Чернавский А.В. - Кривые и поверхности

Часть третья.КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИА.В. ЧЕРНАВСКИЙ4 июня 2010 г.ОГЛАВЛЕНИЕГлава 10. Репер Френе и натуральные уравнения кривой в R n .......... стр.3A. Уравнения Френестр.31. Напоминание. Реперное поле вдоль кривой и его производнаястр.32. Флаг Френе в R nстр.33. Репер Френестр.44. Уравнения Френестр.45.

Кривизныстр.56. Геометрический и механический смысл кривизныстр.67. Плоский случай. Формулыстр.68. Трактрисастр.79. Эволюты и эвольвентыстр.710. Трехмерный случай. Формулыстр.811. Разложение Тейлора отклонения от плоскостистр.912. Вид кривой в сопровождающем трехгранникестр.9Б. Кривизны и форма кривойстр.101. Одинаковость фигур и группы преобразованийстр.102. Напоминание о cкалярном произведениистр.103. Линейные дифференциальные уравнения с кососимметрической матрицейстр.114.

Построение кривой по системе Френестр.125. Существование и единственность кривой с данным набором кривизнстр.13Глава 11. Метрика поверхности (первая квадратичная форма) ....... стр.14A. Длины, углы и площадистр.141. Риманова метрикастр.142. Поле скалярных произведений (метрика)стр.143. Терминологические замечаниястр.164. Метрика на многообразиистр.165.

Метрика и расстояниестр.176. Метрика и отображения7. Метрика подмногообразия Rстр.18nстр.188. Метрика на поверхности в R 3 .стр.199. Ортогональные системы координатстр.2110. Изотермические метрики и поверхности вращениястр.2211. Измерение площади поверхностистр.2212. Тождество Лагранжастр.241Б. Огибающие и развертывающиеся поверхности1. Уравнения в частных производных, огибающие и характеристики2. Уравнение огибающей3. Развертывающаяся поверхность как огибающая семейства плоскостей4.

Три типа развертывающихся поверхностей5. Параметризация и метрика развертывающихся поверхностейстр.25стр.25стр.25стр.26стр.27стр.28Глава 12. Вторая квадратичная форма. Кривизны поверхности ..... стр.30A. Вторая квадратичная форма1. Определение второй квадратичной формы2. Формулы3. Кривизна кривых на поверхности, имеющих данное направление4. Нормальная кривизна и теорема Менье5. Индикатриса Дюпена6.

Главные кривизны и формула Эйлера7. Сопряженность направлений в касательной плоскости8. Асимптотические направления и асимптотические кривые9. Линии кривизны10. Разворачивание кривойстр.30стр.30стр.32стр.32стр.33стр.33стр.34стр.34стр.35стр.36стр.36Б. Пара форм и полная кривизнастр.371.

Пара квадратичных формстр.372. Вычисление собственных чисел и векторов в данной координатной системе.стр.383. Вычисления в R 3 . Полная кривизна и средняя кривизнастр.384. Роль полной кривизны. Локальный анализ формы поверхностистр.385. Частные случаи. Развертывающиеся поверхности, минимальные поверхности и поверхностивращениястр.396. Сферическое отображение и полная кривизна как его якобиан.стр.407. Особые точки сферического отображениястр.41Глава 13.

Деривационные уравнения и теорема Гаусса ..................... стр.431.2.3.4.5.6.Метод подвижного репера.Символы Кристоффеля и дифференцирование векторных полей на поверхности.Теорема Гаусса. Первое доказательство.Теорема Гаусса в ортогональном репере.Метрика и ее кривизна.Две квадратичные формы поверхности и ее геометрическая форма.стр.43стр.44стр.47стр.47стр.49стр.49Глава 14. Параллельный перенос, геодезические и второе доказательствотеоремы Гаусса....................................................................................... стр.511.

