Чернавский А.В. - Кривые и поверхности, страница 10

В этом случае EG − F 2 заменяется на |[ru , rv ]|.Неявное задание. Если поверхность задана неявным образом с помощью уравнения F = 0, причем Fz 6= 0,то, используя вычисленные выше значения коэффициентов первой квадратичной формы, получаем для корняиз определителя матрицы этой формы значениеsZZFx2 + Fy2 + Fz2|∇F ||∇F |=иS=dxdy.Fz2|Fz ||Fz |Случай графика. Если поверхность представлена графиком функции z = f (x, y), то аналогично получаемдля корня из определителяqp1 + fx2 + fy2 = 1 + p2 + q 2 .2312. Тождество Лагранжа.Утверждение. Пусть даны две пары векторов в R 3 : a, b и u, v. Тогда³´a) (u, b)([u, v], [a, b]) = det (u,(v, a) (v, b)[Доказательство. Пусть даны две пары векторов в R3 : a, b и u, v. Обозначим координаты векторногопроизведения первой пары m1 , m2 , m3 , второй пары — n1 , n2 , n3 .(Напомним, что координатами векторного произведения двух векторов служат миноры матрицы, составленнойиз столюцов координат этих векторов, причем первая координата есть минор, полученный вычеркиваниемпервой строки, вторая – второй строки и третья – третьей строки.)Рассмотрим произведение матриц:a1 b1n1a2b2n2a3u1b3   v 1n3m1u2v2m2Tu3(a, u)v3  =  (b, u)(n, u)m3(a, v)(b, v)(n, v)(a, m)(b, m) (m, n)(Значок T указывает транспонирование матрицы.) Определитель каждой матрицы слева равен скалярномупроизведению векторных произведений наших пар векторов.

(Нужно взять разложение определителя по нижнейстроке.) Матрица справа есть(a, u) (a, v)0 (b, u) (b, v)000(m, n)Таким образом, беря определители, получаем равенство:µ(a, u)(m, n)2 = det(b, u)(a, v)(b, v)¶(m, n),и сокращая (в предположении, что m и n не ортогональны), получаем требуемое равенство.Контрольный вопрос. Верно ли наше равенство, если m и n ортогональны? ]24¥Б. Огибающие и развертывающиеся поверхности1.

Уравнения в частных производных, огибающие и характеристикиУравнения в частных производных и огибающие. Системы кривых, зависящие от конечного числа параметров,встречаются чаще всего как интегральные кривые векторных полей или, что то же самое, решения обыкновенныхдифференциальных уравнений. Решения уравнений в частных производных представляются многомернымиповерхностями (графиками функций) и хотя их полная совокупность обычно слишком велика, чтобы представитьее как систему с конечным числом параметров, все же имеется возможность обозреть эту совокупность спомощью конечномерных систем, хотя бы для уравнений первого порядка.Именно, такая система решений называется полным интегралом, если другие решения (в некотором смыслепочти все) получаются с помощью специальной конструкции построения огибающих, к изложению которой мыи приступаем.

Разумеется, эта конструкция полезна не только в теории уравнений в частных производных, нои в самой дифференциальной геометрии.Мы ограничимся для простоты системами поверхностей, т.е. подмногообразий коразмерности один (задаваемых,как мы помним, каждое одним уравнением, а не системой уравнений). Но мы будем рассматривать поверхностив пространстве R n произвольной размерности, т.к.

изложение совершенно одинаково для пространств всехразмерностей.Огибающие поверхностей в R n . Итак, пусть задано уравнение, зависящее от конечного числа k параметровF (x1 , . . . , xn , c1 , . . . , ck ) = 0,где ci – параметры. Каждому набору параметров (возможно, из некоторой области, скажем, заданной системойнеравенств ci1 < ci < ci2 ) отвечает поверхность, которую обозначим F (c).Назовем поверхность, заданную уравнением ϕ(x1 , . . . xn ) = 0, огибающей данного семейства, если в каждойсвоей точке она касается одной из поверхностей семейства (т.е. ее касательная плоскость совпадает с касательнойплоскостью поверхности семейства).Мы будем также считать, что в каждой точке касание происходит только с одной поверхностью, (касание скаждой поверхностью может происходить по целому подмногообразию меньшей размерности). В таком случаепараметры ci оказываются функциями точки огибающей. Иначе говоря, если мы параметризуем поверхностьϕ = 0 посредством n − 1 параметров tj , то мы получим, кроме функций xi (tj ), задающих точки на этойповерхности, еще и функции cm (tj ), причем если их подставить в функцию F , она обратится в нуль:F (x1 (t1 , .

. . , tn−1 ), . . . , xn (t1 , . . . , tn−1 ), c1 (t1 , . . . , tn−1 ), . . . , ck (t1 , . . . , tn−1 )) = 0.Характеристики. Мы предположим, что параметры ci можно принять за часть локальной координатнойсистемы на огибающей поверхности, т.е. что ранг матрицы Якоби системы функций cj (tm ) максимален. Отсюда,в частности, следует, что k ≤ n − 1.

