Чернавский А.В. - Кривые и поверхности, страница 12

Нормальный вектор есть [ρ̇, m], он снова не зависит от v и, значит, и в этом случаекасательная плоскость не поворачивается вдоль образующей.Метрике цилиндра нетрудно придать евклидову форму: du2 + dv 2 , для чего нужно в качестве параметра uвзять натуральный параметр на кривой, а кривую взять ортогональной семейству образующих. Здесь изометриятакже локальная.Контрольный вопрос. Покажите, что “круглые” (с окружностью в качестве направляюшей) коническаяи цилиндрическая поверхности не изометричны никакой области в R 2 , но гомеоморфны областям в R 2 .Наконец, более сложный случай:28Поверхность касательных. Естественно исходить из параметрического задания ρ(u) кривой, касательныек которой образуют поверхность и которая служит для нее ребром возврата.

Пусть u – натуральный параметрна этой кривой. Вспомним формулы Френе.Пусть r(u, v) = ρ(u) + vm(u) – параметризация нашей поверхности, где смысл параметров и векторов тотже, что и раньше, и m = τ , т.е. параметризация натуральная. Тогда ru = τ +vkν, rv = τ , r = (τ +vkν)du+τ dv,и нормальный вектор [ru , rv ] = −kvβ. Значит, касательная плоскость вдоль образующей снова сохраняется,причем она оказывается соприкасающейся плоскостью исходной кривой, как и должно быть для ребра возврата.Метрика в этом случае, как оказывается, не зависит от кручения исходной кривой:ds2 = (1 + k2 v 2 )du2 + 2dudv + dv 2 .(∗∗)Но так же выглядит метрика плоскости в подходящим образом выбранной системе координат! Действительно:Теорема.

Развертывающаяся поверхность локально изометрична плоскости.Доказательство. Случаи цилиндра и конуса разобраны выше. Рассмотрим поверхность касательных кпространственной кривой γ. Существует плоская кривая l, функция кривизны которой совпадает с функциейкривизны ребра возврата γ данной развертывающейся поверхности. (Ведь мы доказывали, что функции кривизныи кручения можно выбрать произвольно и независимо друг от друга, и если кручение взять нулевым, токривая будет плоской.) Возьмем на плоскости нелинейную систему координат (s, t), где s = u – натуральныйпараметр на кривой l, а t = v – расстояние по ее касательной от точки касания. (Мы ниже выясним, когда этовозможно.) Этим будет задана параметризация плоской области вне кривой l как поверхности касательных.Значит метрика плоской области вне l в этих координатах имеет тот же вид (∗∗), что и полученный выше дляобласти в даной поверхности вне γ.Таким образом в точках с одинаковыми координатами наша поверхность и плоскость имеют одинаковыеметрические формы.

Значит, получен локальный диффеоморфизм поверхности с плоскостью (это соответствиебудет локальным диффеоморфизмом вне точек ребра возврата), сохраняющий метрику. В частности, локальныедлины соответствующих друг другу кривых равны.Теперь рассмотрим возможность введения указанной системы координат. Пусть r(s) – параметрическоезадание построенной плоской кривой в натуральном параметре. Пусть (x(s), y(s)) – канонические координатыточки на кривой. Тогда (x(s) + vx(s)0 , y(s) + vy(s)0 ) – канонические координаты точки плоскости, имеющейнелинейные координаты (s,v), которые мы ввели выше. Матрица Якоби получает вид:¶µ 0x (s) + vx00 (s) x0 (s)0000y (s) + vy (s) y (s)Якобиан равен v(x00 y 0 − x0 y 00 ); при v 6= 0 и при условии, что кривая не вырождается в точку он обращаетсяв нуль в точности тогда, когда (x0 /y 0 )0 = 0 (или (y 0 /x0 )0 = 0), т.е.

