Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций, страница 10

Поме. стим начало координат в центре пластины и примем следующее выражение для в, (см. ~ 2): (2,41) В качестве н1, и 332 примем решения однородного дифференциального уравнения в форме .ь — '""-(с„сь "" -ьс„.вь — '"")]; н ' 2)Г ых Аах 121 = ' ~ 31п ) Си с)1 — + С2ь.сЬ вЂ” + Ла( 3=1, 3,5 + '™ (с„гь — "",*+с„зь — """)]. доа1 Функция 1211 удовлетворяет условиям 1311 = О, —,' = 0 на а сторонах х = — —, а 1212 — аналогичным условиям на сторонах а у = —,.

Поэтому постоянные, входящие в выражение 1211 должны определяться так, чтобы суммарное решение (2.40) удовлетворяло условиям при у = †, т. е. 2 ' а (11'о+ 1о11] а = 01 У=~ —" 2 а=~ 2 (2.42) Из аналогичнь1х условий при х =- — — определяются постоян- 2 ные, входящие в выражение для 1212. Преобразуем условия (2.42). Так как фУнкции.1а и 333 симметРичны относительно оси х, фУнкция 331 также должна быть четной функцией д.

Поэтому С, = С31 = 0; следовательно, ° (*о — ') И13 ], 31П ~ С11 СЬ 2 1=1, 3, 5, ... +С11 о 311 ~~=0; й3 д~а ~д=, а 1=1, 3, 5, +С„( — '; — вЬ вЂ”" ,-Ьооо —",)]=О 2 С„сЬ вЂ” + ф— зЬ вЂ” = — — ~ яо ~ з1п ахт йг /а 1«ф 2 « /и (и + а/2) а 2 2 С, с)1 — + С, 1 — ' зЬ вЂ” + 2 сй — 1 = 2 ) 2а Г дфиаф ! Ы(х+а/2) — — а з1п Их. 12«фа 2 доа ~2'=— 2 а Интегралы в правых частях равенств удобнее всего определять численно, причем 12 «Р2 аф ю ~ = — 11«21п — + — — «2~' о а 8«ф/7 ~ а 2 ди,„о, Р 1 «Р.2 — ° = — „~~2 Ы вЂ”,+ — — 11 чГ аф где « ~/ — +х . 4 Значения постоянных С2„Сои полученные путем решения уравнений, приведены в табл.

2.1. Как видно из приведенных данных, поетоянные быстро убывают е увеличением номера 1, поэтому для подсчета прогиба до- ~о у ъ статочно удержать лишь один, а для моментов — два члена ряда. м„ Таблица 2.1 МВ с„—, зло и Ра' 0,3558 10" ~ — 0,569 10: о — 0,818 10- — 0,274 10 2 -О,Ю38 0,382 10-2 0,806 ° 10 ф 0,355и10 ' Рио. 2.15 Чтобы выполнить эти условия, разложим в ряды Фурье по синусам выражения ыо .. †, , и приравняем нулю д а'а о „ар д„а 1ц х-,-— е еутцтгарные коэффициенты ори еги; тогда Коэффициенты ряда для юз по симметрии совпадюот в коэффициентами ряда для в,.

Прогиб в центре пластины Раз и/,б о=16д+2 ~=1, 3, б... ьз С1;з1п 2 ы = — ~ —. ~1+ — ') е .з1п — з1п —. (2.43) Раз Г~ 1 Г йтх, ~ ь '"Ур ~ау — 2~,вР ~~~ бз (~ д ) ь ' В частности, если пластина нагружена силой, приложенной ь~ в середине ее ширины ур = — ), то прогиб под силок ~х, = 0; з-+) РЬ Г~ 1 РЬ РЬз 2 зц ~,. = — 1 052 = 0 0169 —. 1з 2ззз17 0 ~=1, 3, б.... Для бесконечной пластины также оказывается возможным исключить особенность, связанную с приложением сосредоточенной силы, и получить замкнутые выражения для вычисления моментов и поперечных сил. Вычислим вторые производные от выражения (2.43): СО И~к, дзж Р 1Г1 1 / 1пх~ Ъ ь 'ззУр 1ззу, — — —.

~ — — 1) е з1п — з1п —; дх7 2ВЬ 1~ а ) д Ь (=$ 79 Удерживая только одно слагаемое ряда, получаем 'прогиб в центре с ошибкой менее 1% ..Однако основным преимуществом метода исключения особенности является возможность расчета изгибпощих моментов и поперечных сил в любой точке пластины, кроме места приложения сосредоточенной силы, В качестве примера на риз.

