Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций, страница 2

Нормальные напряжения а,, о, связаны с соответствующими деформациями законом Гука (с учетом пренебрежения а,) Подставив найденные выше выражения деформаций (1.3) и (1 А), получим (1.5) о,=,, ( —,+ц — „)г. Е д дб и изгибающий момент Т М,= ~ о1гЩ В радиальном сеченш возникает лишь изгибающий момент интенсивности 6 2 Мг= Подставив в полученные выше формулы для М, и М., выражения (1.5) и выполнив интегрирование по толщине пластины, найдем связь моментов с углом поворота нормали д: М,=0( — „+ ц — ); (1.6) М,=й( — +р "~ ), где  — цилиндрическая жесткость: Е1' В= иа) ' (1.7) Поскольку принята гипотеза Кирхгоффа, и сдвиги, соответствующие касательным напряжениям т, не учитываются, эти напряжения нельзя связать с перемещениями с помощью закона Гука. Определим моменты и силы в окружном и радиальном сечениях пластины, отнесенные к единице длины сечения срединной плоскости.

В окружном сечении (см. рис. 1.3, а, б) на единицу длины сечения срединной плоскости приходятся поперечная сила Нормальные напряжения о, и о., (см. формулы (1.5)1 можно теперь выразить через изгибающие моменты: 12М~ 01 = — 'г' аа (1.8) 12М, о = — 'г. 2 аа Максимальные (по абсолютной величине) напряжения возникают вблизи внешних поверхностей пластины ~г = 2 )' йМ п1 ааааа = 1 аа 1 1т! и (1.9) 6Ма — „, ° 1т1и Знак плюс в этих формулах соответствует точкам г= —, й а минус — точкам г = — —. 2 Рассмотрим равновесие элемента пластины, ограниченного двумя парами радиальных и окружных сечений.

Так как вну- тренние силы приведены к срединной плоскости, достаточно рассматривать соответствующий элемент срединной плоскости (рис. 1.4„а). Кроме показанных на рисунке внутренних сил, к элементу приложена внешняя распределенная нагрузка О (г). Эта на- ЕДи+ФЯ ~16У грузка считается положительной, если она направлена в сторону положительных значений г и, следовательно, положительных прогибов ы. Составим сумму момен- ' ~ .' '5"' тов всех сил, приложенных к элементу, относиЦт ~я тельно касательной к ок- ~ а) Гм1у'+ ружности. На рис. 1.4, б ЦиФуаг' моменты показаны в виде векторов. После приведения подобных членов и сокращения на ф й~ получим д М,и'~. — (Л4,г) — М, — Яг = О.

д 1"1,ГО~ ФИ1а'У (1.10) Рва. 1.4 13 — (Яг) + О (г) г = О. (1;1 1) Проинтегрировав уравнение (1.11), получим Я = — ~С вЂ” ) О (г) г дг]. (1.!2) Нетрудно видеть, что уравнение (1.12) представляет собой условие равновесия конечной части пластины, ограниченнпй цилиндрическим сечением радиуса г.

Составляя сумму проекций на ось симметрии пластины сил, приложенных к этой ее части (рис. 1.5), найдем 2пЯ вЂ” 2ги"Да + ~ д (г) 2лг й' = О, откуда Г Я,2п~, — 2п1 д (г)г иг~ Гв (1.12а) ' Равенство (1.12а) отличается от равенства (1.12) только расшифровкой постоянной интегрирования. Величина Е (г) =2л) о(г) гпг — Я,юг, представляет собой суммарную внешнюю нагрузку, которая действует иа часть пластины, ограниченную сечением радиуса г. 'Эта величина является и зв е с т н о й функцией радиуса, а поперечная сила связана с ией [см, уравнение (1.12а)3 соотношением Полученные выше уравнения составляют основу расчета пластин. Рис.

1.а 14 Внешняя нагрузка на элемент в уравнение моментов не входит, так как соответствующее слагаемое имеет более высокий порядок малости. Рассмотрим также сумму проекций на нормаль к срединной плоскости пластины сил, приложенных к элементу, изображенному на рис. 1.4. Соответствующее уравнение после сокращения на дгрдг имеет вид Рис. 1.7 Ь При г= —— 2 дЬ л дрдг+ат( л тдт — =О, ~ а=в 2 г= 2 откуда 1 66 т1 л= — — — от л ° 2 пг 2 2 (!.16) Аналогично Интегрируя (1.15) с учетом условия (1.16), получим г 1 дЬ т= — — — о,1 л + — ~ ~а, — — (га,)~ дг.

