Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций, страница 8

О' дп при шарнирно Опертом а=О, при свободном При упругой заделке края пластины, прогиб и угол поворота линейно завиеят от приведенной поперечной силы и момента М„: ди а~+аф, = О; — +и,М„= О, д/2 где а, и а, — коэффициенты податливости опоры. Силовые факторы Я, М„М„можно выразить через ', Ч„М„, М„, М,„по формулам Д„= Я„соз<р+ Я„з1пср; М„= И„соз'-'~р+М„з1пйгр+ М„„з1п2<р; (2.13) М, = М,. соз 2ц> + —, (̄— М„) з1п 2~у, Формулы (2.13) зледуют из условий равновесия прилегающего к контуру беекоиечно малого элемента пластины, представленного на риа, 2.9, а. Интенсивности сил и моментов, приложенных " к элементу, показаны на рис.

2.9, б и в. Первое из уравнений ;„', (2.13) есть следетвие равенства нулю суммы проекций, а осталь- ~: иые — сумм моментов сил, приложенных к элементу. ~э а3 Ц~ Рис, 2.9 Следует обратить внимание на то, что если контур пластины имеет угловые точки, то эти точки являются о а о б ы м и. В самом деле, из третьей формулы (2.13) следует, что при скачкообразном изменении угла ~р (в угловой точке) момент М„также меняется скачком.

Поэтому приведенная поперечная сила, в выра- д жение (2.12) которой входит производная — М„, в угловых точках оказывается неограниченной. Отсюда следует, что в угловых точках пластины могут возникать сосредоточенные реактивные силы Так, например, если контур пластины имеет прямой угол (рис. 2.10, а), то после замены крутящих моментов эквивалентными силами возникают не только распределенные по примыкающим сторонам силы Я"„, 9*, но и сосредоточенная в угловой точке сила, равная 2М,„ (рис. 2.10, б). Лля расчета пластин с криволинейным контуром целесообразно значения внутренних сил и моментов выразить через производные прогиба по нормали к контуру и вдоль него. Свяжем с произвольной точкой М криволинейного контура неподвижную декартову систему координат х, у.

Наряду с этой неподвижной системой координат будем рассматривать и подвижную систему координат, орты которой м, 1 направлены по нормали х У Ряс. 2.10 и по касательной к контуру Е (рие, 2.11, а, б). В точке М у орты ~, $ совпадают е ортами 1, ) неподвижной системы б координат, однако в сосед- ,Ю~ ней точке М, оказываются Я повернутыми относительно Н~ Ф) последних на угол йр = —, р где р — радиуе кривизны рис. зл1 контура. Изгибающие и крутящие моменты в точке М связаны с производными от прогиба в неподвижной системе координат формулами (2.6): / д'в д'и: т. М„=-М,= — й (' —,, +р —,, ); ~ д ° ду ~ д'в д~и '1 М~=М = — В( — +р — ); ду~ дхй )' д'и 'им — М" — — ~ ( — Р) дд Следует иметь в виду, что вторые производные в подвижной и неподвижной координатных системах не совпадают.

Установим соответствие между ними. С этой целью рассмотрим вектор градиента прогиба дв . ды игам ю = — 1+ — ), дх ду В подвижной сиетеме координат тот же вектор записывается в виде дв дв ргали в = — ~+ — 1. дп дв Вычислим производную вектора вагаб гу по дуге з. В неподвижных координатах д. / д~ю дх сРи ду1. У дскб сЪ д2в ду т — ' (угад ю) = ~ —.

— + — =) 1+ ~ — + — — ) ~, д~ (, дх' й дхду й ) (, дхду дя ду~ дз ) При вычислении этой же производной в подвижных координатах надо учесть, что е изменением з изменяются и орты м, 1. При этом д'ю 1 д~ 1 дз р ' дз р где р — радиус кривизны контура. б! Итак, в подвижных координатах д д г дв ~ дю дм д""ю дю й — (угад ы) = — ~ — ) ~+ — — + —, (+ дз дв ~ ди) дл дз дР з да дц — =~ 1 '~ = ~ $ = 1, Ь у 1 Приравнивая о учетом этих равенств два выражения — (ргали о), получим для точки М д дБ д~~в д~ш 1 дэ2 Щ-2 + р ОИ дп ' д г (В ) ~ г д~4~ Точно так же, рассматривая производную от ргали а~ по нормали к контуру и учитывая, что при движении в этом направлении векторы ч, ( остаютья постоянными, найдем, что в точке М (2.15) д'и Заметим, что полученные два значения —.— — вовпадают, дхоти так как Подставляя значения производных в выражения (2.6) для моментов, получим Полученные значения контура и, в том числе, д~ — О.

дз — (угад в) совпадают во воех точках д д~ в точке М. Но в этой точке Так как точка М контура — произвольная, то формулы (2.16) справедливы для любой точки конзура. Поперечная вила в точке М Я, =- Я, Для пластины постоянной толщины Следовательно„в этом случае Выражение в прямых екобках представляет собой оператор Лапласа от функции пл д'э; д'щ д~и 1 дв д'и Р— -з-,г +-в- -~-~+ -,в-+ -х.т- (2.18) (2.19) Для упругой сиатемы, и в частности для пластины, полная энергия П состоит из потенциальной энергии деформации У и потенциала внешних сил $~: П =У+(1, (2.20) вследствие чего уравнение (2.19) принимает вид 60+0~ О.