Параллельный перенос.стр.512. Геодезические.стр.523. Полугеодезические координаты. Геодезические как кратчайшие.стр.544. Экспоненциальное отображение.стр.565. Метрика постоянной кривизны.стр.576. Модели и метрики плоскости Лобачевского.стр.587. Второе доказательство теоремы Гаусса.стр.618. Соотношение между интегральной кривизной области и параллельным обносом ее границы.Третье доказательство теоремы Гауссастр.629. Теорема Гаусса - Боннестр.63Добавление 1. Теорема о ранге.Добавление 2. Векторные поля и скобка ЛиДобавление 3.

Группа движений2стр.64стр.65стр.69Глава 10. Репер Френе и натуральные уравнения кривой в R nМы вернемся в этой главе к теории кривых в линейном пространстве с тем, чтобы сопоставить гладкойкривой в каждой точке “наиболее прилегающий” к этой кривой репер. Мы примем, что для какой-нибудь(и тогда для любой) регулярной параметризации первые n производных линейно независимы. (Если имеетсялинейная зависимость на целом интервале параметра, то это значит, что кривая лежит в некотором линейномподпространстве – глава 5 п.8 – и размерность объемлющего пространства можно уменьшить.) Главное понятие,которое мы изучим в этой главе – кривизна кривой.

Кривизна и ее высшие аналоги служат мерой отклонениякривой от прямой линии или плоскостей высших размерностей. Вместе они позволяют восстановить кривую сточностью до пространственного движения. Можно сказать, что набор кривизн определяет форму кривой (ноне ее положение в пространстве).A. Уравнения Френе1. Напоминание.

Реперное поле вдоль кривой и его производнаяМы по-прежнему рассматриваем в пространстве R n канонический репер, орты которого обозначаем ei . Втаком случае каждый репер в этом пространстве определяется начальной точкой и невырожденной матрицей.Канонические координаты векторов репера служат столбцами этой матрицы. Ортонормированным реперамотвечают ортогональные матрицы.Кривая реперов и кривая в группе матриц. Важное замечание состоит в том, что если дана параметризованнаякривая x(t) и реперное поле fi (t) вдоль этой кривой, то ему отвечает кривая в группе матриц, для ортонормированногорепера – в группе ортогональных матриц.

Обратно, параметризованная кривая в группе матриц порождаетреперное поле вдоль каждой (параметризованной тем же параметром) кривой. Это соответствие оказываетсявозможным благодаря существованию в R n параллельного переноса: по матрице мы можем построить репер,приложенный к началу O, и затем перенести его параллельно в точку кривой с данным параметром.Замечание. Если потребовать, чтобы первый вектор репера был вектором скорости кривой, то самакривая определится однозначно начальной точкой с помощью интегрирования этого вектора (как функцииот параметра).2.

Флаг Френе в R n .Флаг Френе. Итак, пусть дана гладкая кривая r(t), первые n производных которой линейно независимы вi(i)каждой точке интервала параметризации (t1 < t < t2 ). В силу этого условия производные ddtir = r (t), 1 ≤ i ≤ n,образуют при каждом значении параметра t репер, приложенный в точке r(t). Обозначим его R(t).Будем считать, что начало пространства совмещено с некоторой точкой кривой, которую будем обозначатьO, и ей отвечает начальное значение параметра t, для определенности t = 0. Мы имеем дело с регулярнойкривой и рассматриваем только регулярные параметризации.

Для двух таких параметризаций векторы скоростипропорциональны с ненулевым коэфициентом пропорциональности. Более того. По индукции доказывается, чтоесли для параметров t и q: dr(t(q))= c dr(t)(c = dt(q)), то для производных порядка k имеем:dqdtdq(k)(k)r (q) = ck r (t) + . . .

