Чернавский А.В. - Кривые и поверхности, страница 14

Геодезическая кривизна.Естественно рассмотреть проекцию вектора кривизны на касательную плоскость. Эта проекция играетважную роль. Она называется вектором геодезической кривизны, а длина ее – геодезической кривизной.Роль геодезической кривизны состоит в том, что это есть кривизна кривой относительно внутренней геометрииповерхности, т.е. выражается только в терминах первой квадратичной формы, как мы увидим позже. Вчастности, она не меняется при изгибаниях поверхности (деформациях, не меняющих локально длины кривых).Например, геодезическая кривизна кривых, нарисованных на цилиндре или конусе (или вообще на развертывающихсяповерхностях), совпадает после наложения этих поверхностей на плоскость с обычной кривизной.5.

Индикатриса ДюпенаВторая квадратичная форма и квадратичная аппроксимация поверхности. Рассмотрим снова специальнуюсистему координат, когда поверхность представляется графиком функции z = f (x, y), а координатная плоскостьz = 0 является касательной плоскостью в данной точке, совмещенной с началом координат.Вторая квадратичная форма представляется в этом случае, как мы знаем, в виде rdx2 + 2sdx dy + tdy 2 исовпадает с (удвоенным) многочленом Тейлора, взятым с точностью до третьего порядка.

Нетрудно видеть, чтоу этой поверхности второго порядка (которая совпадает с графиком своей собственной второй квадратичнойформы) все нормальные кривизны в начале будут те же, что и у данной поверхности. В самом деле, нормальнаякривизна есть отношение значений двух квадратичных форм, а обе формы у этих поверхностей в начальнойточке совпадают.Индикатриса Дюпена. Поведение функции, графиком которой служит поверхность второго порядка, мыможем охарактеризовать в данной точке с помощью кривой второго порядка. Именно, возьмем сечения графикауровнями z = ±1 и спроектируем их на плоскость z = 0.

Мы получим в случае неособой точки поверхности (ане функции!) центральную кривую: эллипс или пару гипербол с общими асимптотами или пару параллельныхпрямых.Такая кривая, в нашем случае построенная с помощью аппроксимирующей поверхности второго порядка,носит название индикатриса Дюпена (данной поверхности в данной точке).Инвариантное определение индикатрисы и ее уравнение. Заметим прежде всего, что индикатриса естькривая в касательной плоскости.

Посмотрим, чему равна длина касательного вектора с концом в данной точкеиндикатрисы, т.е. чему равно расстояние этой точки от начала в касательной плоскости. В нашей специальной33системе координат во взятой точке вторая квадратичная форма, рассматриваемая как функция на касательнойплоскости, равна по модулю 1.

Из основной формулы вытекает, что в таком случае радиус нормального сеченияравен квадрату длины этого вектора.Таким образом, расстояние точки индикатрисы от начала есть корень из радиуса кривизны нормальногосечения, проходящего через эту точку. Это определение не зависит от выбора координатной системы в объемлющемпространстве. Итак,Определение.

Индикатриса Дюпена в касательной плоскости точки данной поверхности – это кривая, вточках которой выполнены два эквивалентных условия: 1) значение второй квадратичной формы равно помодулю единице, 2) длина радиус-вектора точки этой кривой равна квадратному корню из радиуса кривизнынормального сечения в направлении, указанном этим вектором.Доказательство эквивалентности этих условий вытекает из формулы ±1/Rn =2II(ξ, η).I(ξ, η)Уравнением индикатрисы служит равенство II(ξ, η) = ±1 или Lξ + 2M ξη + N ηкоординаты касательного вектора, отвечающие данной карте.2¥= ±1.

Здесь ξ, η –(Слово “индикатриса” означает указатель, с ее помощью видно, как меняется кривизна нормального сеченияпри повороте направления касательной в данной точке поверхности.)6. Главные кривизны и формула ЭйлераГлавные направления. Вспомним известные факты аналитической геометрии о центральных кривых второгопорядка. Эти кривые обладают главными направлениями. В невырожденном случае, т.е. когда определительLN −M 2 отличен от нуля, имеется два главных направления, которые ортогональны. Если мы выберем главныенаправления за оси координат, то мы приведем форму к каноническому виду, в котором исчезнет ее второйчлен, и уравнение индикатрисы получит выражение L0 ξ 2 + N0 η 2 = ±1.На нормальном сечении, отвечающем одному из этих координатных направлений, мы имеем ξ02 = 1/|L0 | или2η0 = 1/|N0 | соответственно.

Это значит, что радиусы кривизны в главных направлениях равны 1/|L0 | и 1/|N0 |,а кривизны, соответственно, равны: k1 = L0 и k2 = N0 . Таким образом в этой системе координат уравнениеиндикатрисы запишется в виде k1 ξ 2 + k2 η 2 = ±1.Формула Эйлера.

