Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний, страница 3

Напряжение σ x ' x ' нормальное напряжение в направлении оси x' . Следовательно, для егоопределения можно воспользоваться полученной нами ранее формулой,определяющей нормальное напряжение в произвольной направлении черезнапряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках и направляющиекосинусы:σ n = σ ij ni n jВданномслучаеσn =σ x'x',nx = nx' x ,n y = n x' y ,n z = n x' z ,следовательноσ x ' x ' = σ ij nx ' i nx ' jТакое же выражение получаем и при непосредственной подстановкеj ' = x , i ' = x в общую формулу преобразования компонент напряжений.В развернутом виде компоненты σ j ' i ' , например для σ x ' y ' , выглядятследующим образом:12σ x ' y ' = nx ' i ⋅ n y ' j ⋅ σ ji = ∑∑ nx ' i ⋅ n y ' j ⋅ σ ji =ij= ∑ (nx ' i n y ' xσ xi + nx ' i n y ' yσ yi + nx ' i n y ' zσ zi ) =i= nx ' x n y ' xσ xx + nx ' y n y ' xσ xy + nx ' z n y ' xσ xz ++ nx ' x n y ' yσ yx + nx ' y n y ' yσ yy + nx ' z n y ' yσ yz ++ nx ' x n y ' zσ zx + nx ' y n y ' zσ xy + nx ' z n y ' zσ zzТаким образом, зная компоненты напряжений в трех взаимноперпендикулярных площадках, проходящих через точку, мы можем всегдаопределить компоненты напряжений в любой другой совокупности трехвзаимно перпендикулярных площадок, проходящих через ту же точку.Теперь дадим определение тензора второго ранга (или второйвалентности):Физическая величина, определяемая набором девяти компонентов aij ,которая при изменении системы координат преобразуется в наборкомпонентов ai ' j ' согласно формуле: ai ' j ' = α i ' j ⋅ α j ' i ⋅ aij , где α i ' j ,α j 'i направляющие косинусы новой системы координат в данной системекоординат называется тензором 2-го ранга.Сравниваяопределениетензораиполученнуюформулупреобразования компонент напряженного состояния при повороте осейкоординат можно сделать вывод, что напряженное состояние в точкеявляется тензорной величиной.Вследствие парности касательных напряжений σ ij = σ ji тензорнапряженийявляетсясимметричным,посколькукомпоненты,расположенные симметрично относительно его главной диагонали, равнымежду собой.Понятие тензора является обобщением понятий вектора и скаляра.Вектор определяется тремя скалярными величинами (проекциями вектора накоординатные оси) и является тензором первого ранга.

Скаляры являютсятензорами нулевого ранга.Еще раз запишем различные формы записи тензора напряжений⎛ σ x τ yx τ zx ⎞ ⎛ σ xx σ yx σ zx ⎞⎜⎟ ⎜⎟(1.10)Tσ = ⎜τ xy σ y τ zy ⎟ = ⎜ σ xy σ yy σ zy ⎟ = σ ij⎜⎜⎟⎟ ⎜⎜⎟⎟⎝ τ xz τ yz σ z ⎠ ⎝ σ xz σ yz σ zz ⎠1.7. Главные нормальные напряжения. Инварианты тензоранапряженийМы выяснили, что напряженное состояние в точке определяетсявеличиной напряжений, действующих на трех координатных площадках,проходящих через эту точку, и является тензорной величиной.13При произвольном выборе положения координатных осей на каждой изкоординатных площадок имеется нормальное и касательное напряжения.В курсе тензорного анализа доказывается, что при определенномповороте осей тензор второго ранга всегда может быть приведен кдиагональному виду.

Иными словами все компоненты тензора, находящиесявне главной диагонали будут равны нулю. Следовательно, и тензорнапряжений можно привести к диагональному виду. На главной диагоналитензора напряжений находятся нормальные напряжения, а вне ее –касательные. Это означает, что для любого напряженного состояниясуществует такая прямоугольная система координат, в координатныхплощадках которой действуют только нормальные напряжения, а всекасательные напряжения в этих площадках равны нулю. Координатные оситакой системы координат называются главными.

Площадки, параллельныекоординатным плоскостям такой системы называются главными площадками,а нормальные напряжения, действующие в главных площадках – главныминормальными напряжениями.Попробуем получить уравнения, выражающие напряжения в главныхплощадках через напряжения в координатных площадках произвольнойсистемы координат.Обратимся к Рис.

