейных уравнений.

В результате находятся значениянеизвестной функции g в точках коллокации. Далее производится расчетдиаграммнаправленностипоформулам(2.10),осуществляетсярасчет51характеристик в заданных сечениях (геометрия сечения считывается из файла) поформулеnF ( x  y )d y .nyju ( x)   g j j 1Интегралы по ячейкам вычисляются с использованием преобразования:F ( x  y )F0 ( x  y )F ( x  y )d y  d y  d y ,nnnyyyjjjгде функции F0 ( x  y) и F ( x  y) определяются выражениями (3.2).

При этомпервый интеграл вычисляется какF0 ( x  y ),d y n4yjгде  - величина телесного угла, под которым видна поверхность  j из точки xсучетомзнака(см.[7]).Второйинтегралвычисляетсяпоформулепрямоугольников с доразбиением ячейки  j по схеме, описанной в п. 2.3.Программа "Решение краевой задачи с отражением" осуществляет решениекраевой задачи (1.5)-(1.9) в случае, когда суммарная поверхность  находится вполупространстве x3  0 , область  есть область вне поверхности  в указанномполупространстве и на участке границы, лежащем на плоскости x3  0 , ставитсяусловие u / n  0 . Такая задача возникает при моделировании дифракцииакустической волны на телах, расположенных на жесткой плоской поверхностиили над такой поверхностью.При этом учет поверхности осуществляетсяметодом отражений. Строится поверхность , симметричная поверхности относительно плоского экрана, и рассматривается задача (1.5)-(1.9) внеповерхностей  и  , причем на поверхности  правая часть доопределяется поформуле f ( x)  f ( x) , x  , x - симметричная точка.Для решения систем линейных уравнений использовалась стандартнаяпроцедура, реализующая метод LU разложения матрицы.

Все остальные52программыипроцедурыописанныхпрограммныхмодулейявляютсяоригинальными.Для ввода геометрии объектов и визуализации результатов использовалсяпакет программ "AerEco" разработанный авторами Кирякиным В.Ю., ЛифановымИ.К., Сетухой А.В.4.2. Решение интегрального уравнения на поверхности сферыДля тестирования численной схемы решения интегрального уравнения(1.13), описанной в главе 2 (система (2.3)), было рассмотрено уравнение (1.13) насфере и использованы известные спектральные соотношения для интегральногооператора в правой части этого уравнения.Пусть  - поверхность сферы радиусом a  1 с центром в начале координат.Известно (см. [32]), что собственными функциями указанного интегральногооператора являются функции g вида:g ( x)  Ynm ( , )  Pnm (cos )cos(m ) .mm2Pn (cos )  1  cos  2dmd (cos )mPn (cos ) ,где Pn - полиномы Лежандра, x  x( , )  ,  и  – сферические координатыточки x , x1  R cos cos , x2  R cos sin  , x3  R sin  .

Каждая такая функцияявляется решениям уравнения (1.13) для правой частиf ( , )  Cn g ( , )  CnYnm ( , ) ,где1  n(2) (k ) n(2) (k ) Cn  ,k  n(2) (k )' n(2) (k )' n(2) (k ) 1H n 1/2 (k ) ,k(4.1)53n(2) (k )'  12k 2/3H n' 1/2 (k ) H n1/2 (k ) n 1/ 2H n 1/2 (k )  H n 3/2 (k )kn(2) (k ) n(2) (k )'  12k 2/3J n' 1/2 (k ) 1 'H(k ) ,k n 1/21J n 1/2 (k ) ,kJ n 1/2 (k ) 1 'J n 1/2 (k ) ,kn 1/ 2J n 1/2 (k )  J n 3/2 (k ) .kЗдесь H n1/2 (k ) - функция Ханкеля второго рода, J n1/2 (k ) - функция Бесселя.Были получены численные решения уравнения (1.13) для правых частейвида (4.1) для различных значений параметра k в уравнении (1.13) (волновогочисла), и различных значений параметров n и m в формуле (4.1).

Для решениябралось разбиение сферы на 1500 ячеек (рис. 4.1), получаемое при равномерномразбиении по сферическим координатам (30 ячеек по координате  , 50 ячеек покоординате  ). При этом полученные численные решения сравнивались на сеткес узлами в центрах ячеек разбиения с соответствующими значениями функцииg  Ynm , являющейся точным решением данного уравнения.Рис. 4.1. Разбиение поверхности сферы54На рис. 4.2-4.3 приведены цветовые диаграммы распределения модулянизвестной функции g по поверхности сферы, полученные при численномрешении задачи в сравнении с аналогичными диаграммами для точного решениядля случаев k  2 , n  m  3 и k  5 , n  m  5 .На этих рисунках видно хорошее согласование численных и аналитическихрешений.Рис.