Чернавский А.В. - Кривые и поверхности, страница 13

Это выражение удобнои мы будем им дальше пользоваться в конкретных ситуациях. Однако, оно слишком приспособлено к “касательной”системе координат.В другой системе координат второй дифференциал перестанет быть квадратичной формой. Между тем,определив нашу форму в одной системе координат (касательной), мы можем определить ее в других системахпо правилу изменения коэффициентов квадратичной формы и тогда мы получим имеющую инвариантноезначение квадратичную форму, которая, как оказывается, дает вместе с метрикой полное описание характерарасположения поверхности в пространстве.

Поэтому мы заново определим ее более инвариантным (и болеегеометричным) образом.Инвариантное определение второй квадратичной формы. На поверхности M рассмотрим локальную параметризацию(u, v) в окрестности ее точки A и пусть r(s) – гладкая кривая в M , параметризованная длиной дуги (s = 0в точке A). Ее касательный орт в точке r(s) обозначим τ (s) = r0 (s). Рассмотрим вдоль этой кривой полеединичных векторов нормальных к поверхности: n(s), n(0) = n. При каждом s имеем: (τ (s), n(s)) = 0.Дифференцируя, получим: (kν, n) + (r0 , n0 ) = 0 (с помощью первой формулы Френе, k – кривизна, ν –0n0 ) ds2dn)орт главной нормали кривой); k(ν, n) = − (r , ds= − (dr,. Скалярное произведение единичных векторов2ds2равно косинусу угла между векторами. Обозначим угол между нормалью к поверхности и главной нормальюкривой в точке A через ϕ и заменим кривизну k на радиус кривизны R = 1/k.

Мы получаем(dr, dn)cos ϕ=−.Rds2(∗)В этой формуле dr = ru du + rv dv. Поскольку n(s) – поле единичных векторов, его производная емуортогональна и, значит, лежит в касательной плоскости в точке A. По правилу сложного дифференцированияn0 = nu du+ nv dv, значит, dn = n0 ds = nu du + nv dv.dsdsВ таком случае скалярное произведение представляет квадратичную форму в касательной плоскости:(dr, dn) = ((ru du + rv dv), (nu du + nv dv)) == (ru , nu )du2 + ((ru , nv ) + (rv , nu ))du dv + (rv , nv )dv 2 .В этой формуле (du, dv) – координаты произвольного касательного вектора поверхности в даной точке.Мы, таким образом, получили поле квадратичных форм на поверхности.

Заметим, что ее коэффициентамислужат функции, полученные из производных радиус-вектора и нормального вектора поверхности в даннойточке. Инвариантность этой формы следует из ее выражения скалярным произведением (dr, dn), посколькуоба первых дифференциала являются линейными формами и их коэффициенты при замене локальной картыизменяются с помощью матрицы Якоби замены.(На самом деле эти формы представляют собой тройки форм – по одной для каждой координаты, илиже – формы с векторными значениями, но после умножения мы получаем билинейную форму со скалярнымикоэффициентами, т.е. билинейную функцию от пары векторов в касательной плоскости.)В формуле (∗) в качестве (du, dv) мы взяли вектор касательный к данной кривой на поверхности. Обратимвнимание на то, что левая часть при этом зависит от кривизны кривой (от радиуса кривизны) и от направленияее главной нормали, а правая зависит только от направления касательной.Полученная форма, взятая с минусом, и есть требуемая вторая квадратичная форма, которую мы сейчаснесколько преобразуем и проинтерпретируем.312.

Формулы.Прежде всего заметим, что два слагаемых в среднем члене совпадают: оба они равны (ruv , n) = (rvu , n).Это вместе с другими соотношениями следует из дифференцирования тождеств(ru , n) = 0 = (rv , n),означающих, что вектор n ортогонален поверхности:(ruu , n) + (ru , nu )(rvu , n) + (rv , nu )= 0 = (ruv , n) + (ru , nv )= 0 = (rvv , n) + (rv , nv ).Из этого следует другое выражение 2-ой формы: (r̈, n) = ((ruu ü+2ruv u̇ v̇+rvv v̈), n). (Здесь дифференцированиеведется по параметру кривой.)Обозначим коэффициенты второй квадратичной формы через L, M и N и запишем ее как L(u, v)du2 +2M (u, v)du dv + N (u, v)dv 2 .Выразим коэффициенты, используя формулу √[ru ,rv ] 2 для орта нормали к поверхности:EG−FL= −(ru , nu ) =(ruu , n) =(ruu ,ru ,rv )M= −(ru , nv ) =−(rv , nu ) =(ruv , n) =(rvv , n) =(rvv ,ru ,rv )N= −(rv , nv ) =√√EG−F 2EG−F 2(ruv ,ru ,rv )√EG−F 2.Случай графика.