когда кривая оказывается отрезком прямойлинии.¥Доказанное объясняет название развертывающихся поверхностей – они развертываются на плоскость ссохранением длин (во всяком случае локально.)О линейчатых поверхностях. Параметризация всех трех типов развертывающихся поверхностей имеетодинаковый вид. Вообще, поверхности, покрытые однопараметрическим семейством прямых, очевидно, имеютпараметризацию такого же вида: r = ρ(u) + vm(u). Это так называемые линейчатые поверхности.

К ним,в частности, относится однополостный гиперболоид. Другим примером служит геликоид или спиральнаяповерхность (поверхность штопора или винтовой лестницы), поверхность, полученная вращением горизонтального луча, конец которого равномерно поднимается по вертикальной оси.Однако, развертывающиеся поверхности выделяются среди линейчатых тем, что для них совпадают касательные плоскости вдоль каждой прямой покрывающего семейства (и, значит, такая поверхность действительноявляется огибающей однопараметрического семейства плоскостей).Контрольный вопрос.

Чему равен определитель первой квадратичной формы поверхности касательныхс данным ребром возврата?Упражнение. Напишите метрику произвольной линейчатой поверхности, покажите, что развертывающиесяповерхности выделяются равенством нулю смешанного произведения (m, mu , ρ̇).Напишите, в частности, метрику геликоида.Упражнение. Какие поверхности являются одновременно и линейчатыми и поверхностями вращения?развертывающимися и поверхностями вращения?29Глава 12.

Вторая квадратичная форма. Главные кривизныОсновной вопрос – кривизна поверхности. Основным вопросом в локальной теории поверхностей являетсяискривленность поверхности, т.е. характер отличия ее от плоскости. Оказывается, ответ на этот вопрос разбивается на две части: внутренний, касающийся геометрии самой поверхности и выраженный в терминах ее метрики,т.е. первой квадратичной формы, и внешний, касающийся ее расположения в пространстве, которое задаетсяеще одной дифференциальной формой. Ею мы будем заниматься в этой главе.Выше в главе 9 мы говорили о форме фигур в пространстве как об относительном понятии, связанном свыбором группы преобразований пространства. При этом в качестве основной группы, связанной с формой,мы приняли группу движений аффиного пространства с метрикой “по Пифагору”.Однако такая точка зрения выражает не столько представление о форме самой фигуры, сколько о форме еерасположения в пространстве.

Различие между этими двумя точками зрения видно, например, при сравненииокружности и заузленной кривой в R 3 .Сейчас нас интересуют поверхности, лежащие в R 3 . Не обсуждая детально вопрос о форме, имеющий взначительной мере философский характер, мы примем, что “собственная” форма поверхности определяетсяизмерениями длин кривых, лежащих на ней, и углов между ними, а форма расположения – измерениямирасстояний между ее точками в R 3 . По Гауссу (которого привели к его геометрическим исследованиям занятиягеодезией – измерениями на земной поверхности) изучение “собственной” формы поверхности называется“внутренней геометрией”. Так как измерение длин, углов, площадей на поверхности выражается через первуюквадратичную форму, внутренняя геометрия поверхности совпадает с изучением первой квадратичной формы.Форма поверхности прежде всего связана, как сказано, с ее искривленностью.

Замечательное открытиеГаусса состояло в обнаружении характеристики кривизны, названной им мерой кривизны, которая выражается(довольно сложным образом) через коэффициенты первой квадратичной формы и, следовательно, не меняетсяпри перемещениях поверхности в пространстве с сохранением ее метрики и, в частности, с сохранением длинкривых (в малом). Теперь эту характеристику называют полной и также гауссовой кривизной.Например, для любой цилиндрической или конической поверхности, которые локально легко разворачиваютсяна плоскость без растяжений или сжатий, эта величина равняется нулю. Более того, мы видели, что любаяразвертывающаяся поверхность может быть отображена на плоскость (локально диффеоморфно) так, чтопервая квадратичная форма сохранится, т.е.

