Чернавский А.В. - Кривые и поверхности, страница 3

Такимобразом, k = 1/R.Упражнение. Написать выражение кривизны для кривой, заданной неявно с помощью уравнения F (x, y) =0 и также заданной графиком функции y = f (x), принимая t = x.8. Трактриса.Название этой кривой происходит от латинского слова, означающего “тащить”. Для нее отрезок касательнойот точки касания до оси абсцисс постоянен. (Представьте себе ребенка, который идет по тротуару и тащит наверевочке тележку, которая катится за ним по мостовой.)Пусть этот отрезок равен a.

Примем за параметр угол α между отрезком и осью абсцисс. Тогда ординатабудет y = a sin α. Сразу видно, что особая точка будет при α = π/2, когда отрезок ортгонален оси.Чтобы найти абсциссу точки приходится обратиться к интегрированию. Именно, dy = tg αdx и, значит,2αdx = a cosdα. Интеграл легко берется и мы получаем параметрическое представление нашей кривой:sin αxy==a (cos α + ln tg α2 )a sin α.Заметим, что постоянная интегрирования выбрана так, что x = 0 при α = π/2 и кривая симметричнаотносительно оси ординат (слева угол наклона касательной мняется от 0 до π/2, а справа от π/2 до π). Точкаx = 0 действительно особая: касательная в ней вертикальна.Действительно, ẋ|α= π2 = (− sin α + sin1 α )|α= π2 = 0 = ẏ|α= π2 и ẍ|α= π2 = 0, ÿ|α= π2 = −a.

(Знак минус связанс тем, что кривая меняет возрастание на убывание, хотя точка особая и этот “поворот” происходит черезостановку – первая производная обращается в нуль.)Интерес представляет геометрическое место центров кривизны трактрисы – ее эвольвента. Для этогонайдем ее кривизну, используя определение кривизны как скорости (по натуральному параметру) вращения2касательной.

Так как ds2 = dx2 + dy 2 = tga α dα2 , получаем1dαtg αy=k=== 2Rdsaa cos α(R – радиус кривизны). Но cosy α есть отрезок нормали до оси абсцисс. Обозначив его N , получим RN =a2 . Значит, отрезок касательной a есть среднее геометрическое между R и N . Так как выпуклость кривойнаправлена вниз (вторая производная, очевидно, положительна), мы получаем такое геометрическое построениецентра кривизны: это есть точка пересечения нормали и перпендикуляра к оси абсцисс в точке пересечения сэтой осью касательной к кривой (мы используем то, что высота в прямоугольном треугольнике есть среднеегеометрическое отрезков гипотенузы).Упражнения. Показать, что уравнение эволюты трактрисы есть y = ach xa – цепная линия.Найти координаты центра кривизны при данном значении параметра α.Показать, что радиус кривизны трактрисы R равен длине дуги цепной линии от особой точки до центракривизны.Показать, что цепная линия касается радиуса кривизны трактрисы в центре кривизны.(Эти свойства цепной линии означают, что она является эволютой трактрисы (см.

ниже).)9. Эволюты и эвольвентыУтверждение. Кривая ζ, образованная центрами кривизны данной кривой γ = r(s) (s – нормальныйпараметр γ), служит огибающей семейства нормалей γ, т.е. нормали к γ являются касательными к ζ.Радиусы кривизны γ равны длинам дуг от некоторой начальной точки до соответственной точки на ζ.Если кривая состоит из центров кривизны двух кривых, то расстяние между соответственными точкамиэтих кривых постоянноОпределение. Кривая ζ, состоящая из центров кривизны кривой γ, называется ее эволютой, а γ –эвольвентой кривой ζ.Доказательство. Напишем параметрическое задание кривой ζ: ρ(s) = r(s)+ k1 ν, беря за параметр натуральныйпараметр кривой γ.

Вектор скорости ρ˙ есть τ + ( k1 )˙ν − ( k1 )kτ = ( k1 )˙τ . Таким образом, вектор скоростинаправлен по нормали к γ в соответствующей точке.Возьмем теперь в качестве параметра s̄ натуральный параметр кривой ζ и запишем задание γ в этомпараметре: r(s̄) = ρ(s̄) − R(s̄)τ̄ (s̄), где R – радиус кривизны γ, а τ̄ – касательный орт ζ в соответственныхточках (направление τ̄ противоположно направлению к точке на γ). Тогда вектор скорости кривой γ естьr˙ = τ̄ − Ṙτ̄ − R(τ̄ )0 (τ̄ орт касательной кривой γ).

Согласно предыдущему, орты касательных двух кривых всоответственных точках ортогональны, и мы получаем: 0 = (r˙, τ̄ ) = 1 − Ṙ. Интегрирование дает: R = s̄0 + s̄.Если начальная точка s = 0 отвечает точке пересечения этих кривых, то получается, что радиус кривизныγ равен длине дуги ζ до соответственной точки.7С другой стороны из этой формулы следует, что расстояние между соответственными точками двух эвольвенттой же кривой постоянно.¥Упражнение.

Найдите кривизну цепной линии, используя то, что она является эволютой трактриссы.10. Трехмерный случай. ФормулыТрехгранник Френе кривой в R 3 . Три оси сопровождающего трехгранника кривой в R 3 это касательная(главная) нормаль и перпендикулярная им бинормаль. Орт бинормали обозначается β. Плоскость, содержащаякасательную и нормаль является соприкасающейся (см.