1.3. Предположим, что наклонная грань АВСпредставляет собой одну из главных площадок. Тогда на этой площадкедействует только нормальное напряжение σ. Иными словами p n = σ .Проекции этого напряжения на координатные оси равны произведениюдлины вектора на направляющие косинусы площадки:pi = σ ⋅ niПодставив эти выражения в соотношения для проекции полногонапряжения (1.6) σ n = pi ni , получим:σ x n x + τ yx n y + τ zx n z = σn x ; ⎫⎪⎪τ xy n x + σ y n y + τ zy n z = σn y ;⎬⎪τ xz n x + τ yz n y + σ z n z = σn z . ⎪⎭(σ x − σ )n x + τ yx n y + τ zx n z = 0; ⎫⎪⎪(1.11)τ xy n x + (σ y − σ )n y + τ zy n z = 0;⎬⎪τ xz n x + τ yz n y + (σ z − σ )n z = 0.

⎪⎭Полученная система уравнений является линейной однороднойотносительно направляющих косинусов ni (свободные члены равны нулю).Все направляющие косинусы не могут быть одновременно равны нулю( n x2 + n 2y + n z2 = 1 ).Для того чтобы система линейных однородных уравнений имелаотличные от 0 решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель,составленный из коэффициентов уравнений, равнялся 0:14σ x −στ yxτ zxσ y −στ zy = 0 ,∆ = τ xyτ xzτ yzσ z −σ(1.12)Развертывая определитель, получим:(σ x − σ ) σ y − σ (σ z − σ ) + τ yxτ zyτ xz + τ xyτ yzτ zx −(())− σ y − σ τ xzτ zx − (σ x − σ )τ zyτ yz − (σ z − σ )τ xyτ yx = 0произведя преобразования, придем к уравнениюσ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I 3 = 0 ,(1.13)где⎫⎪I1 (Tσ ) = σ x + σ y + σ z ;⎪⎪σ x τ yx σ x τ zx σ y τ zy⎪I 2 (Tσ ) =++=⎪τ xy σ y τ xz σ z τ yz σ z⎪⎪222= σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy − τ yz − τ xz ;⎬⎪σ x τ yx τ zx⎪⎪I 3 (Tσ ) = τ xy σ y τ zy =⎪τ xz τ yz σ z⎪⎪222 ⎪= σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ yτ xz − σ xτ yz − σ zτ xy .⎭(1.14)Это уравнение имеет три корня.

Доказано, что исходя из соотношенийкоэффициентов I1, I2, I3 они всегда будут действительными. Эти корни иявляются величинами главных напряжений, которые принято обозначать:σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , причем σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . Оси координат, определяющие площадкиглавных напряжений обозначают 1,2,3. Иногда для главных напряженийиспользуется запись σ 11 ,σ 22 ,σ 33 показывающая, что напряжение действует вплощадке, нормаль к которой направлена вдоль оси 1 и само напряжениетакже направлено вдоль этой оси. При сравнении напряжений их следуетбрать с учетом знака, т.е.

если корни уравнения имеют значения 0, -40, -10, тоσ 1 = 0,σ 2 = −10,σ 3 = −40 .В тензорном анализе доказывается, что значения коэффициентовхарактеристического уравнения тензора 2-го ранга не изменяются приповороте системы координат (инвариантны к преобразованию координат).Для тензора напряжений это физически означает, что главные напряженияпри данном напряженном состоянии имеют единственное значение.Коэффициенты I1, I2, I3 поэтому называют инвариантами тензоранапряжений. Первый инвариант – линейный, второй – квадратичный итретий – кубический. В главных осях они будут иметь вид15I1 (Tσ ) = σ 1 + σ 2 + σ 3 ;I 2 (Tσ ) = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1;I 3 (Tσ ) = σ 1σ 2σ 3 .В главных осях тензор напряжений приводится к виду:0 ⎞⎛σ 1 0⎟⎜Tσ = ⎜ 0 σ 2 0 ⎟⎜00 σ 3 ⎟⎠⎝Инварианты тензора напряжений имеют важное значение.

Так,например, если записаны два тензора, то, пользуясь инвариантами, можноопределить, выражают они одно напряженное состояние, или разные.Приведем тензорную запись первых двух инвариантов:I1 (Tσ ) = σ ii = ∑ σ ii = σ xx + σ yy + σ zz = σ x + σ y + σ z[(i = x, y , z) ()]1(σ ii )2 − σ ijσ ij22(σ ii ) = ∑ (σ ii )2 = σ xx + σ yy + σ zz 2 =I 2 (Tσ ) =i = x, y , z()()∑ (σ ijσ ij ) = ∑ (σ ixσ ix + σ iyσ iy + σ izσ iz ) =22= σ xx+ σ 2yy + σ zz+ 2 σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zzσ xxσ ijσ ij =∑i = x, y , z j = x, y , zi = x, y , z= σ xxσ xx + σ yxσ yx + σ zxσ zx ++σ xyσ xy + σ yyσ yy + σ zyσ zy ++σ xzσ xz + σ yzσ yz + σ zzσ zz =(22222= σ xx+ σ 2yy + σ zz+ 2 σ xy+ σ yz+ σ zx)Следовательно:122(σ ii )2 − σ ijσ ij = σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zzσ xx − σ xy− σ 2yz − σ zx=2[]22= σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy− τ 2yz − τ zxЧто и требовалось доказать.1.8.

