Чернавский А.В. - Кривые и поверхности, страница 6

Перейдем теперь к нелинейным координатам, заданным, как обычно, в окрестностинекоторой точки A0 ∈ R n . Это значит, что нам дан диффеоморфизм ψ : W → U , где W, U – области в R n ,причем A0 ∈ U . Стандартные координаты точки x ∈ W мы принимаем за нелинейные координаты точкиy = ψx ∈ U .Мы должны научиться вычислять длину вектора и скалярное произведение двух векторов, пользуясьнелинейными координатами.Мы лишены теперь права пользоваться параллельными переносами, т.к. параллельный перенос в области Wне переводится дифференциалом ψ в параллельный перенос в области U .

Это значит, что если Ai = ψ (Bi ), i =1, 2, и векторы vi в точках Bi параллельны, то векторы dψ (vi ) = ui не обязательно параллельны. Поэтому мыне будем сейчас отождествлять векторы, приложенные к разным точкам, а рассмотрим скалярное произведениев каждой точке отдельно.Скалярное произведение в нелинейной координатной системе.

Пусть дана точка A в U и пусть ψB = A.Пусть даны векторы v1 , v2 , приложенные в B, которые отображаются дифференциалом диффеоморфизма ψв векторы u1 , u2 в A.Нас интересует, как выразится скалярное произведение векторов ui в нелинейной системе координат, т.е.через координаты vi . (Координаты векторов ui в нелинейной системе координат равны, по определению,координатам векторов vi в стандартной системе координат.) В матричной форме имеем: Jvi = ui , i = 1, 2, гдечерез J мы обозначаем для краткости матрицу Якоби (а не якобиан) в точке B, а ui , vi – столбцы координатсоответствующих векторов ui , vi .

Тогда (индекс T вверху означает транспонирование )(u1 , u2 ) = uT1 u2 = v1T J T Jv2 = v1T Gv2 .Значит, стандартное скалярное произведение векторов в точке A записывается в нелинейной системе координаткак квадратичная форма с матрицей G. Эта матрица имеет вид J T J, где J – невырожденная матрица, всилу чего G является симметричной, невырожденной и положительно определенной.

Первые два утвержденияочевидны, а третье следует из того, что выражение v T J T Jv = (Jv)T Jv есть стандартный скалярный квадратвектора u = Jv, не равного нулю, если v 6= 0.Таким образом, стандартное скалярное произведение векторов в A выглядит в нелинейной системе координат,как скалярное произведение с матрицей G = J T J.

Но эта матрица меняется от точки к точке.Замена координат. Разумеется, если мы перейдем к новой системе координат, эта матрица заменится наматрицу J1T GJ1 , где J1 – матрица Якоби диффеоморфизма замены. Мы имеем право использовать для записискалярного произведения в нелинейных координатах обычную запись билинейной формы, но с той поправкой,что теперь коэффициенты являются функциями от координат точки:(u, v) |A = gij (A)ui v j = gij (x1 , . . . , xn )ui v j .2. Поле скалярных произведений (метрика)В результате мы можем сказать, что получили полевой объект нового типа. Мы имели дело уже с векторнымии ковекторными полями. Теперь мы получили поле билинейных форм.

Напомним, что векторы в R n , приложенныев одной точке, образуют линейное пространство, которое можно рассматривать как касательное пространствок R n в этой точке.Поле билинейных форм — это функция, которая каждой точке ставит в соответствие билинейную формув касательном пространстве в этой точке. Как обычно, это поле считается гладким, если коэффициенты этихформ являются гладкими функциями в какой-нибудь (и тогда в любой) гладкой системе координат (например,в стандартной).

Пока мы рассматриваем такое поле только в точках некоторой области в R n . Но ясно, чтонетрудно перенести его на любое многообразие, что мы немного погодя и проделаем. Нас интересуют сейчассимметричные билинейные формы, они находятся во взаимно однозначном соответствии с квадратичнымиформами, и мы будем свободно заменять в нашем рассмотрении одни другими.Однако, чтобы рассматривать поле форм как отображение многообразия в многообразие, нужно определитьпространство-образ. Как множество это есть объединение пространств квадратичных форм на касательныхплоскостях во всех точках многообразия. Мы не готовы сейчас определить структуру гладкого многообразия наэтом объединении.

