Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций, страница 4

сч 1 соаъсосча 3О ~сч ь ОЪСО1 1 3ОЪОЪО 3' 'Ф СО СОСЧСЧСЧ со! Со с3ъь счмч !оса г со Оъь счмч !ось г соаъю ЪО о о~ съсо со о!оса!а!о О со са3-3-3.-~ 3.-3--4" г" 3--3 со ьь ь ьььььььь ь ь ььььььюь ь ььь ~й Я с Й ЪО СЧО СО 1 СОСО 1' СО С4 ЪО ОЪ СО 1 О СОС.-Л ЕЪ СЧО СО СЧ С4 С'4 С'4 СЧ С 4 1 о 1 СЪ й Ч' ЪО 1" 1О 1 сО МС Ф СО ЪС' ОЪ СЧ 1 СОСЧ СО С 1 О 1' ОЪ 1 СЪ "1' СО С1 С4 с. 1 Ю 1 о Сч ЮрсО ЪО 3 Ч~С4 О с 1 Ю 1 Ю СО С СО СО Ч' СО СЧ СЧ съ Ю с- с са О Сч ОЪ ЪО СО О й ЯЯЖ Й ЙВ йй ИБ О Я $3 8 В Й $ Я о ооо о оо оо оо о о оо о о о о ОЪ 1 ОЪ Ъ.О ОСЧ СО о с С'4 ОЪ СЧ СО Ч' СО «3' о сч ъа 'Ф СО О4 СС СЧСЧ -Ю О Сч СО ССО СО СО СО СОС СОСО Ч'СО ОЪ ОЪ СО СО СЧ О О СО 1-.

СЧ СО СЧ СЪЪ 1.О Ю СЛ СО ОЪ СО ЪО Чо О СО ЪО СО СЧ С'Ъ 1 'Ф СЧ С- Сч" СЧ С'. СЪ 'Ф СО с' ч" С'Ъ СО СО Ь 3 Ю 1О ОЪ Ю 1' 1' где Ф ~ (г, га) = — '-'лг~ — Фр (г, гь) = —, (г' — га). О 2 т дгь ' 2р При -этом Ф (г г) 1 ~г' — г~ Я)п гь / Ф„, (г, гь) †, (г' + г~а). В отличие от случаев распределенного давления и распределенной по окружности силы, при нагружении моментом величина — = — — Ф (г, гь), ~Ю~ шь при г = г„равна не нулю, а — — ~. Это соответствует скачкообразному изменению внутренних моментов М„М, в сечении, где приложен внешний момент.

Следует иметь в виду, что при отногпениях гlг„, близких к единице, вычисление функций Ф„Фр и их производных должно выполняться с высокой точностью, так как соответствующие , величины представляются малыми разностями близких чисел. Для облегчения расчетов составлена табл. 1.1, где с четырьмя значащими цифрами представлены безразмерные отношения этих функций к различным степеням текущего радиуса. Независимой переменной служит отношение внутреннего радиуса участка к текущему. Рассмотрим пример расчета пластин с несколькими участками и помощью изложенного метода.

Пример 1.б. Определить изгибающие моменты, напряжения и прогиб для пластины„изображенной на рис. 1.!5. Пластина нагружена давлением д = — р и распределенной по окружности радиуса За реакцией кольцевой опоры чи Р = рл 1(4а)а — (2а)а) = 12лраз. Направив ось г вверх, мы бу. дем считать давление р отрицательным, а реакцию Р положительной. Пластину разобьем на три участка 1) и ~ г ( 2а; 2) 2а чс г:. Зп! 3) .За(г~4а, р На первом участке внешняя нагрузка отсутствует, и угол пово8а рота определяется только решением однородного дифференциального уравнения Рнс, 1,16 6 С,г+Саг х. б' = Стг + Сзг 1+ — Ф (г, 2а). 0 На третьем участке следует дополнительно учесть и силу Р = р 12паз, приложенную на окружности радиуса га = За; поэтому Ю= С1г+Схг + — Ф (г, 2а) — — Фр (г, За); р ! 12праз это выражение для последнего участка содержит в себе н выражения для всех ': предыдущих участков.

Поэтому можно использовать и такую запись угла по', ворота: (( с,~ + с~' |р, + — О (к 2 ! ~ — ~в- — Ф„' (, ! (, (1 32! з где вертикальные линии показывают, какую часть строки следует использовать : для данного участка. Значения постоянных Ст и Сз следует определять из следуиицих граничных : условий: 1 (г а О1 Л'1 (г=4а Изгибающий момент м! О(-а-+! — ), ((О (лиричен при вычислении — следует использовать обозначения производч(ных от функций Ф', т. е.

~В з р - ! 19пра' — = С1 — Сзг ~ з +-т -Фч (г, 2а)~ — — )~— '-Фр (г, За). (1.33) Так как граничное условие М1 ~ = О сформулировано на первом участке, .;:ури его расшифровке следует учитывать лишь те части выражений (1,32) и (1.33), орые относятся к этому участку. Это приводит к уравнению С,(1+в)-С,(1-м) - =О.

