Печать сем 8 9 (Семинары)

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫЦиклические полугруппы и группы• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.1.В полугруппе (A, ∗) n -я степень элемента a есть элементn1nn−1|a ∗ a ∗{z. . . ∗ a} , обозначаемый a , причем a = a и a = a ∗ a ,n разn = 2, 3, . . .Если (A, ∗, 1) — моноид, то вводят нулевую степень a0 = 1 .Если (A, ∗, 1) — группа, то для любого элемента a вводят отрицательную степень согласно равенству: a−n = (a−1)n , n = 1, 2, . . .(Отрицательная степень элемента a группы есть положительная степень элемента, обратного к a .)Свойства степенейУтверждение 8.1.1) Для любой полугруппы am ∗ an = am+n ; (am)n = amn (m, n ∈ N) ;2) для любой группы a−n = (an)−1 (n ∈ N) , am ∗ an = am+n(m, n ∈ Z) .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2.

Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa . Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.Для произвольного n имеемn · 1 = 1| + .{z. . + 1} = n.n разб) Группа (Z5, 5, 1) — циклическая с образующим элементом 2.Действительно, для 2 имеем 20 = 1 , 21 = 2 , 22 = 2 5 2 = 4 ,23 = 2 5 22 = 2 5 4 = 3 , 24 = 2 5 3 = 1 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .Определение 8.3.Группу H = (H, ∗, −1, 1) называют подгруппой группы G =(G, ∗, −1, 1) , еслиH есть подмножество G , замкнутое относительно операции ∗ ,содержащее единицу 1 группы Gи вместе с каждым элементом x ∈ H содержащее элемент x−1 ,обратный к x .Определение 8.4.Подгруппу группы G , заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента a , называют циклической подгруппой группыG , порожденной элементом a .Задача 1.

Найти циклическую подгруппу H группы Z11с образующим элементома) a = 4 ;б) a = 2 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПусть G = (G, ∗, 1) — группа, а H = (H, ∗, 1) — ее подгруппа.Определение 8.5. Левым смежным классом подгруппы Hпо элементу a ∈ G называют множествоaH = {y | y = a ∗ h, h ∈ H}.Соответственно, правый смежный класс подгруппы H поэлементу a ∈ G — это множество Ha = {y | y = h ∗ a, h ∈ H} .Задача 2. Найти левый смежный класс aH циклической подгруппы∗H с образующим элементом b = 4 мультипликативной группы Z11поэлементу a = 3 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 1. (Лагранж) Порядок конечной группы делится на порядоклюбой ее подгруппы.Задача 3.

Может ли некоторая погруппа мультипликативной группы∗Z97содержать 23 элемента? 24 элемента? 32 элемента?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫКольца. Поля. Решение СЛАУ• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6.

Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:1) алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;2) алгебра (R, ·, 1) — моноид ;3) имеет место дистрибутивность операции + (сложения кольца) относительно операции · (умножения кольца):a · (b + c) = a · b + a · c,(b + c) · a = b · a + c · a.Операцию + называют сложением кольца, · — умножениемкольца,элемент 0 — нулем кольца, элемент 1 — единицейкольца.Определение 8.7. Кольцо называют коммутативным, еслиоперация умножения в нем коммутативна.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.а) Алгебра (Z, +, ·, 0, 1) есть коммутативное кольцо.б) Алгебра (N, +, ·, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (N, +) — коммутативный моноид, но не группа.б) АлгебраZk = ({0, 1, 2, . .

. , k − 1}, ⊕k , k , 0, 1)(при k ≥ 1 ), аддитивная группа которого есть аддитивная группавычетов по модулю k ,а операция умножения по модулю k определенааналогично сложению по модулю k , т.е. m n равно остатку отделения на k числа m · n ,есть коммутативное кольцо. Его называюткольцом вычетов по модулю k .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.8. Ненулевые элементы a и b кольца R называютделителями нуля, если a · b = 0 .Задача 4. Существуют ли делители нуля в кольце вычетов по модулю4 Z4.

В кольце Z5? При каких n Zn не содержит делителей нуля?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.9. Кольцо, в котором множество всех ненулевыхэлементов по умножению образует группу, называют телом.Коммутативное тело называют полем.Группу ненулевых элементов поля по умножению называют мультипликативной группой этого поля.Пример 3.а) Алгебра (Q, +, ·, 0, 1) есть поле, называемое полем рациональных чисел.б) Алгебра (R, +, ·, 0, 1) есть поле, называемое полем вещественных чисел.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5.

Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:(а) множество неотрицательных√ целых чисел;(б) множество чисел вида x + 2y , x, y ∈ Q ?Какие из указанных колец являются полями?Задача 6. Какие из множеств матриц образуют кольцо относительноматричных операций умножения и сложения? Какие из колец являютсяполями?a b, a, b, c ∈ R ?(а) множество матриц вида0 ca b(б) множество матриц вида, a, b ∈ R ?−b aЗадача 7.

Составить таблицу Кэли для операций сложения иумножения в кольцах вычетов Z3 и Z5 . Показать, что Z3 и Z5являются полями.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 2. В любом кольце выполняются следующие тождества1) a · 0 = 0 · a = 0 .2) (a − b) · c = a · c − b · c ,c · (a − b) = x · a − c · b , где разность a − b есть по определениюa − b = a + (−b) .Следствие 8.1. В любом кольце справедливы тождества:a · (−b) = (−a) · b = −a · b(в частности, (−1) · x = x · (−1) = −x ).Таким образом, производя вычисления в любом кольце (поле), можнораскрывать скобки и менять знаки так же, как в обычной школьнойалгебре.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 8.Решитьв поле Z3 и в поле Z5 систему уравнений: x + 2y = 1,y + 2z = 2, 2x + z = 1.Задача 9.Решить в поле Z5 и в поле Z7 систему уравнений:2x + 3y = 1,3x − 4y = 2.Задача 10.Разрешима ли в кольце Z21 система уравнений:5x + 2y = 1,y − 11x = 13?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitДополнительные задачи8.1.

Кольцо R называется булевым, если ∀x ∈ R x2 = x . Доказать:(а) в любом булевом кольце ∀x ∈ R x + x = 0 ;(б) любое булево кольцо коммутативно;(в) в любом булевом кольце мощности больше 2 есть делители нуля.8.2. Доказать, что (2M , 4, ∩, ∅, M ) — булево кольцо. Доказать, чтооно изоморфно Z2 при |M | = 1 .8.3. Будет ли любое кольцо Z2n , n ≥ 1 , булевым?8.4. Доказать:(а) если элемент кольца обратим (слева, справа), то он не являетсяделителем нуля (левым, правым);(б) в конечном кольце любой односторонне обратимый элемент обратим;(в) элемент кольца вычетов по mod k обратим тогда и только тогда,когда он взаимно прост с k .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit.