Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций, страница 6

Наиболыпие паприжения возникают иа внешнем участке пластины, при ';:г= я. ," Здесь 6~М1) ав ав о1 ими в — 6 0,375р —, — 2,2ор —, /12 Ф оо ща„— — — );-'.~- = 6 0,156р — „, = 0,938р —, /!в /Ои ' /то Изложенный метод расчета пластин е помошью матриц пере'.,:.хода можно использовать и для расчета пластин, усиленных .:,:::кольцевыми ребрами (рис. 1.19, а).

Такие ребра часто применяют :для увеличения жесткости кольцевых пластин. /11 Если высота ребер /1 не слишком велика ~примерно ( Уг Огр „: < 0,3, см. $ 12, то ребро можно рассматривать как кольцевой :-Таблица 1.3 1 д(р ра' 1 и1 ра' оо ра" — 0,58 — 0,461/ — 0.156 * 0,107 — 0,58 — 0,375 0,357 — 1,940 — 1,732 О 0 — 0,384 0 * Б числителе приведено значение М, для внутреннего учаатиа, в знамена. теле для внешнего. Значения внутренних сил и перемещений на участке пластины Очт( г<$ а ,.определяются через их значения при г = а по фоРмулам (1.47), в которых сле.

дует положить )з = О. В частности, в центре пластины (г = 0) Рис. 1.19 где 1 — ь (Н8 63). 12 Прогиб га и угол поворота 6 изменяются при переходе через ребро непрерывно. Все эти условия можно выполнить, еали представить вектор состояния за ребром в виде у' = Мру, где у — вектор состояния перед ребром; Мр — матрица перехода через ребро.

При размерных векторах у = 1 О О О 1 О (1.53) бруа малой кривизны (рис. 1.19, б). При осесимметричном изгибетакой брус нагружается равномерно распределенным по окружности моментом интенсивности т, При а! этом в сечениях бруса возникает изгибающий момент М, = тгр, а сечения поворачиваются в своей г плоакости на угол б = —. ЕУ ' где У вЂ” момент инерции сечения 5 ребра относительно оси, лежащей в срединной плоскости пластины (на рис.

!.19, б заштриховано). При рассмотрении подкрепленной ребрами пластины целесообразно считать, что момент и передается а ребра на пластину на окружности радиуса г (средний радиуо ребра). В этом сечении пластины изгибающий момент М, скачком меняется на величину и. Если обозначить значения момента М, а внутренней и наружной стороны от ребра соответственно через М-, и М;, то М~ = М~ +т. Е3 Так как, с другои стороны... —, д,.

то Г' М1 =М1+ —, О, (1.52) г п~Ло «М /Ре При безразмерных векторах у = 1 О О О 1 ΠΠ— 1 Р о (1.54) Вектор состояния умножается при переходе через ребро на матрицу перехода М как при расчете решения однородной (у,), так и неоднородной (у,) задачи. В остальном расчет пластйн а ребрами выполняется так же, как и расчет пластин ступенчато- переменной толщины. 5 4. Числовой расчет пластин переменной толщины уравнение (1.6), из которого следует нб Ю м, — = — 1 — +— й. г Р ' Принятая здесь последовательность компонентов вектора состояния отличается от рекомендованной а сл.

11. Это объясняется возможностью в ряде случаев рассматривать не четырех-, а трехмерный вектор, считая поперечную сиду известной функцией радиуса (как в ЭЗ). Для пластины, толщина которой меняется в зависимости от радиуса по произвольному закону, эффективное решение может быть получено численным интегрированием уравнения изгиба пластины на электронной вычислительной машине, Для численного интегрирования дифференциальные уравнения изгиба пластины удобно представить в форме, разрешенной относительно первых прогизводных от компонентов вектора еостояния.

В число этих компонентов целесообразно включить также произведение поперечной силы на радиус (Яг). Поэтому далее рассмотрим четырехмерный вектор соатояния ' (м, д, Мтг, Яг». Включение в состав вектора четвертого компонента позволяет по единой методике рассчитывать и пластины с двумя кольцевыми опорами, в которых поперечная сила не может быть определена нз условий равновесия. Первые производные от компонентов вектора совтояния определяются зависимостями, в число которых входят: уравнение (1.1) Йе — = — д дl и уравнение равновесия (1.10) д» (МА М2+ Ж в котором М, можно заменить выражением (1.36).