~г= — —, "л Подставим в ато уравнение значения 12Мх д ' 12 д 36 дЬ ат —— — ' г — (га ) = — — (гМх) г — — гМ вЂ” г Ьь ' д Ь~ дт 64 1 Дг 12Мг аз Ьа и выполним интегрирование; тогда ЗМ дЬ 1 Гд д61 б 76а т =* — х — + — ~ — (гМ!) — Ма — ЗМт — — 1! — ~ — — гг ) 6 дг г ~ дг 6 дг ) Ьа ~ 4 илн с учетом уравнения равновесия (1.10) 6 ' ные условия при г= — —. Для пластины переменной толщины эти условия 2' получакп(ся из уравнений равновесия клиновидных злементоа, прилежащих к поверхностям пластины (рис. 1.7). где Ь„га, и — постоянные.

В общем случае изменения толщины пластины целесообразно использовать числовые методы расчета, рассмотренные в ~ 4. ~ 2. Изгиб пластин постоянной толщины Для пластины постоянной толщины цилиндрическая жесткость также постоянна, и дифференциальное уравнение (1.14) имеет вид Рд 1 И 1 Р (г) — + — — — — б = — —, й'а г дг га 2пгР ' (1.18) Общим решением уравнения (1.18) является выражение д да+ С1г+ С, (1.19) где б, — частное решение неоднородного уравнения (1.18), а С ~и Са — постоянные интегрирования.

Частное решение может быть найдено различными методами. Удобнее всего определить его, представляя левую часть уравнения (1.18) в виде следующего дифференциального оператора: сГав 1 ЛЕ 1 д Г 1 —.ь — — -х-~е — ! — — (~М1. Йга г дг г Ф ~ г йг Следовательно, уравнение (1.18) может быть представлено в виде Проинтегрировав это уравнение дважды, получим частное решение г 1 1 2пР г Я~ г к 1г(о — ] а, й', (1.20) где нижние пределы интегралов (а, и аа) могут быть выбраны наиболее удобным способом, так как их изменение приводит только к изменению постоянных С, и С, в общем решении (1.19).

Первое слагаемое в этом уравнении определяет распределение касательпых напряжений в пластине постоянной толщины, а второе соответствует дополнительным, самоуравновешепным напряжениям, воаннкагощнм вследствие переменной толщины пластины. Выбор рационального способа решения дифференциального ' уравнения (1.14) зависит от закона изменения толщины пластины, Для пластин постоянной толщины можно получить простое аналитическое решение (см. $ 2).

Несложное аналитическое решение может быть получено .при степенной зависимости толщины от радиуса: Зги постоянные определяют из граничных условий, вид которых в зависимости от способа закрепления краев пластины рассмотрен в 9 1. Ниже приведены примеры расчета пластин постоянной толщины. В первых двух примерах пластины Рис. 1.8 нагружены только контурной моментной нагрузкой. Пример 1.!. Сплошная пластина, нагруженная моментом по шарнирно спертому контуру г = а (рис.!.8). В данном случае нагрузка Р (г) ги О, и в общем решении (1.19) сохраняется только решение однородного дифференциального уравнения Из условия в центре пластины 6 ~, ~ — О следует, что Сэ —— О. Постоянную С найдем из условия равенства заданной величине т изгибающего момента М! не внешнем контуре (г = а) пластины: од О Так как д = С,о — = — = Сп то М! =,0 (1+ )г) С! бг Г и не зависит от г.

Приравнивая эту величину внешнему моменту ш, найдем Прогибы пластины можно найти интегрированием уравнения с учетом условия закрепления пластины на внешнем контуре ш = О; тогда ш 2!! (1+ р) Ввиду того, что в данном Рис. !.9 18 териал пластины находится в растяжения (в верхней части пластины) или сжатия (в ниж. ней ее. части), при этом максимальные напряжения о,= бт оэ =— * Пример 1.2. Кольцевая пластина нагружена различными моментами по внешнему и внутреннему контурам (рис. 1.9).