(Впрочем, это несложное упражнение для хорошего студента.) Для области W в эвклидовомпространстве R n это легко сделать – это просто прямое произведение W ×Q, где Q – пространство квадратичных14форм в линейном пространстве R n . Оно отождествляется (в канонических координатах) с пространствомсимметрических матриц. За канонические координаты в нем выбираются те элементы матрицы, которые2лежат на диагонали и выше ее.

Очевидно, Q линейное пространство размерности Cn2 + n = Cn+1, т.е. оно2Cn+1отождествляется с R.Итак, поле квадратичных форм в области W — это отображение W в многообразие W × Q, котороеточке A ∈ W ставит в соответствие точку (A, q) в этом прямом произведении, где q ∈ Q.Мы можем считать, что это есть естественное отображение наPграфик отображения W → Q. Во всякомслучае мы можем записать поле q квадратичных форм в W в видеqij (A) dxi dxj и считать его непрерывнымили гладким или аналитическим, если таковы все функции qij (A).Поле квадратичных форм на гладком многообразии. Для произвольного гладкого многообразия, как говорилось,мы не будем здесь определять “расслоения квадратичных форм” по аналогии с касательным расслоением, аиспользуем метод локальных представителей.

Именно,Определение. Полем q(A) квадратичных форм на гладком k-мерном многообразии M называется сопоставлениекаждой точке A ∈ M квадратичной формы q(A) на касательном пространстве τA (M ).Определение. Локальным представителем поля q в карте ϕ : W → U ⊂ M , W – область в R k , называетсяквадратичная форма q̃ в области W , значение которой на каждом векторе v ∈ Vx , x ∈ W , равно значению qна векторе dϕ|x (v) в касательной плоскости τϕ(x) (M ).Если даны две карты ϕi : Wi → Ui ⊂ M , i = 1, 2, с пересекающимися образами и координатным преобразованиемψ = ϕ−12 ϕ1 , то квадратичные формы на прообразах пересечения U1 ∩ U2 будут связаны соотношениемq̃2 |B2 (dψ|B1 v) = q̃1 |B1 (v),где ψ(B1 ) = B2 и ϕ1 (B1 ) = ϕ2 (B2 ) ∈ U1 ∩ U2 .Ясно, что если один локальный представитель является непрерывным или гладким (или аналитическим ит.п.) в окрестности данной точки, то таковым же будет и другой представитель, если только таким являетсякоординатное преобразование.

Поэтому мы можем дать такоеОпределение. Поле квадратичных форм на многообразии называется гладким класса гладкости p, еслитаковы его локальные представители в картах атласа, задающего гладкую структуру многообразия.При этом в окрестности каждой точки достаточно проверить условие гладкости для какой-нибудь однойкарты соответствующей гладкости.PОтметим еще раз: в локальной карте локальный представитель поля квадратичных форм имеет видqij (A) dxi dxj .Замечание.

Вместо педантичного “поле квадратичных форм”, говорят просто о квадратичной форме намногообразии.Определение гладкости поля билинейных форм аналогично. При этом гладкой квадратичной форме пообычному правилу взаимно однозначно отвечает гладкая симметрическая билинейная форма. Соответственно,можно говорить о гладком скалярном произведении и т.д.Важное замечание. Вопрос об интегрируемости поля скалярных произведений.

Даже оставаясь в пределахобласти в R n , можно поставить вопрос: всякое ли поле билинейных форм с обычными свойствами скалярногопроизведения (симметрия и положительная определенность) может быть получено указанным путем, т.е.получено из стандартного (“пифагорова”) скалярного произведения переходом к нелинейной системе координат.С аналогичной задачей мы встречались для векторных и ковекторных полей.Для векторных полей, нигде в данной области не обращающихся в нуль, имеется, как мы знаем, теорема олокальном выпрямлении, согласно которой в малой окрестности каждой точки такое поле может быть заменойкоординат приведено к виду координатного поля ∂x∂ 1 . Иными словами все такие (не обращающиеся в нуль)поля локально устроены одинаково.Это не так для ковекторных полей (пфаффовых форм или дифференциалов), для которых имеется известный∂aj∂aiкритерий ( ∂xj = ∂xi ) возможности локального приведения их к виду дифференциала некоторой функции df .∂fА если функция невырождена, т.е. хотя бы один коэффициент ai = ∂xi не обращается в нуль, то и к видуiкоординатного дифференциала dx .Другой пример дают реперные поля, относительно которых ставится вопрос, когда такое поле порождаетсялокальной картой, т.е.