Тогда — (М~г) — рМ~ + В (1 р ) — + 1~9' д 2 Производная от величины 9 оиределяетая уравнением (1.11) д — (® = — гд (г), где д — приложенное к пластине давление. Если, как и в $ 3, ввести безразмерные компоненты вектора состояния Ы ФИ й. ' у~ ' У~ 0 ' У4 О О о 6 (1.55) У+ У' '~Уз Р 11о Ф Р Ж (1.56) ц~~ Р Уз+ Д (1 Р ) Уй+ У41 — 2 11о Фо где д, = — — безразмерное давление. о Уравнения (1,56) можно представить в векторно-матричной форме (см. гл. 11) ~~о У У+ ~' (1.57) где У = (Ум Уь уз, У4) — безразмерный вектор состояния, компоненты которого определяются формулами (1,55); О 1 О О О ~~р — 1 Р Р О О (1.58) и, сверх того, безразмерный радиуя р = †, то приведенные р уравнения можно записать в форме М Др 21 аистемУ пРи У (Р,) = Ув (Р,), находЯт значениЯ вектоРов У, (Р,), ув (Ра) уа (Рв) на внешнем контуре пластины.

Так как полный вектор соетояния на этом контуре определяется выражением У (Ра) = Стут (Ра)+ Саут (Рз) + Уа (Ра) го постоянные С„С, можно найти из граничных условий на этом контуре. Например, если внешний контур заделан, граничные уаловия на нем имеют вид Ут (Ра) = О' Уа (Р ) = О или СтУм (Ра)+ СзУтв (Ра)+ Уьп (Ра) = О~ С,Ум (Р,)+ С,Уат (Рт)+ У,„(о,) = О, где первый из индексов — номер компонента, второй — номер вектора. После определения Са, С, оказывается известным и полный вектор состояния на внутреннем контуре пластины У (Р ) - С Ут (Р.) + С.ут (Рт) + Ув (Рт) (1.63) Лля определения вектора состояния в других сечениях еще раз интегрируют уравнение (1.57) при начальном условии (1.63), В процессе этого интегрирования выводятся на печать значения вектора состояния в характерных сечениях.

Одновременно подсчитываются и выводятся на печать другие представляющие интерес величины (например, значения изгибающих моментов, напряжений и т. п.). Остановимся на определении начальных значений- векторов однородных и неоднородного решений для пластины, не имеющей центрального отверстия, или жесткого центра. В этом случае счет начинают не в центре пластины, а на неко- гором малом расстоянии а от центра (так как прн Р = О коэффициенты уравнений (1.56) обращаются в бесконечность) Рассматривая часть пластины малого радиуса а как участок постоянной толщины и используя формулы (1.48) и (1.49), можно принять следующие начальные условия для векторов у„у„у,: „,(') (,е,ф, ~")-(а,1, "и<-рьо1; у (+) (1, О, О, % ~,(+)=(О, О,— 4 где Рй — сосредоточенная сила, приложенная в центре пластины.

Для пластин с одной кольцевой опорой, в которых поперечная сила может быть вычислена заранее, величина д, является известной функцией Р и ее можно / ш гМт ~ не включать в вектор состояния, сохранив в нем три компонента ~ —, д, — ), как зто было сделано в З 3. В этом случае можно огРаничиться интегрированием первых трех уравнений системы (1.56) Такое интегрирование проводится дважды Один раз интегрируется однородная система (при этом полагают дт —— О) и один раз неодно- чч ((о родная при этом д, = — известная функция, определяемая из услония 4 () равновесия). Внонь обозначим векторы решения однородной и неоднородной систем у ~ и уз.