,где многоточие означает линейную комбинацию производных по t меньшего порядка.В частности, как мы знаем, прямая, несущая вектор скорости, не зависит от параметризации – это касательная.Направление остальных векторов-производных меняется при замене параметра. Однако, из приведенного выражениявытекает, что плоскость, содержащая первые k производных, не меняется при такой замене.(i)Определение. Пусть первые k производных r0 линейно независимы в точке r0 = r(t0 ) кривой. Плоскостьразмерности k, проведенная через точку кривой и содержащая эти производные (отложенные от точки r0 ),называется k-ой соприкасающейся плоскостью.Из того же выражения вытекает, что если производные линейно независимы при одном параметре, то онибудут такими и при любом другом параметре.

Ясно также, что k-ая соприкасающаяся плоскость содержитi-ую при i < k. Это вытекает из треугольного вида матрицы этого линейного выражения со степенями числаc 6= 0 на диагонали. Мы доказалиПредложение. Если в каждой точке кривой первые n производных радиус-вектора линейно независимы,то в каждой ее точке определена не зависящая от регулярной параметризации вложенная последовательностьсоприкасающихся плоскостей Pk всех размерностей k от 1 до n так, что производная порядка k от радиусвектора r при любой такой параметризации лежит в Pk . (“Вложенная” означает, что плоскости меньшейразмерности лежат в бо́льших.)¥Последовательность плоскостей, в которой следующая содержит предыдущую и имеет на единицу бо́льшуюразмерность, называют флагом.

В нашем случае:3Определение. Соприкасающимся флагом и также флагом Френе называется в случае линейной независимостипервых n производных радиус-вектора последовательность соприкасающихся плоскостей Pi .3. Репер Френе.Мы построим теперь, считая, что производные до порядка n линейно независимы, ортонормированныйрепер, который почти однозначно определен флагом.

Именно, для каждой пары соседних плоскостей флагаPk−1 и Pk возьмем орт, принадлежащий Pk и ортогональный Pk−1 . Имеется выбор из двух векторов. Мыуточним его позже, а выбранный вектор обозначим τ k .Определение. Построенный ортонормированный репер τ k , 1 ≤ k ≤ n, будем называть репером Френе.Первый вектор репера Френе есть вектор-скорости натуральной параметризации, второй – орт главнойнормали.

В трехмерном пространстве третий орт лежит на бинормали, его направление выбирают так, чтобырепер Френе получился положительно ориентированным. В более высоких размерностях выбор идет по другомупринципу, нужно, чтобы все кривизны, которые мы скоро определим, оказались положительными.4. Уравнения Френе.Первые k векторов репера Френе и первые k производных радиус-вектора кривой служат реперами в однойи той же k-мерной плоскости флага Френе и потому они линейно выражаются друг через друга.Замечание. Репер Френе получается из репера производных с помощью канонического процесса ортонормализации(с точностью до выбора направления ортов), и поэтому коэффициенты линейного выражения векторов одногоиз них через векторы другого аналитически зависят от исходных векторов, которые в свою очередь гладкозависят от параметра.

Значит и коэффициенты линейных выражений векторов репера Френе через производныебудут гладкими функциями параметра.Дифференцирование такого выражения даст линейное выражение производной вектора τ k через первыеk + 1 производных r и, тем самым, если k < n, через первые k + 1 векторов репера Френе. Так как мыпредположили, что первые n производных независимы, n + 1-ая производная выражается через предыдущие,и, значит, производная n-ого вектора τ n репера Френе также линейно выражается через векторы репера. Приэтом коэффициенты будут гладкими функциями параметра (с понижением, вообще говоря, класса гладкостина единицу).

е Итак, производная τ 0k при k < n линейно выражается через k +1 первых векторов репера Френе,а τ 0n имеет линейное выражение через все n векторов репера. Мы должны будем сейчас уточнить характерэтих выражений, принимая, что параметризация кривой натуральная.Определение. Выражения производных τ k (s) по натуральному параметру векторов τ k (s) в репере Френев точке r(s) составляют систему векторных линейных дифференциальных уравнений, которая называетсясистемой Френе, а ее матрица – матрицей Френе.Вид матрицы Френе.