(2.21) Рассмотрим пластину произвольной формы, нагруженную : распределенной по ее площади 5 нагрузкой д (х, у) и действу.. ющими по контуру моментами т (з) и поперечной силой Я"' (э) ' (рис. 2,12). Потенциал распределенной нагрузки о потенциал краевых сил 1', = ф ( гп (з) — — 9* (з) ы) сЬ, Основные уравнения изгиба пластин и граничные уеловия могут быть получены также на основе вариационного принципа Лаг анжа.

'8 огласно этому принципу равновесному состоянию системы соответствует стационарное значение ее полной энергии, П, Признаком стационарности П является равенство нулю вариации ЬП, . соответатвующей произвольным бесконечно малым возможным перемещениям системы, т, е. 6Н = О. Рис.

2.12 ) 117 Дг Дхау, й (2.23) где (р — удельная энергия деформации; интегрирование проводится по всему объему пластины. Считая в соответствии с гипотезами Кирхгоффа напряженное состояние двухосным, примем (~= 2 (."+о" +".У.,)= — д ~ ех + иц + 2я ахи, + —, он) . Подставляя сюда значения компонентов деформации (2.4), получим Выполняя теперь в формуле (2.23) интегрирование по г и ея' учитывая, что „вЂ” О, получим 12 (1 — ~Р) (2.24) дэ дп где ы — прогиб пластины; —— Ы угол поворота нормали на контуре; интеграл $', вычисляется по всей площади пластины, а $', — по ее контуру.- Таким образом, полный потенФу пиал воздействующих на пластину нагрузок 'о(З) 1' = У, +У, — 1 1Их,У)В1(ХдУ+ + ~ [ (я) —,, — О' (в) ю] Йв.

(2.22) 11отенциальную энергию деформаций пластины 0 можно вычислить, интегрируя по объему пластины выражение удельной потенциальной энергии: Это выражение можно также представить в виде и=,' )')о[( ' .ь ~' )'нас ~ [( ~' )' див д'ю 1 (2.25) Используя полученные выражения для потенциала внешних сил и потенциальной энергии деформации пластины, можно получить как дифференциальное уравнение изгиба пластины, так и граничные условия.

Приведем кратко соответствующие выкладки для случая пластины постоянной толщины (В = сонэ|). Вариация энергии деформации, соответствующая произвольной вариации прогиба 6ю, 6У = У (аз+ 6ш) — У (га), Примем 6ш= т)ют (», у), где шг (х, у) — произвольная, непрерывная вместе со своими первыми и вторыми производными функциями координат; и — малый множитель. Вычислим соответствующую варчации 6и вариацию каждого из слагаемых функционала У, сохраняя в полученных выражениях лишь первые степени гр Преобразуем интеграл с помощью двукратного интегрирования по частям: дам Х ютду+ ~ ~) — шаа)»ду.

дх' В этом выражении контурные интегралы вычисляются против часовой стрелки. Путем аналогичных преобразований получим г г д'ю д'ао Г г дни йа~ 6 ~ ~ — — Нх а)у = т) ~ — у — — дх -(- дх' дуи ~ ~) дх' ду даю г данн дгат + ~~, шт дх+ ~~ — — ду— ~) дхи ду т ~) дуа дх 3 в. л. Бидерман Г дю1 Контурный интеграл у~ М ~ — дз преобразуем следующим образом: днч; д г дМ,п М г — г(з = у — (М ~и ) дз — у~ — т ш г(з. дз . ~ дз т ~ ~1 дз где первый нз интегралов равен нулю ввиду однозначности функций М т и га„ и окончательно (2.26) Вариацию потенциала внешних сил найдем, сообщив функции щ' в формуле (2.22) приращение т)гат: бГ ц ) — ) ) у~~ у) ~зЫшу~. ф [ ( ) — — Я ( ) ~~) й).

дгат дп Таким образом, вариация полной энергии 'системы В соответствии с вариационным принципом Лагранжа зта величина должна равняться нулю при т1 ф О и при произвольной, удовлетворяющей геометрическим граничным условиям функции шг (х, у). Отсюда следует: 1) функция прогиба щ должна удовлетворять дифференциальному уравнению (2.9) Орзозы — д (х, р) = О; 2) на тех частях границы, где заделкой не запрещен поворот — и придп ложен внешний момент и (з), должно выполняться граничное условие Мт= = гп (з), где М„определяется формулами (2.13) - или (2,16) 3) в тех частях границы, где закрепление не препятствует перемещению ш и приложена внешняя нагрузка Я*, должно выполняться граничное условие Кирхгоффа Я~+ — = Я* (з).

дМт1 а Выше мы показали возможность вывода основных уравнений теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 2 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных н круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, имеющих форму эллипса, равностороннего треугольника и некоторых других.