Диссертация (Исследование обратных задач восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения), страница 6

Решая его численным методом решения нелинейных уравнений относительно переменных τ и l1 и с учетомформулы (1.50), находим ε1 и l1 .Рассмотрим обратную задачу QRε 1 , l1 .Коэффициент отражения B/A прошедшего поля известен из эксперимента.Теорема 1.4. Решение обратной задачи QRε1 , l1 выражается явно: диэлектрическая проницаемость по формуле (1.71) и длина по (1.79):l1 =2γ0 γ1 1πn1arctg( 2,)+2Aγ1γ1 − γ0 Im Bγ148(1.79)Длина l1 восстанавливается однозначно, если существуют два числа l2 и l1 такие, что l2 > l1 и π/γ1 < |l2 − l1 | < 2(π/γ1 ).Доказательство.

В п.1.3 была доказана справедливость формулы (1.71)в случае вещественного ε. Докажем вторую часть теоремы.Будем предполагать, что магнитная проницаемость диафрагмы и магнитная проницаемость вне диафагмы совпадают, т.е µ0 = µ1 . В п. 1.3 было показано, что в случае вещественного ε уравнение зависимости коэффициента отражения B/A от диэлектрической проницаемости и длиныэквивалентно системе (1.73):Bγ0γ1A) cos(γ1 l1 ) = Im(−sin(γ1 l1 ),B | A |2 2γ1 2γB0 γ1γ0A) γ0 + γ1 sin(γ1 l1 ) = Re(2γ12γ02γ1 − 2γ0 sin(γ1 l1 ).| B |2AПодставляя выражение (1.71) для диэлектрической проницаемости впервое уравнение системы, получим:1πn12γ0 γ1l1 =+arctan.Aγ1γ12 − γ02 Im( Bγ1)(1.80)Таким образом, из системы (1.73) мы однозначно восстанавливаемдиэлектрическую проницаемость ε1 и с периодом T = π/γ1 определяемтолщину диафрагмы l1 .(1)(2)Если известен интервал (l1 , l1 ) значений толщин такой, что T <(2)(1)|l1 −l1 | < 2T и которому принадлежит искомая толщина l1 , то толщинаl1 восстанавливается однозначно.Таким образом, в данной пункте представлены решения обратных заRдач PεR1 , l1 (QRε1 , l1 ), в случае обратной задачи Qε1 , l1 показано, что решениеможет быть представлено в явном виде.491.3.3Восстановление комплексной диэлектрической проницаемости тонкой диафрагмыВ данном пункте рассмотрены обратные задачи восстановления комплексной диэлектрической проницаемости тонкой диафрагмы по коэффициенту прохождения (задача PεC1 (l1 ≪ 1)) или по коэффициенту от-ражения B/A (QCε1 (l1 ≪ 1)).

Под "тонкой"диафрагмой понимается диафрагма, у которой толщина l1 ≪ 1, т.е толщина диафрагмы во многораз меньше высоты и ширины диафрагмы. Ниже будет показано, чтопри l1 ≪ 1 решение задачи может быть записано в явном виде.Рассмотрим обратную задачу PεC1 (l1 ≪ 1).Коэффициент прохождения F/A известен из эксперимента.Справедлива следующая теорема.Теорема 1.5. Решение задачи PεC1 (l1 ≪ 1) выражается формулой: π2A iγ0 l12i− γ0 + 2 k0−2 .(1.81)1− eε1 ≈ γ0l1FaДоказательство. Формулы (1.41)-(1.43)для односекционной диафрагмыв случае l1 ≪ 1 преобразуются следующим образом:l1Aeiγ0 l1=1+iF22w+ γ0 ,γ0(1.82)где w := γ12 = k12 − π 2 /a2 = ω 2 ε1 µ0 − πa2 = k02 ε1 − π 2 /a2 . Корень уравнения(1.79) имеет вид:w = γ0A iγ0 l12i− γ0 .1− el1FВыражая из последнего равенства диэлектрическую проницаемость, получаем формулу (1.78).Рассмотрим обратную задачу QCε1 (l1 ≪ 1).Коэффициент прохождения B/A считается известным, и его значениеопределяется в ходе измерений.50Справедлива следующая теорема.Теорема 1.6.