она та же, что у плоскости в надлежащей криволинейной системекоординат. В силу этого можно сразу сказать, что гауссова кривизна этой поверхности нулевая.Кривизна сферы во всех точках обратна квадрату ее радиуса и она не изометрична с плоской областьюдаже локально. (Кусок резинового мяча нельзя уложить на плоскость без растяжений.) Вообще, в точках, гдеповерхность выпукла, кривизна положительна. В седловых точках (как у гиперболического параболоида) онаотрицательна и это означает, что ни при каких изгибаниях поверхности, сохраняющих ее локальную метрику,нельзя добиться, чтобы окрестность такой точки стала выпуклой.Кривизна внутренняя и кривизна расположения.

Мы знаем, что коэффициенты первой квадратичнойформы выражаются через первые производные ее радиус-вектора. Оказывается, что изгиб, связанный с еерасположением в пространстве, выражается через вторые частные производные. (Например, изгиб цилиндра.)Это выражение получить легче, чем теорему Гаусса, и мы начинаем с его изучения, оставляя теорему Гауссадо следующей главы.A. Вторая квадратичная форма1.

Определение второй квадратичной формыВторой дифференциал. Начнем с разложения Тейлора радиус-вектора поверхности в специальной системекоординат. Пусть дана поверхность M ⊂ R 3 и точка в M . Совместим начало O с данной точкой и координатнуюплоскость стадартной координатной системы пространства с касательной плоскостью к M в этой точке. Тогдаповерхность станет графиком функции z = f (x, y), у которой значение в O и производные первого порядкаравны нулю, т.е.

разложение Тейлора начнется со второго дифференциала.О неинвариантности второго дифференциала. Сделаем теперь отступление о теореме анализа, утверждающей “неинвариантность второго дифференциала”. Ограничимся для простоты одной переменной. Принелинейной замене x = x(x̄) первый дифференциал функции f (x) инвариантен в следующем смысле: fx̄0 (x̄)dx̄ =fx0 · x0 (x̄) · dx̄ = fx0 dx, т.е. коэффициент линейной формы умножается на производную замены (матрицу Якоби!)и благодаря этому форма дифференциала сохраняется: производная функции умножается на дифференциалпеременной.

Второй дифференциал d2 f функции f (x), выраженный в новых координатах x̄, будет связан с еговыражением в старых координатах x формулой000000fx̄x̄(x(x̄0 ))dx̄2 = (fxx(x0 )x02 (x̄0 ) + fx0 (x0 )x00 (x̄0 ))dx̄2 = fxx(x0 )dx2 + fx0 (x0 )x00 (x̄0 )(x0 (x0 ))−2 dx2 ,которая включает первые производные функции f , вторые производные замены координат и первые производныеобратной замены. Здесь только первое слагаемое имеет “правильный” вид квадратичной формы преобразованной30по известному правилу с помощью матрицы Якоби. Таким образом, второй дифференциал не имеет независимогоправила замены в отличие от первого дифференциала. (Точнее говоря, правило его замены не такое, как уквадратичной формы, и оно включает в свое выражение вторые производные замены, а не только матрицуЯкоби.)Упражнение.

Запишите преобразование второго дифференциала функции в случае двух переменных.Если первый дифференциал функции равен нулю, то замена d2 f идет по обычному закону преобразованияквадратичной формы. Таким образом, в особой точке второй дифференциал является инвариантным, онпреобразуется как квадратичная форма с матрицей Якоби в качестве матрицы замены.В общем же случае определенное правило изменения имеет сумма первых двух дифференциалов, как ивообще многочлены Тейлора любого порядка.Задача.

Напишите правило преобразования многочлена Тейлора 2-го порядка, т.е. df + 21 d2 f .Обозначения Монжа. Мы будем дальше использовать принятые (со времен Гаспара Монжа, около 1800года) обозначения p, q, r, s, t частных производных функции f :p = fx , q = fy ,r = fxx , s = fxy , t = fyy .22dy+tdyТогда наша квадратичная форма имеет запись rdx +2sdx. В системе координат, в которой касательная2плоскость в данной точке принята за координатную, т.е. точка особая, эта форма выражает отклонение поверхностиграфика от касательной плоскости с точностью до бесконечно малых третьего порядка.