2,15 представлены эпюры рас- пределения моментов на осях симметрии квадратной пластины. Практически важен в л у ч а й д л и н н о й п л а с т и н ы ~ з — оо 1, н а г р у ж е н н о й е о„а р е д о т о ч е н н о й Ь с и л о й, Выражения для прогибов можно получить либо удер- живая в решении уравнения (2;38) только функции, затухающие с удалением от сечения х = хр, либо предельным переходом в вы- Х; ражении (2.39) при 'Х, — оо, у, = 2, я,- (х — хр) = а,х,, где х, — координата, измеряемая от места приложения нагрузки. Таким образом, получим при х1) 0 хх 1йх1 д22ь Р % 2 1 / !лх1 2 ь, 1лур ьлу — — — —. ~ — '' + 1) е з1п — з1п —; (2.44) ду2 2лР ~~~ ! ~ Ь ) Ь Ь х хлхх д2ж Р л 1~1 ь 'лур Глу — = — — — Х1~в дх1 ду 2лР Ь 81П вЂ” СОБ — ° Ь Ь 1=1 лх, л (у+ ур) Р Ь с12 — ' — сос 6 !7212 = — — 1п Ф 4лР,х л(у у ) С!1 — ' — СО2 Ь Ь (2.46) Заметим, что при дифференцировании ряда (2,45) по к и у получаются ряды хх 1лхх д (22щ) Р 22-2 =- ь 1лур,лу дх, РЬ з1п — 81п —.

Ь 6 1=1 (2.47) д (Чха') Р %~ ь ""Ур Глу — — — е з1п соз— ду Р6,1~ Ь Ь 1.=1 Сопоставляя ряды (2.44), (2.45) и (2,47), находим дьж 1 Г д — — [х, — (2'х) + 2'и); дх~ 2 ~ дх1 1 Х1 (Ч „)+Ч У1Ч; д2В 1 Г д 2 2 1 ду2 2 ~ 1 дх1 (2,48) д21ь '! д дх1 ду 2 ду Х1 (Ч 121) С помощью формул (2.48) и (2.46) можно получить выражения для вторых производных от прогиба, а следовательно, и для моментов в замкнутой форме [50). Независимо от конфигурации плавтины, вблизи от места при. ложения сосредоточенной силы распределение напряжений имеет такой же характер, как и в круглой пластине, нагруженной в центре. Для непосредственного подсчета производных и зависящих от них моментов вблизи точки приложения силы х, = О, у = ур эти ряды непригодны.

Однако ряд для оператора хо слхх д22ь дха> Р %~ 1 ь !лур . !лу 72н1 = — + — = — — ~ —. е з1п — з1п — (2.45) дх' ду2 лР Ь Ь 1=1 может быть просуммирован [50): ~ 7. Изгиб круглых несимметрично нагруженных пластин постоянной толщины Задачу изгиба круглой пластины естественно рассматривать в полярных координатах, определяя положение точки на срединной плоскости углом ф и радиусом г (рис. 2.1б). Преобразуем основные зависимости, установленные в 5 5, к полярным координатам.

При атом воспользуемся формулами (2.14), (2.15), связывающими производные функции в в неподвижных декартовых координатах и ее производные по дуге а и по нормали к дуге. Взяв в качестве дуги окружность радиуса г, имеем б~ю дв Ф дз гдф ди дв — Ф дп дг Уравнения (2.16), связывающие моменты Мг = М„М, = М„М„= М„о перемещением, можно записать в форме д'з 1 ды д'и 1 М2 1~ + +Р ~1 ~2дф~ г д~ дг' ~ ' (2.49) д /дв1 М„= — О(1 — р,) — ~ ~— ~). дГ гдф Положительные направления моментов, показанные на рис.

2.17, соответствуют отсчету прогиба вверх, а угла ф в плане — против часовой стрелки, Составим уравнения равновееия элемента гйрФ пластины, представленного на рие. 2.18, а, б. Рис. 2.16 Рис. 2.18 На рис. 2.18, а показаны приложенные к элементу силы, а на рис. 2.18, б — моменты. Здесь обозначено: ©г)' = Я1г+ — ф1г) 1(г; Я2 = Ь+ — "ф' дД, дф (М1г)' = М1г+ — (М1г) 1(г; ВИ, М2= Мз+ — '. «ф; дф (М1 г) = МЫ'+ — (М1аг) Й'в 1 д М12 = М12+ 11ф. дМ1~ дф Уравнение проекций всех приложенных к элементу сил на нормаль к срединной плоскости после сокращения на гпфй имеет вид — — (юг) + д' + ч' = О.

(2.50) Составим также уравнения моментов относительно оси симметрии элемента и нормали к ней: 1 д дМ, 1 — — — (М1 г) — — ' — — М„+Я,= О; г дт 2 гдф (2.51) 1 д 1 дМ12 — — (М г) — — М,+ — ' — Я1=0. г дг 1 г гдф В уравнениях (2.51) также произведено сокращение на г1йр юг; последние слагаемые этих уравнений представляют собой моменты поперечных аил, деленные на пйр й. Дальнейшее преобразование уравнений проведем для пластины постоянной толщины.

