Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций

СП5.1 Б59 УДК 621.81: 531.2.00!.24(02) Рецензент Л. И. БАЛАБУХ Бидерман В. Д. Б59 Механика тонкостенных конструкций. Статика М., «Машиностроение», 1977 (Б-ка расчетчика). 488 о. с нл, В княге изложены теоретические основы н практические методы рас)етэ на прочность пластин, оболочек и еонкоотенных стержней. Значительное внимание уделено численным методам расчета круглых пластин и оболочек вращения е применением ЭВМ.

Книга предназначена для инженеров и научных работников, занима. ющихся прочноетиыми расчетами конструкций. Оиа будет также полезной для студентов и аспирантов, специализирующихся е этой области, 31301-003 038(01)-77 © Издательство «Машиностроение», 1977 р. Предисловие Тонкостенные конструкции — пластины, оболочки, тонкостенные стержни — широко применяются в технике и строительстве. В одних случаях с их помощью достигается создание чрезвычайно легких и экономичных, но одновременно прочных и жестких сооружений, в других, как, например, в упругих элементах приборов, эти конструкции оказываются весьма гибкими.

Повышение эффективности тонкостенных конструкций неразрывно связано с совершенствованием методов их расчета. Большое влияние на развитие этих методов и особенно на развитие теории оболочек оказали осно- вополагающие исследования советских ученых В. 3. Власова, А. Л. Гольденвейзера, А. И. Лурье, В. В. Новожилова и др. Теория расчета тонкостенных конструкций столь обширна, что осветить в одной книге все ее аспекты невозможно.

В этой книге рассмотрены основы расчета упругих тонкостенных конструкций на прочность и жесткость. Вопросам устойчивости и колебаний этих конструкций будут посвящены специальные выпуски «Библиотеки расчетчика». Книга написана так,-чтобы сделать возможным не- зависимое ознакомление с отдельными ее разделами. Это, в первую очередь, относится к гл. 1, 2 и 3, в которых изложены задачи изгиба пластин и симметрично нагруженных оболочек вращения.

После необходимых сведений из дифференциальной геометрии (гл. 4) изложена общая теория произвольно нагруженных оболочек (гл. 5). Для наиболее распространенных в машиностроительных конструкциях оболочек вращения приведен алгоритм числового расчета, основанный на точной теории. Этот алгоритм может быть использован при любой форме меридиана и при любом законе изменения толщины оболочки вдоль него. Приближенные методы расчета произвольно нагруженных оболочек освещены в гл, б и 7. В этих главах изложены безмоментная и полубезмоментная теории, теория пологих оболочек.

Приведены примеры расчетов, основанных на применении этих теорий, а также расчетов, выполненных путем расчленения напряжен- ного состояния на основное и краевой эффект. В последние годы большое распространение в тех- нике получили конструкции в виде мягких и сетчатых оболочек (оболочки а надувным каркасом, воздухоопорные оболочки, резинокордные оболочки). Особенносп,ю этих конструкций, которые изготовляют нз пленок илн тканевых материалов, состоит в том, что они приобретают жесткость только после предварительного нагружения. Теория расчета, учитывающая это обстоятельство, изложена в гл.

8 и 9, В гл, 10 рассмотрены стесненное кручение прямых и изгиб кривых тонкостенных стержней. Наряду с традиционными аналитическими методами расчета в книге наложены численные методы, ориентированные на применение ЭВМ, Математические основы этих методов приведены в гл. 11. При реализации на ЭВМ трудоемкость расчета по точным зависимостям часто мало отличается от трудоемкости приближенных расчетов, в последнем же случае требуется дополнительный анализ погрешности. По, этому автор стремился излагать расчетные методы в .строгой постановке, не прибегая к излишним упро- щениям.

. Вместе с тем во всех разделах книги особое внимание уделялось конкретным способам аналитического или численного расчета, приведены многочисленные примеры выполненных расчетов. В список литературы включены лишь основные литературные источники. Более подробные указания на литературу и исторические справки можно найти в работах 15, 40, 41, 501. Автор благодарен Галине Васильевне Мартьяновой, оказавшей ему большую помощь в работе над рукописью, и выражает глубокую признательность рецензенту Льву Ивановичу Балабуху, ценные советы и замечания которого учтены при окончательном ре- дактировании книги. Обозн ачения В книге приняты следующие обозначения для матриц и векторов.

Матрицы обозначены заглавными жирными буквами. а их элементы — малыми строчными; например, Транспоннровапие обозначается индексом Т, поэтому транспонированная матрица имеет вид т а1, а„ Матрицы-столбцы (векторы) обозначены строчными жирными буквами: Ут ' Для экономии места употребляется также следующая записьФиатриц-столбцов: у = (ут ум уз уз) где фигурныс скобки указывают на то, что имеется в виду матрица-столбец. Для матриц-строк используются обозначения т у (ум ум уз уз).