В этом слу- аб д случае — = —, момент Мэ = М! = и. Мас(г г ' напряженном состоянии двухосного равномерного чае, как и в предыдущем, угол поворота нормали определяется уравнением 0 = Сгг+ С,г-г. Постоянные С! и С следует определить нз условий Ь(1~гг и = та й(т ~г=о тЬ' Так как М,=0("~ +р ~ ) = 0 [С1 (1 + р) С2 (1 р) г~! (1+ р) — С а '(1 — р) = — '; 1 с! (1+ р) — с,ь-'(1 — р) = — '. 0 Отсюда тоь' — т„аа,, (ть — т„) вайа 0 (1+ р) (Ь' — аа) ' ' 0 (1 — р) (Ьа — а') ' С учетом этих значений постоянных определяем угол поворота нормали д, а затем изгибающие моменты Ьагга — 1 1 — аз(га М1 Ьа/аз 1 то+ 1 аъ(ЬЗ ть' Ьз/га + ! 1 + а'!га з Ьа~,а, 1 та+ 1 зьа~о~ а также выражение для прогиба в=Сз — ~ба=С вЂ” (Ь вЂ” г )+Со!и 1 г где Сз — постоянная, значение которой найдено из условия закрепления пластины на внешнем контуре ш!г ь —— О.

Пример !.3. Сплошная пластина нагружена равномерным давлением а ':(рис. !.10). Суммарная нагрузка, приложенная к участку радиуса г пластины, х г" (г) = — афпг' '(знак « — » соответствует нагрузке, направдеиной ' против положительного направ. 'ления оси г). По формуле (1.20) определяем частное решение (нижние пределы интегра. :4ов принимаем а, = аа = О) Г 1 ! е.= — — ~ о г о ! Г га ага — — г — дг =— 20 г ) 2 !60 '. о Рис, 1.10 В общем решении (1.19) постоянная Се обращается в нуль по условию д [, э — — О, поэтому дга д = С,г+ —. 160 ' Постоянную С~ определяем из условия шарнирного опирания на внешн~~ контуре м~,,=о( —.~р — ) =о [с,д~р>~- ~ я+р>~ =о, откуда ппа 3+ )а С,= — — —, 160 1+ р, и окончательно — [ — га — га~ .

о г~+р 160 ! 1-)-)г Изгибан)щие 'моменты д1,=0[ — +р — ) = —,6 ) Ф вЂ” г'); где О~ 3+р 1 — [ д, г ) М,=0~ — +р — ) = — — ((3+р) а — (1+3) ) 1. ~О дд ~ о а а !. / 16 Эпюры моментов показаны на рис. 1.!О. В центре пластины Л4 =й4 = — ца . 3+)4 а 16 аш Для определения прогибов следует проинтегрировать уравнение г!г = — О при условии ш)г — О, т. е. а г Максимальный (по абсолютной величине) прогиб в центре пластины 5 -1- р да~ ) "а" '64 (1 [ р) 0 ' Пример 1А. Пластина нагружена силой в центре (рис.

1.11). В этом случае Р (г) = Р = сопз!. По формуле (1.20) частное решение (при нижних пределах интегралов ат = а; аа = О) Р / = — — ~2г 1п — — г Вп0 [~ а Г Р ! Оо =— 2п0 о ,Р 1 Г г Нг * — — — ~ г 1п — пг = 2п0 г,) а 0 * В общем решении (1.19) С, = О, так как д !, и —— О; постоянную С„найдем из условия заделки наружного контура О! = О: Р. С а+ — а=О, 8лР откуда Р С1 = —— 8лР Итак, Р г Р а д = — — г!и — = — г !ив 4лР а 4лР г (1.21) Прогиб Р гп = ~ О Ь.

= ~ 2г 1п — + а — г ~, ! а 16лР (, Максимальный прогиб в центРе Ра' И'~пах = 16лР ' Подставив значение д н формулы (1.6) для изгибающих моментов, получим Р Г а М = — ! (1+ п) 1и — — 11 ' 4л Р Г а — 1(1+ (х) ! 4л ! (1.22) Как видно из полученных формул, в центре пластины, где приложена сосредоточенная сила, изгибающие моменты стремятся к бесконечности, а следовательно, стремятся к бесконечности . и напряжения. Эти бесконечные значения напряжений обусловлены как тем, что нагрузка считается сосредоточенной, тогда как в действительности давление всегда распределено по некоторой .'' конечной площадке, так и тем, что в области, имеющей радиуа ' порядка толщины пластины, не выполняются гипотезы Кирх- гоффа, на которых основан расчет. Ег( Более точное описание напряженного состояния в окрестностях зоны нагружения ' можно получить, если вместо 'сосредоточенной рассматривать Р ..