Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций, страница 9

Формулы и числовые результаты для пластин различных конфигураций можно найти в справочнике [23). ~ 6. Некоторые точные регпепия задач об изгибе прямоугольных пластин д дзш дзм дз(в ~ = О, то —,~ = О и второе условие дхз ~у=с, ь в виде Но так как 1Е(~а=о, ь можно также записать Граничным условиям можно удовлетворить, если представить прогиб в виде ряда ' (2.28) При этом граничным условиям при д = О, д удовлетворяет каждый член ряда.

Заданную нагрузку д (х, у) также следует представить в виде ряда Р (х, у( — ~ (, (х( ~1п — ' (пд (2.29) ' Наряду с излагаемым здесь методом решения в одинарных тригонометрических рядах для пластин, спертых по всему контуру, нспользу(от также решение в двойных рядах 1501. Это решение проще по форме, но получаемые с его помощью ряды сходятся хуже, чем одинарные. Одной из сравнительно немногих задач изгиба пластин, точное аналити((еское решение которых нетрудно получить, является задача о б изгибе произвольно н а- груженной прямоугольной пластины, две противолежащие отороны которой шарнирно оперты.

Пусть стороны у = О, д = Ь прямоугольной пластины (рис. 2.13) постоянной толщины шарнирно оперты, а закрепление сторон к = а/2 — произвольное (но такое, что граничные условия не зависят от (/). Граничные условия на шарнирно опертых краях у = О, (/ = Ь имеют вид Функции д, (х) определяются умножением обеих частей выражения (2.29) на з1п — ду и интегрированием в пределах от 1лу ь нуля до Ь.

Учитывая, что ~л ~, 'л ~ О получим ь о; (х) = — ~0 (х, у) з1п — ~ Иу. (2.30) о Подставляя выражения (2.28) и (2.29) в дифференциальное уравнение (2.9), получим независимые обыкновенные дифференциальные уравнения для каждой из функций 1",(х): . где штрихами обозначены производные. Общее решение дифференциального уравнения (2.31) склады- вается из частного решения Д (х) неоднородного уравнения и ' общего решения однородного уравнения: (х) — 2 ь,, ~ь (х)+ —, ~, (х) =О.

(2.32) Отыскивая решение этого уравнения в виде 1, (х) = е", получим характеристическое уравнение 12~~2 ~4т~4 о — 2 — о'+ — '=О а2 а4 1 которое имеет два двукратных корня о,,=а,; о,,= — а; а,= —, В соответствии и полученными значениями характеристических показателей решениями уравнения (2.32) являются выражения е ь", хе"'", е "~', хе "'. Удобнее вместо показательных функций ,, использовать гиперболические. Тогда общее решение дифференциального уравнения (2,31) можно записать в виде У ~ь (х) = ~, (х) + С~ с(т а~х + С2 зЬ а; х + +а,х (С,с(та;х+С,зла,х). (2.33) Постоянные С, входящие в выр ажения каждой из функций); (х), опре- л ' деляются из граничных условий при а а Рис.

2.13 Рассмотрим сначала пластину, шарнирно опертую по всему контуру и нагруженную равномерно распределенным давлением ц. Б этом случае (см. формулу (2.30)! ь 2 !', 1лу 2 1 — сов !л о, (х) = — д ! з1п — Йу= — о П о 4 1 при !' нечетном д, (х) = — „д —.; при ! четном д, (х) = О. Частное решение неоднородного уравнения (2.31) при постоянной правой части имеет вид Ь у, 44Ь Г (х) = —.

~'л' г! и О Ф при нечетном 1; Д'(х) = О при четном !. Так как закрепление пластины и нагрузка на нее симметричны относительно оси д, функции ~, (х) должны быть четными. Поэтому коэффициенты С, и С, при нечетных функциях х равны нулю. Таким образом, при ! = 1, 3, 5... ад~ 1 Г, (х) = —, —,, + С, сЬ а,х+ С,а,х э1! а,х. (2.34) При четном ! в выражении 1, (х) отсутствует первое слагаемое. Условия шарнирного опирания краев пластины х= 2 д~в ~ = Π— дх~ ! 2 к=~в будут выполнены, если каждая из функций Г, (х) будет удовлетворять условиям ~,( — )=О; а,, ~' ( 2 )=О.

(2,35) При четном ! условия (2.35) приводят к двум однородным уравнениям относительно С, и С, и, следовательно, в этом случае Г, (х) = О. При( нечетном постоянные определяются уравнениями — — +С с!1 — + С, — э)1 — '=О 446' 1 а!а а~а аьч т~ьй 1ь т 2 4 2 2 Определяя отсюда С, и С4 и подставляя их в формулу (2.34), получим 4464 1 Г Л~з1~ Л~+2си Л~,, а!хзй а1х 1 альт! у 2СЬ2Л, " 1 2сиЛ, сна! х+ ~ь ссра 1ла где Л!= — = — „; 1=1, 3, 5,...