Матрица, столбцами которой являются векторы утуз, ..., записывается в виде у ='за у уз уз!~. Для упругих постоянных материала использованы принятые в гехнической литературе символы Е, й, р,. ГЗрочие обозначения пояснены в тексте книги. Глава 1 Осесимметричный изгиб круглых пластин Конструктивные элементы в виде круглых пластин широко 'используют в практике (крышки и днища аппаратов, люки, диски колес и т. и.). В настоящей главе рассмотрен наиболее простой вид деформации круглых пластин — осесимметричный их изгиб при малых перемещениях.

Случай больших перемещений рассмотрен в ~ 9 гл. 2, а неосесимметричные деформации — в ~ 7 той же главы. $ 1. Гипотезы и основные зависимости Диаметральное сечение круглой пластины схематически показано на рис. 1.1, где А — срединная плоскость пластины, г — ось ее симметрии, Й вЂ” т о л щ и н а пластины на расстоянии г от оси симметрии. Предполагаем, что толщина изменяется в зависимости от радиуса достаточно медленно, так дй что — (~ 1.

Изложенный ниже метод расчета пригоден и для й пластин, толщина которых в некоторых сечениях меняется резко (например, для пластин ступенчато-переменной толщины), Однако в местах изменения толщины возникает концентрация напряжений, не учитываемая в расчете. В основе расчета пластин на изгиб лежат гипотезы Кирхгоффа.

Жгласно первой из этих гипотез предполагается, что материальный элемент ОМ (рис. 1.2), до деформации нормальный к срединной плоскости пластины, после деформации остается прямолинейным и нормальным к изогнутой срединной поверхности. Эта гипотеза, аналогичная гипотезе плоских сечений в теории изгиба балок, позволяет .связать перемещения любой точки в массиве пластины с перемещениями точек срединной поверхности. Согласно второй гипотезе Кирхгоффа нормальные напряжения а в площадках, параллельных срединной плоскости, предполагаются малыми по сравнению с напряжениями а,, а„в перпендикулярных площадках, Гипотезы Кирхгоффа ограничивают приложимость теории только к тонким пластинам, т. е. пластинам, толщина которых Й мала по сравнению с наружным радиусом й (йlЯ < 0,2).

При малых прогибах пластины считают, что каждая точка срединной плоскости при изгибе смещается в направлении нормали и не учитывают растяжения срединной плоскости,- Построенная .на основе' этого предположения линейная теория изгиба пластин справедлива при прогибе пластины ги, малом по сравнению с ее толщиной Й. При этом предельное значение отношения иИ, до которого можно использовать гипотезу о малости прогибов, зависит от способа закрепления пластины и ее нагружения (см. ~ 9).

Выведем основные зависимости, определяющие деформации и напряжения в пластине. Перемещение точек срединной поверхности ы будем считать положительным, если оно направлено в положительном направлении оси г. Угол поворота нормали к срединной поверхности б будем считать положительным, если точки пластины г > 0 удаляются от оси симметрии (см. рис. 1'.2).

Так как (в соответствии с гипотезой Кирхгоффа) угол поворота нормали равен углу поворота касательной к срединной поверх-' ности, то при малых углах б выполняется соотношение (1.1) Точка М, находящаяся на расстоянии г от срединной .плоскости, получает в результате деформации радиальное перемещение и= йг. (1.2) Соседняя точка М~, находящаяся на том же расстоянии г от срединной плоскости, но на радиусе г+ пг, получает перемещение + д ( + !О Рис. 1.3 Относительное удлинение радиального волокна ММ, (6+са) г — 'Юг. Ю е г.

(1.3) Рассмотрев кольцевое волокно, проходящее через точку М, длина которого до деформации составляет 2лг, а после дефор мации 2п (г + и), найдем его относительное удлинение (1.4~ 2п р + и) — 2лг К 2 / Г 2лт 1 1 е, = — (а, — ра,); з, = — (о, — ра~) или Е ' Е от ~ (з1 + ра2)с оя ~ Жй + р'81) Из формул (1.3) и (1.4) следует, что радиальные и окружные деформации меняются по толщине пластины по линейному закону Рассмотрим напряжения, действующие в площадках, ограни чивающих бесконечно малый элемент, вырезанный из пластины на расстоянии г от'срединной плоскости (рис. 1.3, а).

Радиальные сечения представляют собой плоскости симметрии, поэтому в них возникают только нормальные напряжения о,. В цилиндрических сечениях имеются как нормальные (а,), так и касательные (т) напряжения. Поскольку было принято, что нормальные напряжения о, в сечениях, параллельных срединной плоскости, прене брежимо малы, в этих сечениях существенны только касательные напряжения (равные по закону парности напряжениям т в цилин дрических сечениях).