Если поверхность задана графиком функции z = f (x, y), то в введенных выше обозначенияхМонжа имеем прежде всего для коэффициентов первой формы: E = 1 + p2 , F = pq, G = 1 + q 2 и EG − F 2 =1 + p2 + q 2 .Коэффициенты второй формы получают тогда выражения:L= pr,1 + p2 + q 2M= ps,1 + p2 + q 2N= pt.1 + p2 + q 2Если точка (x, y) – особая точка функции f , т.е. касательная плоскость к графику в этой точке горизонтальна,то p = q = 0 и определитель EG − F 2 = 1.

Поэтому L = r, M = s, N = t, как и утверждалось в начале главы.Замечание. Коэффициенты второй квадратичной формы обозначают также bij – что удобно для обобщенияна многомерный случай. Сама форма приобретает вид bij dui duj .Удобно также обозначать первую форму римской цифрой I, а вторую II: (I=E du2 + 2F du dv + G dv 2 ; II =L du2 + 2M du dv + N dv 2 ), так что k cos ϕ = II.IУпражнение. Напишите коэффициенты второй квадратичной формы для неявного задания поверхностиуравнением F (x, y, z) = 0.[Ответ (в предположении, что Fz 6= 0):L=M=−Fz2 Fxx + 2Fx Fz Fxz − Fx2 FzzpFz2 Fx2 + Fy2 + Fz2−Fz2 Fxy + Fx Fz Fyz + Fy Fz Fxz − Fx Fy Fzzp2Fz2 Fx2 + Fy2 + Fz2N=−Fz2 Fyy + 2Fy Fz Fyz − Fy2 Fzzp]Fz2 Fx2 + Fy2 + Fz2Упражнение. Напишите вторую квадратичную форму развертывающейся поверхности с данным ребромвозврата.3.

Кривизна кривых на поверхности, имеющих данное направлениеТеперь вернемся к формуле для косинуса угла между нормалью к поверхности и главной нормалью ккривой на поверхности.IIL du2 + 2M du dv + N dv 2cos ϕ==.k cos ϕ =RIE du2 + 2F du dv + G dv 2Правая часть этого равенства содержит коэффициенты, которые являются функциями координат точки, икоординаты du, dv касательного вектора.

На самом деле правая часть зависит только от отношения этихкоординат, т.к. числитель и знаменатель являются однородными второй степени по паре du, dv. Это значит,что левая часть в каждой точке зависит только от направления касательного вектора, т.е.

от отношения dudvdv(или du). Отсюда вытекает:32Утверждение. Радиусы кривизны кривых, проведенных через данную точку на поверхности и имеющихобщую касательную и общую главную нормаль, совпадают в этой точке.¥Заданные касательная прямая и главная нормаль определяют единственную плоскость. Она являетсясоприкасающейся для всех кривых, проходящих по поверхности в данном направлении и имеющих даннуюглавную нормаль. Все они имеют одну и ту же кривизну в данной точке.Нормальные сечения. Среди плоских кривых с данным направлением касательной (“плоских сечений”)имеется ровно одна, главная нормаль которой совпадает с нормалью к поверхности. Все эти “нормальныесечения” получаются как пересечения поверхности нормальными плоскостями, т.е.

проходящими через нормальк поверхности. Для нормальных сечений косинус в нашей формуле равен ±1 и мы получаем важный результат:Кривизна нормального сечения в данной точке и для данного направления равна отношению значенийвторой и первой квадратичных форм в этой точке для данного направления.Замечание. Радиус положителен, но кривизна берется со знаком, совпадающим со знаком косинуса. Онзависит от ориентации поверхности, т.е. от направления ее нормали. Значит,знак нормальной кривизны совпадает со знаком второй формы.Отсюда же получается, что радиус кривизны любой (гладкой) кривой относится к радиусу кривизны Rnнормального сечения того же направления как косинус угла между главной нормалью кривой и нормалью кповерхности с точностью до знака.

Геометрически это означает, что центр кривизны данной кривой получаетсяиз центра кривизны нормального сечения проекцией на нормаль кривой. Этим доказанаТеорема Менье. Центры кривизны всех кривых данного направления в данной точке лежат на однойокружности в нормальной плоскости к этому направлению, имеющей в качестве диаметра радиус кривизнынормального сечения.¥Контрольный вопрос. Что есть геометрическое место концов векторов кривизны (r00 (s)) кривых данногонаправления в данной точке?Обратим внимание на то, что кривизна нормального сечения минимальна среди кривых с данным направлением.(А каков максимум? Рассмотрите поверхности z = x2 ± y 2 в начале.)Нормальная кривизна. Кривизна нормального сечения называется нормальной кривизной каждой кривойс данным направлением. Или, согласно сказанному:нормальная кривизна kn = kn (u, v, du, dv) данной кривой в данной точке равна длине проекции векторакривизны на нормаль поверхности в этой точке.Проекция вектора кривизны на касательную плоскость.