Чернавский А.В. - Кривые и поверхности, страница 8

Пусть дано отображение F : U → R n−k , неособое во всех точках прообразаM точки C ∈ R n−k . Иными словами, нам дано неявное представление области k-мерного многообразия M ввиде системы уравненийFi (x1 . . . xn ) = ci .Дифференцируя каждое уравнение в каждой точке A ∈ M , получаем систему однородных линейных уравненийдля касательных векторов в этой точке:∂Fi jdx = 0.∂xjЭта система невырождена по условию на задание многообразия (F неособо в A) и мы можем выразить линейноn − k из этих дифференциалов через остальные.Допустим, последние дифференциалы выражаются через k первых.

Это значит, что в окрестности точкиA наше многообразие параметризуется проекцией на плоскость первых k координат. Чтобы в такой локальнойкарте в окрестности A выразить стандартное скалярное произведение пространства R n для векторов u =i(du(dv i ) из касательной плоскости многообразия M в точке A, нужно просто подставить в выражениеP ),i v =idu dv выражение последних координат через первые.3-ий случай.

Случай графика отображения из одной координатной плоскости в другую можно рассматриватькак частный случай предыдущего с тем добавлением, что сразу дана возможность параметризовать многообразиепроекцией в ту координатную плоскость, на которой задано отображение.8. Метрика на поверхности в R 3 .Рассмотрим двумерные поверхности в трехмерном пространстве. Этот случай для нас основной.Координаты на поверхности. Итак, нам дано двумерное многообразие M , расположенное в трехмерномпространстве R 3 . Мы вводим в окрестности U ⊂ M точки A0 локальную карту с координатами (u, v).

Мыбудем отождествлять точки M c их радиус-векторами r(u, v). Тогда в касательной плоскости τA в каждойточке A ∈ U мы имеем репер {ru , rv }.Метрика на поверхности. Коэффициентами метрики (или первой квадратичной формы), индуцированнойна M , служат, как мы видели, стандартные скалярные произведения этих векторов:E = (ru , ru ), F = (ru , rv ), G = (rv , rv ).Иными словами в данной локальной карте метрика имеет вид:ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 .Эта запись выражает скалярный квадрат вектора (du, dv) в касательной плоскости τA в координатах локальнойкарты. Значит, это – квадрат дифференциала дуги любой кривой, которая имеет этот вектор своим векторомскорости.Линейный элемент и длина дуги. Дифференциал дуги, лежащей на поверхности, т.е. дифференциал радиусвектора (в локальных координатах: dr = ru du+rv dv) называют также линейным элементом.

Так как |dr| = ds,скалярный квадрат dr2 есть ds2 . Так как локальные координаты в M это стандартные координаты в R 2 , мыможем вычислять длину дуги, лежащую в пределах одной карты в M , по формулеZ pZ pEdu2 + 2F dudv + Gdv 2 =E u̇2 + 2F u̇v̇ + Gv̇ 2 dt,где t – гладкая параметризация кривой в M .Случай неявного задания. Если поверхность задана неявно, уравнением F (x, y, z) = 0, то мы должныдопустить, что в некоторой локальной карте одна из частных производных F , скажем, ∂F= Fz отлична∂zот нуля. Тогда мы можем написатьFxFydz = − dx −dy.FzFzЗначит,FyFxdy)2ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = dx2 + dy 2 + ( dx +FzFzи коэффициенты нашей квадратичной формы имеют вид:E=а сама форма –ds2 =Fz2 + Fy2Fz2 + Fx2Fx F y,F=,G=,Fz2Fz2Fz2(Fz2 + Fy2 )dx2 + 2Fx Fy dx dy + (Fz2 + Fy2 )dy 2Fz219Случай графика.

Если поверхность задана графиком функции z = f (x, y), т.е. F = z − f (x, y), то Fz = 1 иE = 1 + fx2 , F = fx fy , G = 1 + fy2 ,или 1 + p2 , pq, 1 = q 2 , если использовать обозначения Монжа: fx = p, fy = q.Неравенства для коэффициентов. Поскольку первая квадратичная форма представляет собою скалярноепроизведение, она, конечно, является положительно определенной квадратичной (или билинейной) формой.

Извысшей алгебры известны критерии положительной определенности. В нашем случае они означают положительностьдиагональных элементов E и G и определителя EG − F 2 . Выполнение этих условий можно проверить инепосредственно. Для E и G это очевидно, поскольку они сами являются скалярными квадратами координатныхвекторов ru , rv . Что касается определителя, то он также оказывается скалярным квадратом, именно векторногопроизведения этих векторов. Это вытекает проще всего с помощью тождества Лагранжа=([ru , rv ], [ru , µrv ]) =(ru , ru )(ru , ru )(rv , rv ) − (ru , rv )2 =(ru , rv )(ru , rv )(rv , rv )¶,что есть EG − F 2 .Обе части равенства равны, как доказывается в аналитической геометрии, квадрату площади параллелограмма,построенного на векторах ru и rv , левая по школьному определению, а правая как квадрат определителядифференциала карты, рассматриваемого как линейное отображение координатной плоскости на касательную.Упражнение.

