Чернавский А.В. - Кривые и поверхности, страница 7

Это выражение может бытьперенесено на произвольное риманово многообразие, т.к. длину вектора скорости мы можем вычислить спомощью первой квадратичной формы. Итак,Определение. Длиной дуги кривой x(t) ⊂ M от точки A1 = x(t1 ) до точки A2 = x(t2 ) называется интегралZA2 pA1gij(x(t))dxi dxj=Zt2 pt116gij (x(t))ẋi (t)ẋj (t) dtНезависимость от параметризаци доказывется в точности так же, как это было проделано для случаякривых в R n в п.11 главы 9.Определение. Углом между кривыми в точке их пересечения называется угол между их векторамискорости.Этот угол определяется через свой косинус, который определяется с помощью первой квадратичной формыпо стандартной приведенной выше формуле.Ясно, что это определение не зависит от параметризаций кривых, т.к. при замене параметризации векторскорости умножится на скаляр, а значение косинуса не изменится.Замечание.

Если первую квадратичную форму умножить на скалярную функцию, то значения косинусовтакже не изменятся, т.к. в формуле для косинуса произойдет сокращение.5. Метрика и расстояние.Как известно, словом метрика в топологии обозначают неотрицательную функцию от пары точек, котораясимметрична относительно перестановки аргументов, равна нулю, если и только если аргументы совпадают, иудовлетворяет аксиоме треугольника. С помощью такой функции измеряют расстояния.

Множество, в которомзадана метрика, называется метрическим пространством. Значение такой функции для пары точек называетсярасстоянием между этими точками.Метрика определяет топологию c помощью ε-окрестностей, служащих базисом топологии. Метрика в нынешнемновом смысле на многообразии позволяет определить функцию расстояния, т.е. метрику в топологическомсмысле.Расстояние в римановом многообразии. Пусть дана риманова метрика g(x) = gij (x)dxi dxj в многообразииM . За расстояние s(x, y) между точками M принимается максимальная нижняя грань длин кусочно гладкихкривых, соединяющих эти две точки. Такая грань существует, поскольку длины кривых неотрицательны иУпражнение.

Любые две точки в связном гладком многообразии можно соединить кусочно гладкойкривой конечной длины.Нетрудно показать и то, что такое расстояние равно нулю только для совпадающих точек. Докажем сначалалемму для областей евклидова пространства.Лемма. Пусть в области U ⊂ R n задано поле g(x) положительно определенных симметричных квадратичныхформ. Для каждой точки x0 ∈ U найдется окрестность U0 и положительное число c так, что ρ0 (x1 ) > c r0 (x1 )для всех x1 ∈ U0 , где r0 (x1 ) – стандартное расстояние между x0 и x1 в R n (т.е.

длина отрезка l = [x0 , x1 ]), аρ0 (x1 ) – максимальная нижняя грань длин (в смысле метрики g) гладких кривых, соединяющая x0 и x1 в U0 .Доказательство. В силу компактности сферы и положительной определенности g найдется c̄ > 0 так, чтоg(r) = gij (x0 )dxi dxj > c̄ 2 на единичных векторах r = (dxi ) в точке x0 . По непрерывности g, то же верно и дляединичных векторов во всех точках некоторой окрестности U0 точки x0 . Для вектора r = (dxi ) произвольнойдлины |r| в любой точке A этой окрестности тогда можно написать gA (r) = gij (A)dxi dxj > c̄ 2 |r|2 = c̄ 2 Σi (dxi )2 .Окрестность U0 можно взять шаровой.Пусть γ – произвольная гладкая кривая, соединяюшая x0 с x1 в U0 , ργ – длина γ и l = [x0 , x1 ] – прямолинейныйотрезок с концами x0 и x1 . ТогдаZ pZ pργ =gij dxi dxj > c̄(dxi )2 ≥ c̄ r0 (x1 ).¥γγПоскольку для любой кривой γ, соединяющей точки x0 и x1 , длина ργ > c̄ r0 (x1 ), мы получаем для точнойграни требуемое неравенство ρ0 (x1 ) > c r0 (x1 ), взяв c = 12 c̄.Следствие.

Расстояние между двумя различными точками риманова многообразия M строго больше нуля.Доказательство. Пусть даны точки x0 и x1 в M . Возьмем какую-нибудь карту ϕ : V → U ⊂ R n , x0 ∈ V .Пусть U1 ⊂ U – шар в R n с центром ϕ(x0 ) и V не содержит точки x1 . Любая кривая, соединяющая точку ϕ(x0 )с точкой вне U1 должна иметь дугу, соединяющую в U точку ϕ(x0 ) с точкой на границе U , и потому она имеетдлину (в смысле метрики в V , перенесенной в U ) больше, чем c r0 > 0, где r0 – радиус U1 .¥Введенная функция s(x, y) (равная наибольшей нижней грани длин кусочно гладких кривых, соединяющихx и y), очевидно, симметрична, неотрицательна и равна нулю, как мы показали, если и только если x = y. Онатакже удовлетворяет аксиоме треугольника.