является координатным. Критерием этого служит обращение в нуль всех попарныхскобок Ли векторных полей, составляющих реперное поле.Оказывается, для скалярного произведения дело обстоит так же, как для пфаффовых форм и реперныхполей. Существуют поля билинейных форм, служащих в каждой точке скалярным произведением, (т.е. симметричныхи положительно определенных), которые не могут быть изменением координатной системы в как угодно малойобласти приведены к стандартному (“пифагорову”) виду сразу во всех точках области.Имеется и критерий того, когда это может быть проделано, но он существенно сложнее и знакомство с нимв полной мере мы осуществим во втором томе.

В двумерном случае это сделано в главе 13.153. Терминологические замечания.Во-первых, мы в дальнейшем будем говорить, как это принято, о скалярном произведении как о квадратичнойформе, хотя правильнее говорить в этом случае “билинейная форма”. Это не имеет большого значения, т.к.квадратичная форма однозначно соответствует симметрической билинейной форме.Метрика. Во-вторых, поле gij (A)dxi dy j кратко называется метрикой по той причине, что с его помощьювычисляются длины векторов и также длины кривых, как мы скоро увидим.

(Не следует путать этот терминс метрикой метрического пространства.)Метрики. При этом термин метрика сохраняется за всякой симметрической и невырожденной формой,хотя и не обязательно положительно определенной. Иными словами, допускается ее обращение в нуль наненулевых векторах, лишь бы ее матрица была невырожденной.

Простым примером является квадратичнаяформа x2 − y 2 на плоскости.Римановы и псевдоримановы метрики.Определение. Метрика в строгом смысле слова, т.е. положительно определенная в каждой точке, называетсяримановой, а метрики неопределенные – псевдоримановыми.Впрочем, как правило, то, что мы будем говорить о римановых метриках, почти без изменения приложимои к псевдоримановым.4. Метрика на многообразииПервая наша задача заключается в перенесении наших построений на произвольные гладкие многообразия.Тут нет никаких трудностей.Определение.

Пусть дано многообразие M . Метрическим полем на M или просто метрикой в M назовемзадание метрики (скалярного произведения) gA (u, v) в касательном пространстве TA (M ) в каждой точке A ∈M.Если дана локальная карта, то она определяет каноническим образом линейную систему координат вкаждом касательном пространстве и тогда скалярное произведение получает координатную запись gij (A)dxi dy j .Мы предполагаем, что функции gij (A) являются непрерывно дифференцируемыми в картах данного атласаM.Метрика в многообразии называется также первой квадратичной формой. Это важнейший объект дифференциальнойгеометрии, она определяет, как мы увидим, внутреннюю геометрию многообразия, его собственную форму,которая не зависит от расположения его в пространстве.Римановы и псевдоримановы многообразия.

Введем важное понятие.Определение. Гладкое многообразие M называется римановым многообразием, если оно снабжено римановойметрикой g(x), т.е. положительно определенной квадратичной формой в каждом касательном пространстве скоэффициентами гладко зависящими от точки x ∈ M .Последнее означает, что в локальных координатах форма g записывается в виде gij (x)dxi dxj , где коэффициентыgij непрерывно дифференцируемы.

Классом гладкости метрики g называется минимум класса гладкости еекоэффициентов, где минимум берется по всем картам атласа для M и всем коэффициентам.Заменяя условие положительной определенности на условие невырожденности, т.е. считая, что на M заданапсевдориманова метрика, мы приходим к понятию псевдориманова многообразия.Метрика и длина векторов. Метрика – это задание скалярного произведения в каждом касательном пространствемногообразия. В частности, она позволяетизмерять длины касательных векторов и углы между ними сpпомощью известных формул: |w| = gij (A)wi wj , w ∈ τA M и_cos w1 w2 = qgij (A)w1i w2jqgij (A)w1i w1j gij (A)w2i w2jДлина кривых на многообразии. Теперь мы можем распространить определение длины кривой, данное вглаве 9 п.11 Rдля кривых в R n , на случай кривых в произвольном римановом многообразии. Мы исходимиз формулы|ṙ(t)| dt, где r(t) – вектор скорости параметризованной кривой.