(1 Л4) Граничное условие при г = 4а относится к последнему участку, и при его ,'дзасшифровке следует учитывать выражения (1.32) и (1,ЗЗ) полностью, Получим С1 (1+ р) — Сз (1 — р) (4а)=- + —. ~Ф (4а,2а)+ — Ф (4а 2а) 1:1 ~ ч ' 4а !2пра' Г (Фр (4а За)+ 4 Фр(4а За)~ О (1.35) 31 На втором участке следует дополнительно учесть нагрузку () = — р; в соот. -' яетствин с формулой (1.24) получим при 2а ~ г ( За !!з табл.

1.1 находим (все вычисления выполнены на логарифмической линейке): га для г = 4а; га 2а; — 0,5 г Ф (4а, 2а) = (4а)з 1,527 10 з 0,976аз;- Фц (4а, 2а) = (4а) 8,558 10 ~ = 1,37аз1 для г = 4а; га = За) — = 0,75 Ф! (4а, За) = 4а 5,485 10 ~ = 0,0219а; Фр (4а, За) = 4,030 10 Подставляя зти величины в граничное условие (1.35), получаем (полагая )г = 0,3) 0,7 да' 1,ЗСт — — ' Са — 0,140 — = 0; (4а)з ' 0 добавляя условие (1,34) 0,7 1,Зф— — ' С =О, аз найдем Ст а= 0,115 —; Сз = 0,21 ~ —, Далее записываем общее выражение для прогиба г и= Сз — С! — — Сз!и — ~ 2 а )зи — — Фс (г„2а) ~ + — — Фр (г, За). 'р ! 12пра' В " " ~зо 0 Постоянную Сз определяем из условна ю), з — О, откуда С, = С, +,Сз 1п 3+ — Фс (За, 2а) = 0,790— где значение Ф (За, 2а) = (За)' 4,395 1О ~, получено интерполяцией (йм.

табл. !.1). В табл. 1,2 приведены значения в, И О, —, Мт и М в характерных точках пластины Таблица !.2 и но па' ~Р~ — е 0 да э и — Ю ра4 1 а 0,733 0,412 0 — 0,652, 0,329 0,337 О 555 0,666- — 0,099 0,058 0,485 — 0,053 0 0,109 0,540 0 0,300 0,186 0,330 0,152 Рис. 1,16 Форма изогнутой поверхности пластины н графики изменения нзгибающнв моментов приведены ва рис. !.16. Наибольшие напряжения возникают в сечении пластины над кольцевой опорой. 6М аз пт н,нх — — -~- = 3,24 — Р1 и ' ьн 6Л4н аз онвцп = = 1М Р Ьз ' Ьз $ 3.

Изгиб пластин, состоящих из нескольких участков постоянной толщины у(г) = (тп, д. Мтг). Заметим, что три компонента вектора у (г) полностью опре '='вселяют перемещения и напряжения в сечении, так как изгиба. :,=ющий момент М, с помощью соотношений упругости (1.6) можно :: выразить через М, и д, т. е, Мз — — рмт+ и (1 — ц') —,.

и б (1.361 Так как общее решение дифференциального уравнения изгиба пЛастины содержит три постоянных интегрирования (Сз и С, в выражении для д и С, в формуле для прогиба), то, зная вектор состояния у (г,) в какой-либо точке (г = г,) пластины, можно . найти зти постоянные, а следовательно, и значения вектора 2 в. л, ьнаермнн 33 Лля каждого „участка пластины может быть использовано общее решение вида (1.19). с(ля того чтобы упростить стыковку .

решений для смежных участков и упорядочить процесс вычислений, целесообразно использовать метод начальных параметров в форме матриц перехода. Суть этого метода такова, Для каждого характерного сечения пластины вводится вектор состояния, компонентами которого являются перемещение тп, угол поворота нормали б, произведение : момента М, на текущий радиус г; Ж'. (1,39) ' 1 1 Г ЬЫ.г ~ г~ ,1Рф и При этом остальные компоненты вектора у* связаны с 6~ зависимостями Р а* — 1дд~~ (гм,) В( — +рб*).

и Определим элементы матрицы перехода М (г„г,). С этой целью выразим значения постоянных С, (Г = 1, 2, 3), входя- щих в общее решение однородного дифференциального уравнения, через величины основных неизвестных (ц~, О, М,г) на внутренней Границе участка. На данном участке (г, ~ г ( г,) решение однородного диф- ференциального уравнения выражается формулами б С,г+С,г ', я г г' -г', = — ~Ой+С.,=С,-С, -С,)ив 2 г Г~ (1.40) а, ' 0 ( — ~- р~) о ~с, ~~+ р~ — с, ~~ — р> г'~. й.'д состояния в любой точке.

При этом компоненты вектора состояния у (г) в произвольной точке линейно (в связи с линейностью задачи) зависят от компонентов вектора у (г,). В .общей форме линейную зависимость между векторами состояния при г = г, и г г, можно записать в виде у (г,) = М (г,, г,) у (г,) + у*, (1.37) где М (г~, г,) — матрица (ЗХЗ) перехода; у~ — вектор частного решения для данного участка. Формула (1.37) справедлива при произвольной нагрузке на участке пластины г, ~ г =.= г, и, в частности, при отсутствии нагрузки. В этом последнем случае (однородная задача) формула перехода получает вид у~ (г~) = М (гм г'а) уь (г~) (1.38 (иидеке 1 относится к однородной задаче), Положив в формуле (1.38) г, = г~, находим, что при г, = г М (г» г~) = ! (единнчная матрица).