В самом деле, сумма расстояний от точки z до точек x и y равна,очевидно, наибольшей нижней грани длин кусочно гладких кривых, соединяющих x и y и проходящих черезz. Она может только уменьшиться, если не нужно требовать, чтобы кривые содержали z.Итак, риманово многообразие является метрическим пространством. Риманова метрика однозначно определяетрасстояние между точками многообразия.17В дальнейшем мы будем говорить метрика только в смысле риманова метрика, а под расстоянием в Mбудем понимать расстояние, определенное в M с помощью его римановой метрики так, как это было описановыше.6.

Метрика и отображенияПосмотрим, как ведет себя метрика по отношению к отображениям многообразий.Напоминание о векторных и ковекторных полях. Вспомним, что если дано непрерывно дифференцируемоеFотображение M1 → M2 , то векторы из касательной плоскости в точке A первого многообразия переводятсядифференциалом этого отображения в касательную плоскость в точке F (A) второго многообразия. Мы виделив главе 7 (п.2), что, к сожалению, нельзя, вообще говоря, сказать, что при этом векторные поля на первоммногообразии переводятся в векторные поля на втором, т.к. в одну точку могут отобразиться две или большеточек и тогда в точке-образе появится несколько векторов, т.е. мы не получим векторного поля.Для ковекторных полей ситуация иная.

Мы должны в этом случае рассмотреть для точки F (A) = B ∈ M2кокасательную плоскость и ее отображение в кокасательную плоскость в точке A сопряженное дифференциалу.Это отображение вполне определено и мы по заданному ковектору в кокасательной плоскости к точке B ∈ M2получаем ковектор в каждой точке в прообразе B. Поэтому ковекторное поле в M2 определяет ковекторноеполе в M1 . Аналогично строится встречное отображение билинейных форм:FПредложение. По данному гладкому отображению M1 → M2 и полю q билинейных форм в M2 однозначностроится поле билинейных форм q̃ в M1 так, что q̃(u, v) = q(dF |A (u), dF |A(v)).

В этом случае говорят, чтоформа q̃ индуцирована формой q или, что она является прообразом q.Доказательство. Очевидно, указанное в формулировке предложения требование однозначно определяетбилинейную форму на τ |A (M ). Ее матрица J T GJ, где J – матрица Якоби F в A, а G – матрица q, дляфиксированных карт в окрестностях A и F (A). Класс гладкости q̃ равен минимуму классов гладкости q и F . ¥Случай скалярного произведения. Если в образе дано поле скалярных произведений, то в прообразе получитсяв каждой точке симметрическая билинейная форма, но она не обязательно будет положительно определена.Именно, она будет равна нулю на векторах, которые отображаются дифференциалом в нулевой вектор:Предложение.

Индуцированная скалярным произведением форма будет неотрицательно определеннойвсегда, а невырожденной, т.е. скалярным произведением, она будет, если и только если дифференциал имеетнулевое ядро. В частности, это будет так для диффеоморфизмов, вложений и погружений. Во всяком случаеразмерность многообразия-прообраза должна быть не больше размерности образа.¥Итак, если гладкое отображение в каждой точке имеет нулевое ядро дифференциала (т.е. является погружением,в частности, если это – диффеоморфизм), то метрическое поле в образе индуцирует метрическое поле впрообразе. В случае диффеоморфизма (в этом случае имеется обратное отображение) мы получаем, что инаоборот поле в прообразе индуцирует поле в образе.7. Метрика подмногообразия R nНаиболее важный для нас случай последнего результата это случай тождественного отображения подмногообразияM ⊂ R n в пространство R n , причем в R n берется стандартное скалярное произведение.

Рассмотрим формулуполучающейся в M метрики в трех стандартных случаях локального задания M .1-ый случай (параметрический). Пусть локальная карта в окрестности U точки A ∈ M задана отображениемF : W → R n , которое диффеоморфно отображает на U область W в R k .Обозначим стандартные координаты точек в R n через xi , а в R k через tα . Элементами матрицы Якоби∂xiслужат производные ∂tα . Пусть даны векторы v, u в касательной плоскости в точке A многообразия.

Обозначимих стандартные координаты в R n через ui и v i , а координаты в данной локальной карте (т.е. стандартные∂xi αкоординаты в R k их прообразов) через uα и v α (ui = ∂tα u ). Тогда для векторов v, u в касательной плоскостив точке A многообразия их стандартное скалярное произведение в R n будет записываться как(v, u) =nXi=1ui v i =nX∂xi α ∂xi βuv = gαβ uα v β ,αβ∂t∂ti=1где матрица получившейся формы G равна J T J, а J – матрица Якоби.(В данном случае нам приходится суммировать по повторяющимся верхним индексам, в отличие от обычнопринимаемого соглашения. Это соответствует транспонированию первой матрицы.)Заметим, что коэффициентами квадратичной формы оказались стандартные скалярные произведения в∂xiR n столбцов матрицы Якоби, т.е. векторов rα с координатами ∂tα:gαβ = (rα , rβ ).182-й случай (неявное задание).