В таком случае можно ожидать, что касание поверхности семейства согибающей поверхностью происходит по многообразию размерности n−1−k. Наибольший интерес представляетслучай касания вдоль кривых (в теории уравнений в частных производных они называются характеристическимикривыми или характеристиками). Поэтому мы ограничимся случаем k = n − 2 (если n = 3, то k = 1).2. Уравнение огибающейВывод уравнения огибающей. Значение дифференциала F при фиксированном наборе параметров c, т.е. дляфиксированной поверхности семейства, на касательном векторе к этой поверхности равно нулю.

Значит, прификсированном c для такого вектора, имеющего координаты dxi :∂F idx = 0.∂xiПродифференцируем теперь тождество F = 0, полученное подстановкой вместо xi и cj их выражений черезtm :∂F i ∂F idx + i dc = 0.∂xi∂cijmjm∂x∂cЗдесь дифференциалы dxi , dcj следует выразить через dtm : dxi = ∂tm dt , dc = ∂tm dt .Первая половина этой суммы равна нулю, т.к. частные производные по каждой переменной берутся прификсированных значениях других переменных, а вектор dxi является касательным к огибающей и, значит,к поверхности семейства в данной точке, так что мы можем применить предыдущее равенство. Поэтомуполучаем:∂F idc = 0.∂ciМы допустили, что ранг матрицы Якоби системы функций cj (tm ) в точке касания огибающей и поверхностисемейства максимален.

Поэтому можно найти для каждого j вектор (dtm ), который матрица Якоби переведетв вектор dc со всеми нулевыми координатами dci , кроме j-ой, dcj . Поэтому каждая производная в отдельности25равна нулю. В результате мы получаем систему из k + 1 уравнений: начального уравнения F = 0 и еще kуравнений, приравнивающих нулю производные F по параметрам:F (x1 , . . . , xn , c1 , . . . , ck ) = 0Fc1 (x1 , .

. . , xn , c1 , . . . , ck ) = 0···Fck (x1 , . . . , xn , c1 , . . . , ck ) = 0.(∗)Из последних k уравнений этой системы можно получить (вообще говоря) функции, выражающие параметрыci через координаты. Подставив их в первое уравнение, мы получим уравнение огибающей.Дискриминантная поверхность. На самом деле решения этого уравнения будут содержать огибающую,если она имеется, но они могут также содержать и другие точки, где поверхности семейства имеют особенности(если мы их допускаем).

Поэтому в общем случае получаемое решение этой системы называется дискриминантнойповерхностью.Проводя рассуждения в обратном порядке, мы получим, что касание этой поверхности и поверхностейсемейства заведомо произойдет в тех точках решения системы, где не обращаются одновременно в нуль все∂Fчастные производные ∂xi , т.е. где поверхности семейства имеют неособые точки.В самом деле. Возьмем вектор, касательный к дискриминантной поверхности.

В силу первого уравнениясистемы, он приложен к точке на одной из поверхностей семейства. Т.к. он касается дискриминантной поверхности,значение на нем дифференциала левой части этого уравнения в координатах ti равно нулю:∂F ∂xi m ∂F ∂cj mdt + i m dt = 0.∂xi ∂tm∂c ∂tТогда с помощью остальных уравнений системы мы получаем равенство нулю на этом векторе дифференциалалевой части, взятого при условии постоянства параметров, т.е.

для поверхности семейства. Сделать вывод, что∂Fвектор касается этой поверхности, можно, только если не равны нулю все производные ∂xi.Итак, либо точка дискриминантной поверхности лежит на огибающей, либо это – особая точка поверхностисемейства, требующая особого анализа.Определение характеристик. На ту же систему (∗) можно посмотреть иначе. Если фиксировать в нейзначения параметров, то мы получим k + 1 = n − 1 поверхностей, пересечение которых, в общем случае (приусловии невырожденности соответствующей матрицы Якоби) даст одномерное (почему?!) многообразие, т.е.кривую.

Эта кривая будет характеристикой – кривой касания поверхности семейства и огибающей. Такимобразом мы получаем k-параметрическое семейство характеристик, на которые оказывается расслоенной огибающая.Упражнение. Характеристикой при данном значении параметра служит предельное положение кривойпересечения поверхности с этим значением параметра и поверхности с близким значением при стремлениипоследнего к данному значению параметра.Огибающая поверхность как полный интеграл. Огибающая поверхность имеет в каждой точке A те жепервые производные, что и поверхность семейства, проходящая через эту точку. Действительно, уравнениеогибающей имеет видϕ(x1 , . .

. , xn , c1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ck (x1 , . . . , xn )) = 0,где функции ci (x1 , . . . , xn ) получены из системы Fcj = 0. Но тогда ϕxi = Fxi + Σj Fcj cjxi = Fxi .Отсюда следует, что если все функции F (x, c) служат решениями некоторого уравнения в частных производныхпервого порядка, то и огибающая ϕ является решением того же уравнения.Если в такой системе F (x, c) решений дифференциального уравнения первого порядка число параметровc равняется числу n переменных x и ранг n × (n + 1)-матрицы (Fcj Fcj xi ) равен n, то эта система называетсяполным интегралом даного уравнения.