Диссертация (Исследование обратных задач восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения), страница 4

Выражение (1.15) для коэффициента F эквивалентноследующим рекуррентным формулам:гдеF=A−iγl0nepj+1 =qj+1 =2nQγj(j)j=0 µ11γn(n) pn+1µ11+γ0µ0 qn+1γj−1γjµ11γj−1µ11γjp cos αj +(j−1) jp i sin αj(j−1) jµ11+q i sin αj ,(j) jq(j) jµ11(1.25)(1.26)cos αj ,αj = γj (lj − lj−1 ), j = 0, 1, . . . , n, l0 = 0Тогда решение прямой задачи имеет вид (1.6), (1.7), где коэффициентыF , Cj , Dj (j = 1, . .

. , n), B вычисляются по формулам: (1.16)-(1.19),(1.25).Доказательство. Рассмотрим формулы (1.15)-(1.19), по которым вычисляются коэффициенты F , Cj , Dj (j = 1, . . . , n) и B. Для того, чтобынайти зависимость коэффициента прохождения F/A от γj , выразим коэффициент A через C2 и D2 (формула (1.21)). Используя формулы (1.23),27получим:iγ1 l1C 1 + D1 =e2γ1(1)µ11e−iγ1 l112 γ(1)µ11((C2 eC2 eγ1−iγ2 l1(1)µ11−iγ2 l1(γ1(1)µ11−+γ2 (2)µ11γ 2(2)µ11+ D2 e+ D2 eγ1iγ2 l1iγ2 l1(1)µ11γ1(1)µ11+−(2)+иC 1 − D1 =+1γ1(1)µ11(+)(1.27)µ11)γ 2(2)µ11γ1 eiγ1 l1 + e−iγ1 l1 −iγ2 l1iγ2 l1= γ1+Ce+De22(1)2(1)µ11µ11)iγ1 l1−iγ1 l1 −eγ2 e+ (2)C2 e−iγ2 l1 − D2 eiγ2 l12µ11(1γ1iγ2 l1−iγ2 l1++Decos(γl)Ce= γ121 12(1)(1)µ11µ111)γ2 iγ2 l1−iγ2 l1−Deisin(γl)Ce2112(2)γ2µ11iγ2 l1−iγ2 l1+Deisin(γl)Ce+2112(1)γ1µ11)−iγ2 l1iγ2 l1.icos(γl)Ce−De1122(2)γ2µ11(1.28)С учетом (1.27), (1.28) уравнение (1.21) примет вид:)(oonnγ21γ1iγ2 l1−iγ2 l1+,+DeCepq2 C2 e−iγ2 l1 − D2 eiγ2 l1A = γ0 γ1222(1)(2)2 µ0 (1) µµµ111111(1.29)где коэффициенты p2 и q2 вычисляются по формулам (1.26).Теперь найдем сумму Cj e−iγj lj−1 + Dj eiγj lj−1 (j = 2, .

. . , n − 1):Cj e−iγj lj−1 + Dj eiγj lj−1 ==12γj(j)µ11(eiγj (lj −lj−1 )h γj(j)µ11(1.30)hγγj+1 iγj+1 ij−iγj+1 ljiγj+1 lj++ (j) − (j+1) Dj+1 e+ (j+1) Cj+1 eµ11µ11µ1128)hiiγjγj+1γj+1j+1=− (j+1) Cj+1 e−iγj+1 lj + (j) + (j+1) Dj+1 eiγj+1 lj+e−iγj (lj −lj−1 )(j)µ11µ11µ11µ11(hiγj 1iγj (lj+1 −lj )−iγj+1 (lj+1 −lj )iγj+1 lj−iγj+1 lj= γje+e++ Dj+1 eCj+1 e(j)2 (j) µ11µ11)hiγj+1 + (j+1) Cj+1 e−iγj+1 lj − Dj+1 eiγj+1 lj eiγj (lj+1 −lj−1 ) − e−iγj (lj+1 −lj−1 )µ11h γи разность Cj e−iγj lj−1 − Dj eiγj lj−1 (j = 1, 2, .

. . , n − 1):=1γj(j)µ11+(γj+1 (j+1)µ11Cj e−iγj lj−1 − Dj eiγj lj−1 =γj (j)µ11Cj+1 e−iγj+1 lj+ Dj+1 eiγj+1 lji sin(γj (lj − lj−1 ))+)Cj+1 e−iγj+1 lj − Dj+1 eiγj+1 lj cos(γj (lj − lj−1 )) .(1.31)Для j = n сумма Cn e−iγn ln−1 + Dn eiγn ln−1 и разность Cn e−iγn ln−1 − Dn eiγn ln−1имеют вид:Cn e−iγn ln−1 +Dn eiγn ln−1 =Cn e−iγn ln−1 −Dn eiγn ln−1 =Fe−iγ0 lnγn(n)µ11Fe−iγ0 lnγn(n)µ11((γncos(γj (lj − lj−1 )) +(n)µ11)γ0i sin(γj (lj − lj−1 )) ,µ0(1.32)γni sin(γj (lj − lj−1 )) +(n)µ11γ0cos(γj (lj − lj−1 )) .µ0(1.33)Тогда с учетом выражений (1.30)-(1.33) выражение (1.21) примет вид:γ0F e−iγ0 ln γnp+ qn+1 ,A= Qn(n) n+1µ0γjµ112(j)j=0 µ11где pj , qj вычисляются по формулам (1.26).Справедливо следующее следствие.29)(1.34)Следствие 1.2. Выражение (1.19) для коэффициента B эквивалентнорекуррентным формулам:B=Aγn (−)(n) pµ11 n+1γn (+)(n) pn+1µ+γ0 (−)µ0 qn+1+γ0 (+)µ0 qn+111гдеγ1γ0p1 cos α1 ± (1) q1 i sin α1 ,µ0µ11γj (±)γj−1 (±)(±)pj+1 = (j−1) pj cos αj + (j) qj i sin αj ,µ11µ11γ0γ1(±)q1 = 1, q2 = p1 i sin α1 ± (1) q1 cos α1 ,µ0µ11γj (±)γj−1 (±)= (j−1) qj i sin αj + (j) qj cos αj , j = 1, .

. . , n.µ11µ11(±)p1 = 1, p2(±)qj+1(1.35),=(1.36)(1.37)Тогда решение прямой задачи имеет вид (1.6), (1.7), где коэффициентыF , Cj , Dj (j = 1, . . . , n) вычисляются по формулам (1.15)-(1.18), (1.35)(1.37).Доказательство. Рассмотрим формулы (1.15)-(1.19), по которым определяются коэффициенты F , Cj , Dj (j = 1, . . . , n) и B. Для того, чтобынайти зависимость коэффициента отражения B/A от γj , выразим коэффициент A через C2 и D2 (формула (1.22)). Используя формулы (1.27),(1.28), получим:B=B=112 µγ00 γ(1)µ11(±)где p2((±)и q2γ1(±)p(1) 2µ11nγ0µ0C 1 + D1 −γ1(1)µ112 µγ00oC 1 − D1C2 e−iγ2 l1 + D2 eiγ2 l1 −γ2(±)q(2) 2µ11(1.38),nC2 e−iγ2 l1 − D2 eiγ2 l1вычисляются по формулам (1.36), (1.37).30o(1.39)),С учетом формул (1.30)-(1.33) уравнение (1.39) примет вид:γ0 (−) F e−iγ0 ln γn (−)p+ qn+1 ,B= Qn(n) n+1µ0γjµ112(j)(1.40)j=0 µ11(±)где p2(±)и q2вычисляются по формулам (1.36), (1.37).Таким образом, с учетом формулы (1.34) для коэффииента A и формулы (1.40) для коэффициента отражения B/A получим искомое выражение (1.35).1.1.3Односекционная диафрагмаВ данном подпункте представлено решение прямой задачи в случаеодносекционной диафрагмы, которое используется при решении соответствующих обратных задач (см.