Докажите последнее утверждение. (Более общая формула доказана в п.12.)[Докажем последнее утверждение. Пусть в R 3 даны два вектора u и v. Дополним эту пару до репераR = {u, v, z} вектором z, единичной длины и ортогонального обоим векторам u и v, и построим линейноеотображение A : R 3 → R 3 , переводящее единичный репер R0 = {e1 , e2 , e3 } в репер R. Матрица (A) этогоотображения имеет столбцами координаты векторов репера R. Определитель этой матрицы равен смешанномупроизведению векторов u, v, z, т.е., объему параллелепипеда, построенного на векторах репера R и, значит,площади параллелограмма, построенного на векторах u и v, т.е.

|[u, v]|. В то же время, как нетрудно видеть,произведение этой матрицы на ее транспонированную есть матрица, полученная окаймлением матрицы Грама2F(т.е. нашей матрицы ( EF G )) единицей на диагонали и нулями. Ее определитель g равен EG − F .Итак, g есть квадрат длины или скалярный квадрат вектора [u, v].Контрольный вопрос. Покажите, что g равен сумме квадратов трех миноров матрицы координат векторовu и v.Задача. Обобщите доказанное утверждение: квадрат объема k-мерного параллелепипеда в R n равен определителюГрама для репера, состоящего из сторон этого параллелепипеда.]С определителем g = EG − F 2 = |[ru , rv ]|2 мы будем встречаться постоянно.Косинус угла между двумя векторами w1 = (u1 , v1 ), w2 = (u2 , v2 ) пишется по формуле, приведенной вышев общем виде:Eu1 u2 + F (u1 v2 + u2 v1 ) + Gv1 v2_pcos w1 w2 = p2Eu1 + 2F u1 v1 + Gv12 Eu22 + 2F u2 v2 + Gv22Формула для синуса и ортогональность координатных линий. Векторное произведение, как известно, помодулю равно площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, которая в свою очередьравна произведению их модулей на синус угла между ними (взятого в положительную сторону).

В таком случаемы получаем выражение для синуса угла θ между координатными линиями в данной точке:√EG − F 2√sin θ =.EGОтсюда сразу видно, например, что для ортогональности координатных линий в данной точке необходимои достаточно, чтобы средний коэффициент в первой квадратичной форме равнялся нулю. (Это, конечно, виднои из выражения для косинуса.)Выведем также выражение для синуса угла ϕ между любыми двумя векторами в касательной плоскости.Мы снова используем выражения для площади параллелограмма.Векторное произведение векторов u1 ru + v1 rv и u2 ru + v2 rv есть (u1 v2 − v1 u2 )[ru , rv ]. Значит,p|[u1 ru + v1 rv , u2 ru + v2 rv ]| = (u1 v2 − v1 u2 ) EG − F 2 .Таким образомsin ϕ = p√(u1 v2 − v1 u2 ) EG − F 2p.Eu21 + 2F u1 v1 + Gv12 Eu22 + 2F u2 v2 + Gv2220Контрольный вопрос.

Напишите выражение для тангенса угла между кривыми, пересекающимися вданной точке.9. Ортогональные системы координатЛокальная изометрия с плоскостью. Мы уже упомянули фундаментальный вопрос, можно ли при заданнойметрике найти локальную систему координат, в которой эта метрика выражалась бы так же, как стандартнаяметрика плоскости, т.е. чтобы средний коэффициент был бы тождественно нулевым, а крайние – единичными.Мы можем назвать поверхность в этом случае локально изометричной плоскости, т.к. в этом случае диффеоморфизмлокальной карты устанавливает соответствие области на поверхности и области на плоскости, при которомсоответствующие друг другу кривые будут иметь одинаковые длины.По внешности эта задача напоминает алгебраическую задачу приведения квадратичной формы к каноническомувиду с той разницей, что здесь коэффициенты зависят от точки поверхности.Однако, дело не только в этом.

Операция приведения имеет канонический характер и мы можем проводитьее одновременно во всех точках, сохраняя непрерывную дифференцируемость коэффициентов. Таким образомтакое приведение осуществить можно. Но оно не будет связано с введением новой системы координат! Мы вэтом случае действовали бы непосредственно в касательных пространствах, строя реперное поле, которое непорождалось бы локальной картой, не было бы координатным. Коэффициенты потеряют свой смысл скалярныхпроизведений координатных векторов.Мы увидим в главе 13, что эта задача разрешима далеко не для всякой метрики. К концу настоящейглавы мы опишем класс тех поверхностей, для которых это имеет место, но доказательство, что для другихповерхностей это не так, придется отложить до гл.13.Ортогональность координатных линий.

Между классом всех поверхностей и локально изометричныхплоскости имеются промежуточные классы. Прежде всего для любой поверхности можно устранить среднийкоэффициент. Мы видели, что для этого необходимо и достаточно, чтобы координатные кривые образовывалидва ортогональных друг другу семейства (т.е.

чтобы в каждой точке кривая одного семейства была бы ортогональнакривой другого.) Такие системы координат всегда существуют. Назовем их ортогональными.Построение ортогональной системы координат. Возьмем в любой системе координат одно из двух семействкоординатных кривых. В каждой точке возьмем вектор скорости проходящей через нее кривой этого семейства.Получим поле ненулевых векторов. В каждой точке возьмем единичный вектор ортогональный вектору полученного поля и образующий с ним положительный репер. Это также ненулевое поле, интегральные кривыекоторого будут ортогональны кривым исходного семейства и будут параметризованы натуральным параметром.Этим построено два ортогональных семейства кривых.