выше п.2). Две плоскости трехгранника, проходящиечерез бинормаль, – это нормальная плоскость (ортогональная касательной) и спрямляющая (содержащаякасательную). Смысл последнего названия станет ясен немного ниже.Кривизна и кручение. Два коэффициента в уравнениях Френе называются кривизной k = k1 и кручениемκ = k2 .Таким образом, система Френе в трехмерном случае выглядит так: 0τ=0+ k1 ν +0 ν 0 = −k1 τ +0+ κβ 0β =0− κν + 0.Кручение служит мерой отклонения кривой от соприкасающейся плоскости – если кручение нуль в целоминтервале, то в этом интервале кривая лежит в постоянной плоскости, как было показано выше в общем случае.Уравения координатных плоскостей трехгранника для произвольного параметра.Соприкасающаяся плоскость.

В п.13 главы 5 былообщем случае. В трехмерном случае мы можем записатьпроизведение [ṙ, r̈] и тогда уравнение соприкасающейся([ṙ, r̈], (ρ − r)) = 0 или:ξ−x(ṙ, r̈, (ρ − r)) =  ẋẍвыведено уравнение соприкасающейся плоскости внормальный вектор к этой плоскости как векторноеплоскости для кривой r(t) = (x(t), y(t), z(t)) будетη−yẏÿζ −zż  = 0.z̈(Греческие буквы обозначают координаты переменной точки на плоскости, а латинские – той точки на кривой,в которой взята соприкасающаяся плоскость.)Нормальная плоскость. Уравнение плоскости нормальной к вектору ṙ есть (ρ − r, ṙ) = 0, где ρ – радиусвектор точки на плоскости, а r – радиус-вектор точки кривой, в которой проведена плоскость.Спрямляющая плоскость.

Уравнение спрямляющей плоскости (она нормальна к главной нормали кривой)есть (ρ − r, ν) = 0. Чтобы выразить его в прозвольной параметризации кривой, заметим, что kṡ2 ν = r̈ − τ s̈ иṙs̈ = (r̈, τ ), и ν = k1ṡ2 (r̈ − (r̈, τ )τ ) = k1ṡ2 (r̈ − |ṙ|12 (r̈, ṙ)ṙ), (т.к. τ = |ṙ|). Таким образом, уравнение записывается втаком виде:(ρ − r, |ṙ|2 r̈ − (r̈, ṙ)ṙ) = 0.Формула кривизны.

Для вычисления кривизны остается справедливой формула, полученная выше для, но выражение в координатах получается более сложным:двумерного случая: k = |[|ṙ,r̈]|ṙ|3p(ẏz̈ − ż ÿ)2 + (ż ẍ − ẋz̈)2 + (ẋÿ − ẏẍ)2k=.3(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) 2Формула кручения. Чтобы получить формулу кручения, мы должны к выражениям двух первых производных,приведенных в предыдущем пункте, (r0 = ṙt0 , r00 = r̈(t0 )2 + ṙt00 ) добавить выражение третьей производной по...натуральному параметру через производные по произвольному параметру: r000 = r (t0 )3 + 3r̈t0 t00 + ṙt000 .Это выражение вместе с предыдущими нужно подставить в равенство(r0 , r00 , r000 ) = ([r0 , r00 ], r000 ) = (kβ, −k2 τ + k0 ν + kκβ) = k2 κ....Получится k2 κ = (ṙ, r̈, r )t06 . Учитывая, что t0 =1|ṙ|иk=|[ṙ,r̈]|,|ṙ|3имеем......(ṙ, r̈, r )(ṙ, r̈, r ).κ= 2 6 =k |ṙ||[ṙ, r̈]|2Упражнение.

Запишите это выражение в координатах.Упражнение. Выведите из этих выражений для трехмерного случая:– равенство нулю кривизны в интервале параметра влечет, что в этом интервале r̈ пропорционально ṙ (и,значит, кривая является отрезком прямой),– равенство нулю кручения в интервале параметра означает, что в этом интервале кривая плоская,8– при зеркальном отражении кручение меняет знак.(Мы условились в общем случае выбирать кривизны kp положительными. Это определяет репер Френе. Онможет задавать ориентацию пространства противоположную канонической.

Но в R 3 орт бинормали выбираюттак, чтобы ориентация репера Френе совпадала с заданной ориентацией пространства, при этом кручениеизменяет знак не только при изменении обхода, но и при зеркальном отражении. Это проще всего увидеть изформулы следующего пункта, выражающей отклонение кривой от соприкасающейся плоскости – при зеркальномотражении в этой плоскости направления как β, так и кривой не изменятся, а отклонение изменит знак.)Упражнение. Кривая с постоянными кривизной и кручением – винтовая линия, см. выше конец п.5 идальше п.

Б 5.11. Разложение Тейлора отклонения от плоскости.Пусть дана кривая с натуральным параметром r(s) в окрестности точки M0 = r0 = r(s0 ), s0 = 0. Расстояниеот кривой до плоскости, заданной нормальным уравнением (n, ρ − r0 ) = 0, равняется l = (n, r − r0 ). Знак lположителен, если точка кривой лежит с той стороны, в которую указывает нормальный вектор n.3Разложение l в ряд Тейлора получается подстановкой разложения r = r0 + r00 s + 12 r000 s2 + 61 r0000 s + ... (см.гл.5, п.3).