п.1.3). Показано, что решение прямой задачи в случае односекционной диафрагмы может быть записано в явномвиде.Следующий результат является следствием Предложения 1.1.Следствие 1.3. Для случая односекционной диафрагмы выражения длякоэффициента прохождения F/A и для коэффициента отражения B/Aимеют явное представление:Feiγ0 l1=,Ag(τ )(1)γ0 l1 µ11(1.41)!sin τ,2τ µ0g(τ )11!(1)τ µ0γ0 l1 µ11sin τ,g(τ ) = cos τ + i+2γ0 l1 µ(1)2τ µ011B=iAгде−τ µ02γ0 l1 µ(1)vuu (1) (1) π 2 µ(1)τ = γ1 l1 = l1 tω 2 ε22 µ33 − 2 11,a µ(1)3331(1.42)(1.43)iγ1 l1C1 =D1 =e2γ1(1)µ11−iγ1 l1e2γ1(1)µ11γ1F(1)µ11γ1F(1)µ11+γ0µ0−!γ0µ0(1.44),!(1.45).Решение прямой задачи имеет вид (1.6), (1.7), где коэффициенты F ,C1 , D1 , B вычисляются по формулам (1.41)-(1.45).Доказательство. Для случая одной секции уравнение (1.34) имеет вид:!−iγ0 l1Feγ1γ0A = γ0 γ1q2 ,p+22 µ0 (1) µ(1)µ011µ11где p2r, q2 вычисляются по формулам (1.26). Здесь γ0 =γ1 =(1) (1)(1)pω 2 ε0 µ0 − π 2 /a2 ,ω 2 ε22 µ33 − π 2 /a2 µ11(1) , α1 = γ1 l1 .

Подставляя выражения для коµ33эффициентов pj , qj ,(j = 1, 2) в уравнение для коэффициента A, получим:A iγ0 l1= cos(γ1 l1 ) +eFγ12γ02+(1)µ20(µ11 )2i γ0 γ12 µ0 (1)µ(1.46)sin(γ1 l1 ).11Выражение (1.46) – явное соотношение между комплексной диэлектри(1)ческой проницаемостью ε22 и коэффициентом прохождения F/A.(1)Введем новую комплексную переменную τ = γ1 l1 вместо ε22 . Тогдауравнение (1.46) имеет вид (1.41), (1.43). С учетом формул (1.16)–(1.18)получим выражения (1.44), (1.45).Для случая одной секции уравнение (1.35) для коэффициента отражения B/A имеет вид:B=Aγ1 (−)(1) pµ11 2γ1 (+)(1) p2µ11+γ0 (−)µ 0 q2+γ0 (+)µ 0 q2,где p(±) ,q (±) вычисляются по формулам (1.36), (1.37).

Из последнего уравнения получим формулу (1.42).32Тогда решение прямой задачи дифрракции (1.1)-(1.5) для случая односекционной диафрагмы имеет явное представление (1.6), (1.7), где коэффициенты F , C1 , D1 , B вычисляются по формулам (1.41)-(1.45).Рассмотрим функцию g(τ ) (1.43). Докажем, что верно следующееутверждение:Предложение 1.2.

Функция g(z) (см. (1.42)) при z ∈ C является целойфункцией. При z = τ ∈ R локально обратима при τ 6= 0.Доказательство. 1. Функция g(z) является целой функцией. (Функцияsin(z)/z имеет в начале координат устранимую особую точку. Следовательно, тоже является целой функцией.)2. Найдем прозводную функции g(z):g ′ (z) = − sin z + i1 µ0(sin z + z cos z)+2γ0 l1 µ(1)(1)γ0 l1 µ11+i2 µ0Очевидно, что:11z cos z − sin z.z21 µ0(sin z + z cos z)+z→02γ0 l1 µ(1)11!(1) γ0 l1 µ11 z cos z − sin z= 0.+i2 µ0z2lim g ′ (z) = lim − sin z + iz→0Поэтому g(z) не обратима в точке z = 0.При z = τ ∈ R уравнение g ′ (τ ) = 0 эквивалентно системе:sin τ = 0(1) 1γlµµτcosτ−sinτ01011= 0. 2γ l (1) (sin τ + τ cos τ ) + 2 µτ20 1µ011Из первого уравнения системы (1.47) получаем:τ = πn,33n ∈ Z.(1.47)Подставляя τ = πn,n ∈ Z во второе уравнение (1.47), получаем:(1) 1 µ0γ0 l1 µ11 (−1)nn= 0.πn(−1) + +2γ0 l1 µ(1)2 µ0πn11Последнее равенство невыполнимо ни при каких n.

