Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний

Московский государственный технический университетим. Н.Э.БауманаКафедра «Технологии обработки давлением»Власов А.В.Основы теории напряженного и деформированного состоянийУчебное пособие по курсу лекций«Теория обработки металлов давлением»в 5 семестре для студентов специальности 150201Москва 2006 г.Оглавление1. Теория напряженного состояния .................................................................... 31.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.1.8.1.9.1.10.1.11.1.12.1.13.1.14.1.15.Основные гипотезы механики сплошных сред ............................................... 3Внешние силы и напряжения ............................................................................

4Напряжения в координатных площадках. Индексация. Правило знаков ..... 5Напряженное состояние в точке ....................................................................... 7Закон парности касательных напряжений ....................................................... 9Тензор напряжений........................................................................................... 10Главные нормальные напряжения.

Инварианты тензора напряжений ....... 13Элипсоид напряжений...................................................................................... 16Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор................ 18Максимальные касательные напряжения....................................................... 20Октаэдрические напряжения ...........................................................................

23Интенсивность напряжений ............................................................................ 25Диаграммы напряжений Мора ........................................................................ 26Дифференциальные уравнения равновесия (движения)............................... 34Дифференциальные уравнения равновесия для осесимметричногонапряженного состояния ................................................................................. 361.16.

Плоское деформированное и плоское напряженное состояния .................. 391.17. Приближенные уравнения равновесия в анализе формоизменяющихопераций листовой штамповки....................................................................... 442. Теория деформированного состояния.......................................................... 492.1.2.2.2.3.2.4.2.5.Описание движения сплошной среды. Переменные Эйлера и Лагранжа.

. 49Понятие деформации, виды деформации....................................................... 51Компоненты перемещений и малых деформаций......................................... 52Тензор деформаций. .........................................................................................

58Интенсивность деформаций, максимальные сдвиговые и октаэдрическиедеформации....................................................................................................... 602.6. Истинные деформации. Приращения деформаций....................................... 622.7. Закон постоянства объема при пластической деформации..........................

652.8. Условие совместности деформаций. .............................................................. 662.9. Скорости деформации и скорости деформирования .................................... 672.10. Схемы напряженного и деформированного состояний. Механическаясхема деформации............................................................................................ 702.11.

Зависимости между напряжениями и деформациями в упругой области.Обобщенный закон Гука ................................................................................. 752.12. Экспериментальное определение напряжений по результатамтензометрирования........................................................................................... 77Предметный указатель..........................................................................................

8221. Теория напряженного состояния1.1. Основные гипотезы механики сплошных средСовременная теория обработки металлов давлением основывается нафундаментальной науке – механике сплошных сред. В механике сплошныхсред устанавливаются уравнения, характеризующие кинематическиехарактеристики (т.е. деформированное состояние) и силовые характеристики(напряженное состояние) деформируемого тела, а также уравнениявзаимосвязи между напряженным и деформированным состоянием (теорииупругости и пластичности). Т.о.

теория напряженного состояния, теориядеформированного состояния и теория пластичности являются разделамимеханики сплошных сред.Основными гипотезами этой фундаментальной науки являютсяследующие:Гипотеза сплошности тела;Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии;Гипотеза изотропности свойств материала;Гипотеза однородности свойств материалаИзвестно, что металлы представляют собой совокупность атомов,упорядоченно расположенных в кристаллической решетке – т.е.

имеютдискретное строение. Атомы воздействуют друг на друга силами, неподчиняющимися законам классической механики. Вполне обоснованныммог бы являться подход, основанный на анализе этих сил – т.е. нарассмотрении законов взаимодействия атомов. Однако это очень сложныйпуть и на современном этапе развития науки и техники он пока не достижим.Действительно, в 1 см3 металла, находящегося в твердом состояниисодержится более 1020 атомов.

Для описания взаимодействия их между собой(а необходимо написать уравнения, связывающие каждый атом с каждым)необходимо огромное число уравнений, с решением которых не справитсялюбая, даже суперЭВМ. Кроме того, как вы знаете из курсаматериаловедения механизм пластической деформации это процессдислокационный. Он определяется возникновением и движениемнесовершенств кристаллической решетки материала – т.н.

дислокаций.Математическое описание движения и возникновения дислокаций донастоящего момента не получило строгого экспериментальногоподтверждения.С другой стороны с практической точки зрения важно не поведениеотдельных атомов, а всего тела в целом. Это позволяет строить теорию не наатомном, а на макроскопическом уровне. Для этого вводится гипотезасплошности: объем, занимаемый телом, непрерывно заполнен материей.Бесконечно малый объем материала называют материальной частицей3Экспериментальная проверка гипотезы сплошности показывает еедостаточную точность для практических расчетов. Еще одним несомненнымдостоинством этой гипотезы является то, что для сплошной средыприменима классическая механика, а также аппарат дифференциального иинтегрального исчисления.В процессе нагружения внешними силами материальные частицымогут менять свое положение.

Материальная среда считаетсядеформируемой, если в процессе движения материальных частиц изменяютсярасстояния между ними. В теории сплошных сред полагают, что движениематериальных частиц под действием внешних сил непрерывно. Сматематической точки зрения это означает, что все величины, определяющиедеформируемую среду, являются непрерывными функциями координат.Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии предполагаетотсутствие напряжений в теле до приложения нагрузок. В действительноститакие напряжения существуют. Это могут быть остаточные напряжения,связанные с неоднородностью пластической деформации на предыдущихэтапах технологического процесса, литейные напряжения, возникающие впроцессе неравномерной кристаллизации материала и др. Использованиеэтой гипотезы, во-первых, связано с неопределенностью в общем случаетаких напряжений, а во-вторых, с необходимостью определения напряжений,вызванными конкретной внешней нагрузкой.В механике сплошных сред обычно считают, что тело однородно иизотропно.

Первое означает, что механические характеристики материаланеизменны в рассматриваемой области, а второе – равенство свойствматериала в любом направлении. Неоднородность материала физическиможет быть связана, например, с различными посторонними включениями.Примером не изотропного материала является металлический лист,полученный прокаткой. В направлении прокатки его характеристикисущественно отличаются от свойств в направлении перпендикулярномпрокатке. Физически это связано с появлением текстуры деформации.1.2. Внешние силы и напряженияНапряженное состояние – это состояние тела, вызванное действиемвнешних сил.

Внешние силы бывают двух основных видов: поверхностные иобъемные.Поверхностные силы приложены к поверхности тела. К объемным(массовым) силам относятся силы, действующие на все материальные точкитела и пропорциональные их массам.Изкурса«Сопротивлениематериалов»известнопонятие«напряжение». Для определения вектора полного напряжения в некоторойплощадке, проходящей через материальную точку М тела, последнеемысленно разделяется сечением, проходящим через точку М на две части (Рис. 1.1).