Элипсоид напряженийВернемся к рассмотрению напряжений в наклонной площадке. Однакорасположим эту площадку не в произвольной, а в главной системекоординат.Тогда проекции полного напряжения (компоненты) в наклоннойплощадке в проекции на главные оси будет иметь вид ( pi = σ ji n j ):16p1 = σ 1n1; p2 = σ 2 n2 ; p3 = σ 3 n3Выразив направляющие косинусы из уравнений для компонентполного напряжения по осям координат, и учтя, что сумма квадратовнаправляющих косинусов равна единице, получим:p12σ 12+p22σ 22+p32σ 32=1(1.15)3σ3p3p1p1σ2σ1p22Рис.

1.6. Эллипсоид напряженийЗначения главных напряжений для каждого напряженного состоянияявляются постоянными. В этом случае полученное уравнение являетсяуравнением трехосного эллипсоида, полуоси которого представляют собойглавные напряжения в данной точке.Поверхность эллипсоида – геометрическое мест точек, котороеописывает конец вектора полного напряжения pn при произвольномположении наклонной площадки, если начало вектора находится в началекоординат. Иными словами длина радиус-вектора любой точки поверхностипредставляет собой значение полного напряжения в наклонной площадке.Этот эллипсоид носит название эллипсоида напряжений или эллипсоидаЛаме и дает геометрическую интерпретацию тензора напряжений.Из анализа эллипсоида напряжений следует важный вывод:абсолютное значение вектора полного напряжения в любой площадке неможет быть больше максимального и меньше минимального главногонапряжения.Если все три главных напряжения равны между собой и одинаковы познаку, то эллипсоид превращается в шар, и любые три взаимноперпендикулярные оси становятся главными.

В этом случае во всехплощадках действуют одинаковые равные между собой нормальныенапряжения σ, а касательные напряжения отсутствуют. Иначе говоря, точканаходится в состоянии всестороннего растяжения, или всестороннего сжатия.17Тензор напряжений для такого напряженного состояния носит названиешарового тензора и имеет следующий вид:⎛σ 0 0 ⎞⎜⎟Tσ0 = ⎜ 0 σ 0 ⎟⎜0 0 σ⎟⎝⎠Если одно из главных напряжений равно нулю, то эллипсоидпревращается в эллипс и объемное напряженное состояние становитсяплоским.Если два главных напряжения равны нулю, то эллипсоид превращаетсяв отрезок прямой линии, что соответствует одноосному напряженномусостоянию.1.9. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор идевиаторЛюбой тензор может быть представлен в виде суммы двух тензоров.Воспользуемся этим свойством и представим тензор напряжений в видесуммы двух тензоров, один из которых является шаровым тензором, авторой – девиатором напряжений:Tσ = Tσ0 + Dσ ,Шаровой тензор:00 ⎞⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛⎜ σ ср⎟⎜⎟0 ⎟,Tσ0 = σ ср E = σ ср ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 σ ср(1.16)⎟⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 00 σ ср ⎠⎝⎠ ⎝Здесь Е – единичный тензорВеличина, равная 1/3 первого (главного, линейного) инвариантатензора напряжений1:σ x + σ y + σ z σ1 + σ 2 + σ 3 1I (T )σ ср === σ ii ≡ 1 σ(1.17)3333носит название среднего нормального напряжения, а величинаp = −σ ср - гидростатическим давлением.Второй тензор носит название девиатора и имеет вид:⎛ σ x − σ срτ yxτ zx ⎞ ⎛ s xx s yx s zx ⎞⎟⎟ ⎜⎜Dσ = ⎜ τ xyσ y − σ срτ zy ⎟ = ⎜ s xy s yy s zy ⎟ ,⎜τ yzσ z − σ ср ⎟⎠ ⎜⎝ s xz s yz s zz ⎟⎠⎝ τ xz(1.18)В сокращенном виде компоненты девиатора могут быть представленыв следующем виде:(1.19)sij = σ ij − δ ijσ ср ,1В зарубежной литературе среднее напряжение часто обозначают σ m18где⎧1, если i = jсимвол Кронекера⎩0, если i ≠ jКак уже было показано, шаровой тензор представляет собойнапряженное состояние всестороннего растяжения или сжатия (взависимости от знака σ cp ).