Наконец, если обозначить через θ полярный угол в касательной плоскости, отсчитываемый√от√ одного из главных направлений, то для точки на индикатрисе с координатами ξ, η имеем ξ = Rn cos θ, η =Rn sin θ. Подставляя в предыдущее уравнение, получим формулу Эйлера:k1 cos2 θ + k2 sin2 θ = kθ ,где через kθ обозначена нормальная кривизна в направлении полярного угла θ.Утверждение. Главные кривизны имеют экстремальные значения; k меняется на отрезке [k1 , k2 ].Доказательство. Приравнивая нулю производную формулы Эйлера, получаем, что либо k1 = k2 , либоsin 2θ = 0.

В первом случае кривизна постоянна (такая точка называется омбилической), во втором получается,что экстремальные направления совпадают с главными направлениями индикатрисы: θ = 0 и π/2.¥7. Сопряженность направлений в касательной плоскостиНапоминание из аналитической геометрии. Два диаметра центральной кривой 2-го порядка называются ваналитической геометрии сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому.Их направления также называются сопряженными.Сопряженные направления “ортогональны” относительно скалярного произведения, заданного уравнениемкривой: если bij xi y j = 1 – уравнение кривой и (x1 , x2 ), (y 1 , y 2 ) – векторы этих направлений, то для сопряженныхнаправлений b11 x1 y 1 + b12 (x1 y 2 + x2 y 1 ) + b22 x2 y 2 = 0. (Аффинное преобразование, переводящее окружностьв эллипс сохраняет равенство нулю соответствующей билинейной формы, и также параллельность и делениепополам отрезка.

Таким образом, ортогональные направления перейдут в сопряженные. То же для преобразования,переводящего пару равнобочных гипербол x2 − y 2 = ±1 в данную пару.)Определение. На поверхности направления в касательной плоскости в данной точке сопряжены, если онисопряжены относительно индикатрисы Дюпена, т.е. в качестве bij берутся коэффициенты 2-ой квадратичнойформы:b11 = L = (nu , ru ), b12 = M = (nu , rv ) = (nv , rv ), b22 = N = (nv , rv ).Если (du, dv) и (δu, δv) – два вектора в касательной плоскости, условие сопряженности их направленийзаписывается уравнением L duδu+M (duδv+dvδu)+N dvδv = 0, или, короче, (dn, δr) = 0, где dn = nu du+nv dvи δr = ru δu + tv δv.Таким образом, сопряженность двух направлений означает, что одно направление ортогонально (в обычномсмысле) дифференциалу орта нормали для другого направления.Рассмотрим на поверхности кривую γ, проходящую через точку A в направлении вектора (du, dv), идифференциал dn нормального орта при движении по этой кривой.

Пусть m = δr орт сопряженного направленияδu, δv. Этот вектор удовлетворяет двум условиям: (m, n) = 0 и (m, ṅ) = 0 (дифференцирование по параметру34кривой γ). Вместе эти два равенства означают, что вектор m направлен по характеристике огибающей однопараметрического семейства плоскостей касательных к поверхности в точках кривой γ. Верно и обратное: длявектора, лежащего на характеристике огибающей этого семейства, выполнены эти два условия.Таким образом, доказаноУтверждение.

Семейство прямых, касательных к поверхности в точках данной кривой тогда и толькотогда служит характеристиками развертывающейся поверхности, огибающей семейство плоскостей касательныхк поверхности вдоль данной кривой, когда направления этих прямых сопряжены направлениям касательныхк кривой.¥Угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных направлений q1 =dvduи q2 =δvδuудовлетворяют уравнениюL + M (q1 + q2 ) + N q1 q2 = 0.Определение. Если в области на поверхности даны два семейства линий так, что через каждую точкуобласти проходит по одной линии из каждого семейства и их направления сопряжены, то такая пара семействназывается сопряженной сетью.Контрольный вопрос. На развертывающейся поверхности в каждой точке имеется направление, сопряженноелюбому другому направлению. Какое?В этом случае кривая Дюпена параболическая, т.е.

пара параллельных прямых. Значит, кривизна поверхностиK = 0 во всех точках (что мы выводили ранее из изометричности этих поверхностей с плоскостью.)8. Асимптотические направления и асимптотические кривые.Асимптотическим называется самосопряженное направление, т.е. направление, угловой коэффициент которогоудовлетворяет уравнениюL + 2M q + N q 2 = 0.

Для такого направления 2-я квадратичная форма и с ней нормальная кривизна равны нулю. Возможны трислучая в зависимости от знака дискриминанта ∆ = M 2 − LN :1. Если ∆ < 0, таких направлений нет – это случай эллиптической кривой Дюпена (для всех направленийкривизна сохраняет знак).2. Если ∆ = 0, это параболический случай двух параллельных прямых, одна из главных кривизн равнанулю. Соответствующее направление тривиальным образом сопряжено со всяким другим, в том числе и самосопряжено.3.

Если ∆ > 0, имеются два асимптотических направления. Это направления асимптот гиперболы Дюпена(откуда и их название).Определение. Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет асимптотическое направление называетсяасимптотической линией.Касательная плоскость в каждой точке асимптотической линии оказывается, очевидно, для этой линиисоприкасающейся (нормальная кривизна равна нулю). Таким образом, она служит ребром возврата для развертывающейсяповерхности огибающей семейства касательных плоскостей в ее точках.