Решение обратной задачи QCε1 (l1 ≪ 1) в случае тонкойодносекционной диафрагмы выражается следующей формулой:!BB2−12γ0πA Aε1 ≈ i− γ02 B+ 2 k0−2 .Bl1 A + 1aA +1(1.83)Доказательство. Формула (1.74) в случае тонкой диафрагмы преобразуется следующим образом:B(γ02 − γ12 )iγ1 l1.=A2γ0 γ1 + i(γ02 + γ12 )γ1 l1(1.84)Корень уравнения имеет вид:γ122γ0=il1BABA+1−B2Aγ0 BA−1.+1Выражая из последнего уравнения диэлектрическую проницаемость,получаем формулу (1.83).Таким образом, в данном пункте показано, что решение обратныхзадач для тонкой диафрагмы PεC1 (l1 ≪ 1), QCε1 (l1 ≪ 1) может быть выра-жено явно.1.4Обратные задачи для анизотропной односекционной диафрагмы (класс A)1.4.1Восстановление тензора диэлектрической проницаемостиПункт 1.6 посвящен задачам восстановления диагонального тензора диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения F/A(задача PεbR1 ).Рассмотрим обратную задачу PεbR1 .51Будем предполагать, что магнитная проницаемость вне диафагмыµ0 = 1.

Тензоры магнитной и диэлектрической проницаемостей являются диагональными. Тензор магнитной проницаемости известен. Тогда вслучае односекционной диафрагмы справедливы формулы (1.41), (1.43)зависимости коэффициента прохождения F/A от компонент диэлектрического и магнитного тензоров, а именно компоненты ε22 диэлектрического тензора и компонент µ11 и µ33 .Так как тензор магнитной проницаемости известен, то тогда имеем комплексное уравнение (1.41) с одной неизвестной компонентой ε22тензора εb диэлектрической проницаемости. Решая уравнение (1.41) численно, найдем только одну компоненту ε22 тензора εb диэлектрическойпроницаемости. Для того, чтобы найти остальные компоненты ε11 и ε33диагонального тензора, воспользуемся поворотами диафрагмы.Суть метода состоит в том, чтобы, пространственно ориентируя диафрагму относительно волновода определенным образом, получить ряд измерений для каждого положения диафрагмы в волноводе ина основе данных измерений (коэффициентов F ) определить все трикомпоненты тензора.1 0 0Пусть A1 - тождественное преобразование A1 =  0 1 0 .0 0 1Очевидно, что εb(1) = A−1b1 A1 .

Преобразование A1 соответствует ис1 εходному положению диафрагмы.Выражение для γ1 не изменяется, изменяется только обозначение,т.е.:(1)γ1 =sω 2 ε22 µ11 −π 2 µ11.a2 µ33(1.85)Тогда уравнение (1.41) примет вид:F (1)eiγ0 l1,=Ag(τ (1) )52(1.86)g(τ (1) ) = cos τ (1) + ih(τ (1) ) sin τ (1) ,гдеγ0 l1 µ11τ (1) µ0+ (1),h(τ ) =2γ0 l1 µ11 2τ µ0sπ 2 µ11(1)(1)2τ = γ1 l1 = l1 ω ε22 µ11 − 2.a µ33(1)(1.87)Рассмотрим преобразование A2 .0 −1 0.A2 = 10000 1(1.88)После поворота исходный тензор преобразуется в εb(2) = A−1b1 A2 . Из2 εформулы преобразования компонент тензора при повороте пространстваотносительно оси Oz получим:0 1 0ε11 0 0εb(2) =  −1 0 0   0 ε22 00 0 10 0 ε330 −1 0ε22 0 0   1 0 0  =  0 ε11 0  . 0 0 10 0 ε33Преобразование (1.88) есть не что иное, как поворот диафрагмы наугол ϕ =π2относительно оси Oz.

Такое преобразование можно выпол-нить на практике, имея два образца: первый образец с геометрическимипараметрами a, b, l1 и второй образец, изготовленный с такими же геометрическими параметрами, но после поворота среды на угол ϕ =π2относительно оси Oz.Тензор магнитной проницаемости преобразуется как и тензор диэлектрической проницаемости, т.е. µb(2) = A−1b1 A2 :2 µµ22 00.µb(2) = 0µ0110 0µ3353Выражение для γ1 в случае тензоров εb(2) и µb(2) примет вид:sπ 2 µ22(2)2.γ1 = ω ε11 µ22 − 2a µ33Тогда уравнение (1.41) для тензоров εb(2) и µb(2) имеет вид:eiγ0 l1F (2)=,Ag(τ (2) ) (2)γlµµτ01220+sin τ (2) ,g(τ (2) ) = cos τ (2) + i2γ0 l1 µ22 2τ (2) µ0гдеγ0 l1 µ22τ (2) µ0+ (2),h(τ ) =2γ0 l1 µ22 2τ µ0sπ 2 µ22(2)(2)2τ = γ1 l1 = l1 ω ε11 µ22 − 2.a µ33(2)Рассмотрим преобразование A3 .1A3 = 0000(1.90)(1.91)1.−1 00(1.89)(1.92)После поворота исходный тензор преобразуется в εb(3) = A−1b1 A3 . Из3 εформулы преобразования компонент тензора при повороте пространстваотносительно оси Oz получим:ε11 0 01 00εb(3) =  0 0 −1   0 ε22 00 0 ε330 101 00ε11 0 0 =0 1   0 ε33 0 .0 0 ε22−1 000Преобразование (1.92) есть не что иное, как поворот диафрагмы наугол ϕ =π2относительно оси Ox.