. Таким образом, прогиб в любой точке пластины может быть вычислен по уравнению Л1 55 Л1+2сь Л1 (- ~1Х 1=1. 3, 5 агх 35 а1Х 51п а1У (2.36) 2сьЛ; 14 1Л . 1Ла где а1 = — ' Л1= — ° 1 — 5 Ряд в выражении (2.36) сходится очень быстро, и для подсчета прогибов с необходимой точностью достаточно удержать несколько членов. При этом целесообразно ось х направлять вдоль длинной стороны пластины. Максимальный прогиб в центре пластины х = 0; у =— 4д6' 11 1 (1 Х1 58Л1+2сЬХ1 '1 2 ~шах — ьр / 2сн5л, / 15 1=1, 3, 5 Для квадратной пластины, учитывая лишь один член ряда, соответствующий Л, = —, найдем 151 „= 0,00410 ~ (эта велил ф' чина только в третьей значащей цифре отличается от точной). Для вытянутой пластинки (а ~) Ь) второй член в круглых скобках каждого слагаемого ряда (2.37) становится несущественным и 4554 % ~ 2 8 дЬ' Я~ лЧ) 5~ 1 15 884 0 1=1.3.5..

Эта величина совпадает с прогибом шарнирно опертой балки длиной Ь с жесткостью В при нагрузке интенсивности д. После двукратного дифференцирования ряда (2.36) по х и у получаются выражения ОР д'в 245' 1Г1 г' сЬ а1х ъ 51п апу — — ~я хз11ах — Л 511Л дх5 лЧ) С~д ~ ' 1 ' ' сНЛ1 ) саЛ115 ' 1=1, 3, 5, ... 5 = а ~ НЛ1 511 Л1+ 2с11 Л1) с(1 551хв да15 2459 1=1, 3, 5 — с11 Л,и1х 511 а;х — 2 с11' Л,] ! Эти ряды также достаточно быстро сходятся и позволяют вычислить по формулам (2.6) изгибающие моменты. В частности, для 7! квадратной пластины (при а = Ь) ь 1 веецентре(х= 0; ц = — ) возникают моменты Мх = Му = 0%04/9Ф', В центре пластины с отношением сторон — .'~ 1 ь ////2 М = — М =иМ„.

и я > х 558 уь Рис. 2ля Ряды для приведенных поперечных сил Я; и 9ь' также являются сходящимися. В квадратной пластине эти силы распределены так, как показано па риа. 2.14. Следует отметить, что сумма ь всех распределенных реакций опоры 4 ) К ду превышает примерно о на 25% суммарную нагрузку на пластину дР. Это объясняется тем, что, как уже указывалось выше, в угловых точках пластины возникают сосредоточенные опорные реакции Я (см. рис.

2.14), равные по абсолютной величине удвоенным значениям крутящего момента М„. Лля квадратной пластины при р = 0,3 каждая из реакций составляет 0,065дов. Рассмотренный выше способ расчета можно использовать при произвольной нагрузке на пластину и при произвольном способе закрепления ее краев х = — — . 2 ' Еели при равномерной нагрузке д пластина на сторонах х = а — не оперта, а заделана, то изменяютая лишь значения постоянных фѻ, которые в этом случае должны определяться из уаловий и/= — 1— 4аЬ ~Л Г Х/ Са Х/+ яЬ Л/ сг/ сс/х + лье ~.1 ь сйх/ьйл/+А/ /=1, 3, 5, вь Х/ 1 ип а/// + „, ~,~~Ь ~/х ~ где значения и/ и Х/ такие же, как в формуле (2.36). Лля квадратной пластины, опертой по сторонам // = О, 1/ и заделанной по ато- В результате вычислений получается следующее выражение для прогибов ронам х = = —, максимальный прогиб в центре и „ = 0,00192 ~ Рассмотрим теперь пластину, опертую по всему контуру и нагруженную сосредоточенной силой Р в точке с координатами х = хр, д = др (оси х, д совпадают с краями пластины).

Интенсивность нагрузки можно в этом случае выразить с помощью 6-функций Дирака ' д (х, д) = Р6 (х — х ) б (у — ур). Разложим эту функцию в ряд по з)п — '. В соответствии с фор- Ь мулой (2.30) ь д;(х) = — ~д(х, д) з1п — „У дд= о ь = — 6(х — хр) 1 6(У вЂ” д,) з)п — дд, рР Г ю'лу Ь Ь о Подынтегральная функция в этом выражении отлична от нуля только при д = др. Поэтому ь ар+а 1лу г 1лу . )лур о(У вЂ” У ) з1п „"У= ~ о(д — Ур) з)п — Ф=-з1п Ь о ур-е следовательно, ар 1лур д; (х) = — з1п — Р б (х — хр). Ь Ь Итак, дифференциальное уравнение (2.31), определяющее функцию 1, (х), получает вид (х) — 2аД (х) + аД (х) = — з1п —,р б (х — хр).