Подставим в уравнения (2.51) выражения (2.49). Вынося постоянну!о величину цилиндрической жесткости О за скобку, после преобразований получим ( дага 1 д~и 1. дю ! дааг 2 дага '1 ~ дгз + г дгв га д» + га дгд<р~ га дара /' Это выражение можно также представить в виде Я, = — Π—, (р'ы). д (2.52) где 7'в — оператор Лапласа от прогиба, записанный в полярных координатах [см. (2.18)1; д'и 1 дв д'з ~7'И = —. + — — + дга г дг »вдув * (2.53) Аналогично, для поперечной силы Яв получаем Я вЂ” — 0,д (Ч 4). д (2.54) Внесем выражения поперечных сил в уравнение равновесия (2.50) — В ! — — [г — (д св)~ -$- — [~(д и))[ + д = О. Г! д д д д Но в левой части этого уравнения стоит оператор Лапласа 7' [сравните с формулой (2.53) 1 от величины Ч'ы. Поэтому записанное в полярных координатах дифференциальное уравнение изгиба пластины постоянной толщины 0 (2.56) имеет точно такой же вид, как и в декартовых координатах (см.

5 5). Следует лишь иметь в виду, что в полярных координатах оператор Лапласа выражается формулой (2.53); Полученный результат не является случайным. Он связан о инвариантностью оператора Лапласа при изменении координатной системы, Поэтому вид уравнения (2.56) сохраняется в любой криволинейной системе координат', Для круглой пластины следует использовать разло- ' Но в каждой такой системе конкретное выражение оператора Лапласа различное. Выражение оператора Лапласа в произвольной ортогональной си. стеме координат приведено в гл, 5.

Выполним дифференцирование и перенесем фВ в правую часть уравнения; тогда дга (Ч га')+ д» (7 е~~+ вд ' (7 з) 0 . (2.55) (при одинаковом Й) уравнения для в~ и ~о~' совершенно одинаковы. Вычислим У д~ ! д д' 1ы~(Г) созЬ~) = — ~+ — — + .. [сО~(/) соэйф) = ~ дг' г дг г'д~Г~ у УУ„1 ~ ~а ( —. -)- — — —.

— и,) совам%. Ь'~ г йг ' г~ Следовательно, после подстановки выражений (2.57) и (2.58) в уравнение (2.55) для каждого члена разложения будет получено обыкновенное дифференциальное уравнение (' д2 1 д аа 1 ~ У 1 ~ „ ав — + — — — — ) ~ — + — — — — ыц = —. (2.62) Й2 г Мт к2 ) ~ дИ г йг г~ ) О ' Уравнение (2.62) есть уравнение типа Эйлера. Решение соответствующего однородного дифференциального уравнения следует искать в форме — г~й, (2.63) Вычислим (' а 1,~ а К" — + — — — — ) г ~ = (а~ — 'А ) г ~ сь' Повторяя вычисление, получим + ~(а~ 1~~)г /г (' у 1 с~ а' ~ Й'~ г дг г~ ) = (а$ — И) ((а~ — 2)' — й'$ г"4 Таким образом, выражение (2.63) удовлетворяет однородному уравнению, соответствующему (2,62), при четырех значениях а~. а„= Й; а~=2 Й.

Поэтому общим решением уравнения (2.62) является выражение г ыР+ С г~+ С,г «+ С,г~+» + С4(2 ~, (2.64) где п4 — частное решение неоднородного уравнения. Четыре постоянные, входящие в формулу (2.64), позволяют выполнить граничные условия, наложенные на функцию и~ (г). Решение (2.64) непригодно при й = О и при А = 1, так как в этих случаях корни а — кратные, и решения однородного уравнения в форме (2.64) становятся линейно зависимыми. Общие решения уравнения (2.62) при Й = О и Й = 1 можно найти, У ~ д ~а учитывая, что в этих случаях оператор — + — — — — „ Й~ г дг сводится к ряду последовательно выполняемых дифференцирований: при А=О сРя ! дж 1 д / ~Ы~ с» +» й гй~ ~1г/' при Й = 1 Рю 1 йо и д Г1 —.+ — — — ~ — — (»и)~, й- '» й Р Й~ ~» й Таким образом, при й = О дифференциальное уравнение (2.62) принимает вид (2.65) и, ~ ) — 1 г [[ [ — 1 (» 1 ~~ дг) ~Р ~ ыг) Й~ + + С,»з+ С,» 1п»+ С,»+ С,» '.