Тогда полный вектор состояния у=Су,+у,, Начальные значения у1(рт) и у, (р,) выбирают так-, чтобы удовлетворялись граничные условия н. внутреннем контуре, наложенные на угол поворота нли изгибающий момент Мь Перемещение ш при р = р~ принимают при этом равным нулю, независимо от действительных Условий закРеплениЯ пластины. Если контУР Р = Рг заделан, то д; (рт)=(о, о.(1; д, (рт)=(о, о, о1; при контуре, нагруженном моментом интенсивности ш, д, (рт) = (о. 1, о); д, (Р,) = о, о, — (, ~я А'о о Постоянную С определяют из условий, наложенных на угол поворота или момент М, на внешнем контуре пластивы. В результате расчета прогиб пластины ш определяется с точностью до постоянной. 1(ействительный прогиб ш = ю~ (Р) — ш~ (Рэ)' где ат (Р) — прогиб, полученный е результате интегрирования; ю, (Рэ) — тот же прогиб в месте, где расположена кольце вая опора.

Рассмотрим пример расчета плац. тины, выполненного по приведенной методике на малой ЭВМ типа МИР-1 Пластина (рис. 1.20) оперта по внутреннему и наружному контурам и нагружена равномерным давлением д = 100 Н~смз. При приведении компонентов вектора к безразмерной форме принято В а = 25 см, Ьа = 2 см. При последовательных интегрированиях принимали следующие значения векторов состояния на внут- реннем контуре рт= 25 — — 0,16 4 у, (р,) = 10, 1, О, 01; у, (Р,) — 10, (, О, 1); у (рд) = 10, О, О, О), Интегрирование выполняли по .

стандартной программе метода Кутта- иис, ~.~о тн пэ Таблица 1.4 Номер пояснения (сч виже) Текет программы «РАЗР» 6. Щ = 1; 1. НИ=2", Н=О.О6; Т.= ТО; Т1=ТО; «Е»Щ*= 1«ТО»(У [11= 0; У [2] = 1; У [31= 0; У [41= 0; П=О); «Е» Щ= 2 «ТО» (У [1) = 0; У [2] = 0; У [3] = 0; У [4] = 1; П = О); «Е» Щ = 3 «ТО» (У [11 = О; У [21 = О! У [31 = 0; У [41 =- 0; П = 1); «Е» Щ = 4 «ТО» (У [1] = О; У [2] = С1; У [31 = О; У [41 = С2; П = 1); МН. НС = Н; 7 = !', ....... НС = НС Х 2))); «НА» МС); «е» щ = 4 «то» (Б1 = 'и ['1"1' х 26) Б2 = и [з') х 6.87„,ъ т'1; БЗ= 0 3 Х Б2+ 09! Х 5 87!'ез Х НН 13 Х У [21!Т1' Б4 = У [41 Х 2.351 4/Т1; «ВБ)В» «ТАБЛ» 1, Т, Б1, Б2, БЗ, Б4); «Е» ТК ~. Т «Т0» («НА» МВ)„.

«е» щ = 1 «то» (и = и [11 из = и [3]); «Е» Щ= 2 «ТО» (И! = У [1]; УЗЗ = У [31); «Е» Щ = 3 «ТО» (с! = (и [11 х изз — и [з1 х и !)7(из х и1 — и х УЗЗ); С2 = (У [1] Х УЗ вЂ” У [31 Х И)!(У! Х УЗЗ вЂ” УЗ Х И1); «ВБ7В» С1, 'С2); «Еь Щ < 4 «ТО» (Щ = Щ+ 1; «ПА» 1); «СТОП»; МР. «Е» Т1 ь 0.16 «ТО» (НН = 2); «Е» Т1 ) О.

4 «ТО» (НН = 2.667 — 1. 667 Х Т1); Р [1] = Р! ()Т» [2)); Р [2] = 02 (Т1, Ю [2], ЦУ ]3]); Р [3] = РЗ(Т1, Ю [2], !Б' '[31, ()У [41)! Р [41 = 04 (Т1); «НА» МК «ГДЕ» Е = 1!а — 3; ТО ~ 0.16; Т1 = 0.16; ТК = 1; )(( = 4; у1 (72). = — л; о2'(х, л, 23) - — 0.3 х г2~)х + гз((х х НН 73); ОЗ (К, Ь, 23, 24) = 0.91 Х НН 7 3 Х 22!7( + 0.3 Х ЗЗ!','«+ 24; Р4 (Х) = — П Х Х Х 0.106; У [41' Б [4)) й [41! )г [41) В' [4]! Р [4] «КОНЕЦ» 9 1О 13 14 Пояенения 1. Указание разрядности.