Тогда система (1.47)не имеет решения. Откуда следует, что g(τ ) локально обратима [31].Замечание.Случай z = 0 следует исключить, так как при z = τ =q2γ1 l1 = k 2 − πa2 = 0 нарушается одномодовый режим.1.2Постановка обратных задачВ пункте 1.1 была рассмотрена (прямая) задача дифракции электромагнитной волны на многосекционной диафрагме. При известных электромагнитных параметрах каждой секции диафрагмы: диэлектрическойи магнитной проницаемостях, а также известных толщинах каждой секции диафрагмы – были найдены коэффициенты прохождения F/A, отражения B/A и распределение поля внутри каждой секции.В данном пункте будут представлены постановки обратных задач,исследуемых в диссертации.Постановка обратных задач: требуется по известной амплитуде A падающего поля E0 и известному коэффициенту прохожденияF/A или коэффициенту отражения B/A определить некоторые из параметров (ε̂(j) , µ̂(j) , lj ) каждой секции многосекционной диафрагмы вволноводе.Предполагается, что значение коэффициента прохождения F/A (илиотражения B/A) на различных частотах, известно из эксперимента (см.[78, 79]).

Для тестовых расчетов необходимые значения коэффициентовпрохождения F/A (или отражения B/A) можно вычислить, решив прямую задачу [9, 37, 83], при этом в обратной задаче эти значения используются с некоторой погрешностью.34В диссертационной работе исследуются следующие три класса обратных задач:- класс I – для изотропной односекционной диафрагмы;- класс A – для анизотропной односекционной диафрагмы;- класс M – для анизотропной многосекционной диафрагмы.В обратных задачах в случае изотропной диафрагмы (как односекционной, так и многосекционной) диэлектрическая и магнитная пронациемости являются скалярнымии величинами.В обратных задачах в случае анизотропной диафрагмы (как односекционной, так и многосекционной) диэлектрическая и магнитная пронациемости являются тензорными величинами. B диссертации исследовались задачи для диагональных тензоров диэлектрической и магнитнойпроницаемостей (т.е вида (1.1)-(1.2)).Рассмотрим постановки обратных задач для каждого класса.Введем обозначения для рассматриваемых задач: задачи, в которыхиспользуются значения коэффициента прохождения F/A, обозначим буквой P , а задачи, в которых используются значения коэффициента отражения B/A – буквой Q.

В нижнем индексе записываются неизвестныевеличины, в верхнем – поле чисел, в котором разыскиваются искомыевеличины.1.2.1Изотропная односекционная диафрагма (класс I)CПостановка обратных задач PεR1 , PεC1 (QRε1 , Qε1 ): требуется поизвестному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A)электромагнитного поля определить вещественную или комплексную диэлектрическую проницаемость ε1 изотропной односекционнойдиафрагмы.Постановка обратных задач PεR1 , l1 (QRε1 , l1 ): требуется по известному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A ) элек35тромагнитного поля определить вещественную диэлектрическую проницаемость ε1 и толщину l1 изотропной односекционной диафрагмы.Постановка обратных задач PεC1 (l1 ≪ 1) QCε1 (l1 ≪ 1)): требует-ся по известному коэффициенту прохождения F/A (или отраженияB/A) электромагнитного поля определить комплексную диэлектрическую проницаемость ε1 изотропной1.2.2тонкой ( l1 ≪ 1) диафрагмы.Анизотропная односекционная диафрагма (класс A)Постановка обратных задач PεbR1 : требуется по известному ко-эффициенту прохождения F/A электромагнитного поля определитьтензор диэлектрической проницаемости εb1 анизотропной диа-фрагмы.Постановка обратных задач PµbR1 (QRµb1 ): требуется по известно-му коэффициенту прохождения F/A (или коэффициенту отраженияB/A) электромагнитного поля определить тензор магнитной проницаемости µb1 анизотропной диафрагмы.Постановка обратных задач PεbR1 ,bµ1 : требуется по известному ко-эффициенту прохождения F/A электромагнитного поля определитьтензор диэлекрической проницаемости εb1 и тензор магнитной проницаемости µb1 анизотропной диафрагмы.1.2.3Анизотропная многосекционная диафрагма (класс M)Сформулируем постановки обратных задач в случае изотропной многосекционной диафрагмы:CПостановка обратных задач PεRj , PεCj (QRεj , Qεj ): требуется поизвестному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A)электромагнитного поля определить вещественную или комплекс-36ную диэлектрическую проницаемость εj (j = 1, .

. . , n) каждой секцииизотропной диафрагмы.Постановка обратных задач PεRj , lj (QRεj , lj ): требуется по известному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A ) электромагнитного поля определить вещественную диэлектрическую проницаемость εj (j = 1, . . . , n) и толщину lj (j = 1, .