Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций, страница 14

(2.99) Из условия стационарности В вледует, что функция 1(х) должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера дФ с~ д6) Дс дш — — — —,+ — — „=О, д1 (ь ф1' бх~ д1" (2.100) У. Граничные условия, наложенные на функцию 1"(х), зависят от способа закрепления краев пластины х = 1. В случае заделки этих краев граничные уаловия таковы: й при х= — 1 1(х) 0: 1' (х) 0 (2.101) Рис. 2.28 юз Постоянные С, и С, найдем из условий при х = 1: ~ (х) = = 0; ~'(х) = О.

Определив постоянные, получим следующее окончательное выражение для прогибов: б1Нй 1 асИа1з1и р1+рвИа1соз(31 + 24Р с асов Р1 взи р1+ 13сИ а1вИ а1 +авьа1созр1 — РсИа1в!и ~31 1 1 1 ~ 1 1'1 ~У асов р1яи р1+рсьа1вИа1 ! ~ Нз / Максимальный прогиб в центре пластины (х = О; у = 0) а сИ а1 в1и р1+ 13 зИ а1 сов р1 1 а соз 1 в!и ~31+ р сИ а1вИ а1 оНй Крах =,4р Так как а1=2,073 —, р1'=1,143 —, то для удлиненной пла. Н' стины (1 )) Н) второе слагаемое в формуле (2.107) становится пренебрежимо малым, и мы получаем днй 1 О (2Н)б И) 24Р 384 Р Это зйачение прогиба совпадает с точным.

Для квадратной пла. атилл (е = и = — ), дла которой фор ула тй.107) дает ааиболь. шую ошибку, получаем, полагая а1 = 2,073; рЯ = 1,143, пййзйк 24Р 0,487 = 0,00127 — > оНд о ай что лишь на 1 % отличается от точного значения. Таким образом, применение метода Л. В. Канторовича позволило получить формулу, дающую хорошие результаты при раа. чете прогибов пластин с любыми соотношениями 1/Н (при 1 ~ Н). Вычислим величины кривизны и изгибающих моментов в цеп.

тре пластины. Для длинной пластины (1 )) Н) получаем д ие дйуйу оНз оозз — 0; — — = —. В этом случае результат вновь совпа. дкз ' др~ бВ 24Р ' дает с точным. Интересны результаты расчета моментов для квадратной пластины. Так как зависимости прогиба ы от х и й различны, то получаются различающиеся на 15% значения кривизны.' д 0 0178' Р ' д ' 0 0204 Р дзуйт оаз . дзбо оаз В дейс1вительности, по еимметрии эти величины должны быть одинаковыми. Так как зависимостью и (у) мы задавались, а зависимость и (х) получена в результате минимизации энергии аистемы, последняя является более доатоверной.

Полагая поэтому при ж=д О а~э дйы а~ — — — 0,0178 ~. получим М М„= 0,0178 (1+ р) суа~, что совпадает е точным значением. Из рассмотренного примера видно, что е помощью метода Канторовича при удачном задании Ч~(у) можно получить высокую точность не только при расчете прогибов, но и при расчете изгибающих моментов. ~ 9. Нелинейные задачи изгиба пластин Изложенная в гл. 1 и в предыдущих параграфах данной главн линейная теория изгиба пластин справедлива лишь при малых по сравнению с толщиной пластины прогибах. Основной причиной, ограничивающей применимость линейной теории, является то обстоятельство, что усилия, возникающие в срединной поверхности при больших прогибах, начинают сущеатвенно влиять на изгиб пластины.

Влияние это становится заметным тогда, когда указанные усилия достаточно велики (существенно больше поперечных сил), Здесь имеетея аналогия с продольно-поперечным изгибом стержней. (Влияние продольных сил в стержне на его изгиб существенно только тогда, когда продольные вилы по порядку величины сравнимы с критической силой). Поэтому при изучении нелинейной теории изгиба пластин при больших прогибах мы будем считать силы, возникающие в срединной поверхности, большими по сравнению е поперечными силами (так как в противном случае еправедлива линейная теория).

В линейной теории предполагалось, что точки, лежащие в срединной плоскости пластины, перемещаются по нормали к этой плоскости. В нелинейной теории учитываются также проекции и, э перемещения точек срединной плоскости на оси, лежащие в этой плоскости. При этом, однако, предполагаетоя, что проекции малы по сравнению о нормальным перемещением й. (и~ (< )в~; ~э~ (( «! ! Последние предположения ограничивают величину прогибов, при которых справедлив излагаемый вариант нелинейной теории. Однако в отличие от линейной теории, справедливой только при прогибах, малых по вравнению в толщиной плавтины, нелинейная теории справедлива при прогибах, малых по сравнению в размерами пластины в плане.

по Аналогично, удлинение срединной поверхности в направлении у й ! / до~'. 6:Ю — + — в У дд 2 ~ ду ) (2.109) Чтобы найти Угол Х междУ отРезками А,В, = сх (1 +ах) и А,С, = ду (1 + з„) на деформированной срединной поверхности, вычислим скалярное произведение векторов А,В, и А,С,: пх (1 + ах) пу (1 + 3 ) соз Х = ди ди Пренебрегая ех и ер по сравнению с единицей и— ди дэ по сравнению с — — , найдем дх ду ' дГ/ д0 дх ду ди до дв дв созХ= — + — + — —, дд дх дк ду ' До деформации отрезки ~Ь и йу составляли прямой угол, поэтому угол сдвига у,„определяется равенством 7 = — — Х = з1п —.— Х) = соз Х.