(2,38) Как видно из уравнения (2.38), функция 1", (х) имеет в точке (х= хр) особенность. Характер этой особенности можно установить, если принять во внимание, что сама функция и ее первая производная непрерывны, так как разрывы )', или — „~, означали бы ' Дельта-функния Дирака — функция, равная нулю прн всех значениях аргумента, кроме нулевого. При х -+ О, 6 (х) -+ со, причем ~ 6 (х) 4к 1. ! 2Р ~~~Ур 6(хр+ ) — 6.(хр —.) = —,з1п —,. Следовательно, при х хр третья производная функции )', (х) 2Р . ~~Ур претерпевает разрыв величиною =з1п — .

Общее решение ьв ь.: ' уравнения (2.38), удовлетворяющее этому условию, имеет вид ~,(х) С,сна;х+С,з)1и,х+я,х(Сзс)1а,х+С4зйя„х)+ $пУр ь з!и— + 1и~ (х х, )сЬа (х хр) зЬи; (х хрЦ, 01 где последнее слагаемое следует учитывать лишь при х~ хр. Постоянные С«(й = 1, 2, 3, 4) находят из граничных условий при х = О, а. В результате получаем аледующее выражение для прогиба: <о РЬ« чсЧ у Х1 сЬ Х1 й 71 ~8Д 1=1 т~ сьт~ — й т~ ) йХ~ — и,хая,х+ (и,(х — хр) сна,(х — х,)— й тг йХ; в1п а~ур — зЬ а, (х — хр))),, з1пя,у, (2.39) где ся Еда Еи (и — хр) Я~ ь 1 )'~ ь ' 7~ ь 1 слагаемое, заключенное в квадратные екобки, еледует учитывать только при х «) хр.

В частноати, в точке приложения вилы (х = хр', у = ур) про- гиб я)2 ч~ ч зш ЮФр йц~ й ~~ йт~ т~ й~ Д~ — р~ й з ~~~ .з й«4 Э с=~ Хр где р, 1㫠—. ь Этот ряд быстро еходитая, и для вычиеления прогиба доетаточно удержать несколько первых его членов. разрывы в прогибах или углах поворота нормали к срединной поверхности. Поэтому, интегрируя почленно уравнение (2,38) от хр — е до хр + е, где е - О, получим Если нагрузка приложена на оси симметрии х~ = —, то а Х; у,.

= р, = + и прогиб в точке приложения силы определяется по более простой формуле РУ ~~ ~ Ь 1,, 1„,. 81п'и;Ур П) =— л0 ~=1 Для квадратной пластины, нагруженной в центре, Х,. = Ь, Ел а,ур = —, и вычисление дает и „=-0,0116 —. Сравним эту величину с прогибом нагруженной в центре круглой пластины, имеющей радиус, равный радиусу вписанного круга = — (см. ~ 2): Ь (з+МР ЫО 16Ж(1+р)В При у=О,З жо — — 0,0126 о Таким образом, опертая по контуру прямоугольная пластина 'оказывается более жесткой, чем круглая (кроме случая 1ь = 0,5).

Для пластины, нагруженной сосредоточенной силой, ряды для аъ а' вторых производных —, и — „получаемые дифференцированием ряда (2.39), сходятся плохо и непригодны для вычисления изгибающих моментов, а ряды для поперечных сил расходятся. Это является очевидным следствием того, что в точке приложения сосредоточенной силы- изгибающие моменты бесконечны. Возникающая здесь особенность имеет тот же характер, что и при нагружении круглой пластины сосредоточенной силой в центре (см. гл. 1, ~ 2).

Этим обстоятельством можно воспользоваться, чтобы исключить особенность и получить формулы, допускающие дифференцирование. Рассмотрим наиболее простой пример квадратной пластины, нагруженной в центре силой Р и шарнирно опертой по всему контуру. Представим решение уравнения изгиба пластины в форме ~а = ~о+ и'~ + п~ь (2.40) где и, — решение неоднородного дифференциального уравнения, отвечающее нагружению пластины сосредоточенной силой; ы,, и и~ — решения однородного дифференциального уравнения, (г "1 / хй + Р2) Входящие в это выражение постоянные С„С определим так, чтобы выражение (2.41) удовлетворяло условиям в, = О, д~з„ д ~~„ а = О, =" О в угловых точках плаатины ~ х ~ = ( у ~ = —. Ц' 2 Первое ив этих условий приводит к равенству С, + С, а 2 2 =О д ао Бычиалим производную —,,", учитывая, что в, зависиг только от г. Тогда диь йо, дх да, х ~ ~ г)~2 дх дх дх дг ~ ~' 8дВ ав — 2С,х+ — 2х 1и — + х — 2С, + — ~2 1п — + 1+ 2 —,, ), х'1 Аналогично дх ~ — 2С + — 2 1п — + 1+2 — ), д а'О д юю Условия равенства нулю з;, †' и — " дх~ др~ Р Р ах выполняютоя при С., — —; С, 8ЫЭ' 1 8пй 2 ' в угловых точках Функция ы; получает вид ( х г'г'2 а~ (~, 8юЮ 1, а 2 /' .орда д~в„Р / гР 2 х' — = — ~21п — + 2 — — 1 дх~ Ял0 ~ а данжо Р ( «Р2 д~ — = — ~21п — +2 — — 1» ду~ 8а0 ~ а г~ подобранные так, чтобы выполнялись граничные условия.