Такое преобразование можно выпол-нить на практике, имея образец с геометрическими параметрами a, b,l1 = b.54Тензор магнитной проницаемости преобразуется как и тензор диэлектрической проницаемости, т.е. µb(3) = A−1b1 A3 :3 µµ11 00.µb(3) = 0µ0330 0µ22Выражение для γ1 в случае тензоров εb(3) и µ(3) примет вид:sπ 2 µ11(3)γ1 = ω 2 ε33 µ11 − 2.a µ22Тогда уравнение (1.41) для тензоров εb(3) и µb(3) имеет вид:eiγ0 l1F (3),=Ag(τ (3) )(1.93)(1.94)g(τ (3) ) = cos τ (3) + ih(τ (3) ) sin τ (3) ,гдеτ (3) µ0γ0 l1 µ11h(τ ) =+ (3),2γ0 l1 µ11 2τ µ0sπ 2 µ11(3)(3)2τ = γ1 l1 = l1 ω ε33 µ11 − 2.a µ22(3)(1.95)Будем рассматривать поставленную обратную задачу при условии,(j)что γ1 > 0 (j = 1, 2, 3).Пусть z (j) = ρ(j) + iζ (j) = Aeiγ0 l1 /F (j) (j = 1, 2, 3).

Отделяя действительную и мнимую части в (1.49), получаем:(cos τ (j) = ρ(j)h(τ (j) ) sin τ (j) = ζ (j) , (j=1,2,3)(1.96)где h(τ (j) ) (j = 1, 2, 3) определяются по формулам (1.87), (1.91) и (1.95).(j)(j)(j)iγ0 l1(j)iγ0 l1,(1.97)ζ = Im Ae /Fρ = Re Ae /F(j = 1, 2, 3).Значения величин ρ(j) , ζ (j) (j = 1, 2, 3) считаются известными.Справедлива следующая теорема.55Теорема 1.7. Пусть известны тензор магнитной проницаемости µb1 ,ρ(j) = Re Aeiγ0 l1 /F (j) , ζ (j) = Im Aeiγ0 l1 /F (j) и ρ(j) < 1, (ρ(j) )2 +(ζ (j) )2 ≥ 1, j = 1, 2, 3. Тогда решение обратной задачи PεbR1 существуети единственно и выражается формулами:ε11 =ε22 =ε33 =где1ω 2 µ22 ε0 π 2 µ1ω 2 µ11 ε0 π 2 µ1ω2µ11 ε0aaµ3311µ33 π 2 µa2211µ22+++(2)τl1(1)τl1(3)τl12 !2 !2 !,,,! (1) p(1)2(1)2+ (ρ ) + (ζ ) − 1µ11 ζ(1)p,τ (1) = τ1 = γ0 l1µ01 − (ρ(1) )2! (2) p(2)2(2)2+ (ρ ) + (ζ ) − 1µ22 ζ(2)pτ (2) = τ1 = γ0 l1,µ01 − (ρ(2) )2! (3) p(3) )2 + (ζ (3) )2 − 1ζ+(ρµ11(3)pτ (3) = τ1 = γ0 l1,µ01 − (ρ(3) )2(j)(1.98)(1.99)(2)при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) ≥ 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ22 ) ≥ 1,(j)(j)(j)(j)= sign sin τ1ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ1 = ρ , sign ζ(j = 1, 2, 3) и!p(1)21 − (ρ )µ11(1),τ (1) = τ2 = γ0 l1 pµ0 ζ (1) + (ρ(1) )2 + (ζ (1) )2 − 1!p(2)2µ221 − (ρ )(2)τ (2) = τ1 = γ0 l1, pµ0 ζ (2) + (ρ(1) )2 + (ζ (2) )2 − 1!p(3) )21−(ρµ11(3)τ (3) = τ1 = γ0 l1, pµ0 ζ (3) + (ρ(3) )2 + (ζ (3) )2 − 156(1.100)(j)(2)при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) < 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ22 ) < 1,(j)(j)(j)(j)= sign sin τ2ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ2 = ρ , sign ζ(j = 1, 2, 3).Иначе обратная задача PεbR1 не имеет решения.Доказательство.