хр 2 Итак, деформация сдвига в срединной поверхности 7 = + + ди до ди дв ха д~ дх дх д~ (2. 110) Из уравнений (2.103) — (2.110), определяющих деформации срединной поверхности, можно исключить тангенциальные компоненты перемещения и, о: Таким образом, получим следующее уравнение совместности 'деформаций: Величина, стоящая в правой части равенства (2.111) в прямых скобках,.представляет собой гауссову кривизну деформированной поверхности пластины (см Ч 19). 112 или, после дифференцирования в правой части и приведения подобных членов, Лля определения деформаций в слое плаатины, находящемся на расстоянии з от срединной поверхности, к деформациям е„ е„у„у нужно добавить величины деформаций, связанных о искривленйем срединной плоскости. Эти.деформации выражаются через углы поворота нормали по формулам (2.3), причем ввиду малости перемещений и, и углы поворота связаны только () перемещением и , авнсимостями (2.1).

Хаким образом, полные деформации в слое, отатоящем на а от арединного, определяются зависимостями (г) д Ф (г) дг(() Вх = 8 — — е' 8 =~ 3 — 2' х дг ) д у дг 1 х уху =7гу (г) (2.112) Напряжения, возникающие в сечениях пластины, авязаны с деформациями соотношениями закона Гука, Приводя эти напря. жения к срединной поверхности пластины, можно обнаружить, что в отличие от случая малых перемещений в сечениях пластины возникают не только изгибающие и крутящие моменты, но и нормальные силы Т„, Т„и сдвигающая о„„. Силы и моменты (отнесенные к единице длины сечения врединной поверхности) составляют; 2 Т, = ~ а ((г =, (е,+((зг); Е)) у дг(6 дгв ~. ° М = ) о.г((г — Р ~ — +)( — )' ~ дхг дуг ) ' Т„= ~ о„Иг —, (ау+ ((вх) Е)( (2,113) 1 д'э дгж ъ М =* 1 па((г= — Р~ — +Р . ) у = ~ ду д((')' 2 даги хи ~ ха (1 Р') дхд ° Л 2 Кроме того, в сечениях х = сопз1 и у = сопз( возникают поперечные силы 9„Я„, которые, как и в линейной теории, могут быть определены только из условий равновесия, Расемотрим сумму проекций сил иа направления осей х и у в срединной поверхности.

Соответствующие уравнения равновесия имеют вид дТ д5„» даиг — '+ — "" — Ю вЂ” = 0; дх ду » дха '(2.114) — + —. — (~ — = О. дТ» дЮ»„дага дд дх г дуа Последние слагаемые в этих уравнениях представляют собой проекции поперечных еил, возникающие вследствие того, что грани деформированного элемента ох г(у повернуты относительно друг друга (рис. 2.30).

Усилия в срединной поверхности Т„, Т„, Яаи влияют на изгиб пластины только в том случае, если ойи существенно больше поперечных сил. В противном случае справедлива линейная теория изгиба. В уравнениях (2.114) поперечные силы множатся на малые кривизны изогнутой пластины, поэтому последними слагаемыми можно пренебречь (сравните с изложенной в ~35 теорией пологих оболочек) и записать эти уравнения в виде — + — =О; дТ„Ы„ дх дд — + — О. дТа дЗ»а ду дк (2. 115) Рассмотрим теперь сумму проекций приложенных к деформированному элементу сил на нормаль к срединной поверхноити. ,г„„ дх ди дя — "и» Рис. 2.3! Рис.

2.3В Проекции на нормаль дают не только поперечные еилы (как в линейной теории), но и силы в срединной поверхности. Так, силы T„ир н (Т, .р — „Пи) Пр, приложенные н прогииолежещин гре. дТж д'це ням элемента, повернуты отноеительно друг друга на угол †, дх щи дРррр и поэтому дают проекцию на нормаль ҄—, дх ду, Точно так же вилы Тр Нл дают проекцию Т,—, р1х оу.

Силы 5, оу и (В,„-~- дРро Р ду +-~ — бх ду повернуты отноаительно друг друга на угол дджд дРор дРррр дх ду — й~, их проекция на нормаль равна Я,„д д дх Нд (рис. 2.31). щУ дхду Такую же проекцию дают едвигающие вилы, приложенные к граням элемента йх. Таким образом, суммарная, проекция сил, действующих в арединной поверхности элемента дх Йу, на нормаль к элементу равна К этой величине надо добавить проекции поперечных сил и нагрузки, которые определяются так же, как в линейной теории.

Таким образом, уравнение проекций на нормаль к деформированному элементу получает вид + у"-+Ч+Тх д р +Тц д ~.+2Яхдд д =О, (2.116) Ж дну д'ррр д Рррр д'ррр Уравнения моментов такие же, как в линейной теории. — + — — 9 О; дМж дМхд дх ду (2.117) Уравнения равновесия (2,115) можно удовлетворить тожде» етвенно, введя вспомогательную функцию усилий ф (х, у) и положив Далее, воспользовавшись уравнениями упругоати, выразим деформации срединной поверхности через функцию усилий: 1 1 лг д~-ф дРе)р Рр е = — (Т вЂ” рТ) = — ~ — р — ~,' ЕЬ " У Еа (~ с~у~ дхР )' ! 1 / У1~р дрор ъ, в — (Т -рТ)= — ( — — р — )' Яа . РР х ЕЬ ( джаз ' дуР ! 1!5 2(1+ф ~ 2(! + и) д~'ф 7хУ вЂ” а ~д = — Па д— ,. ду ° Полагая й = сопз(, подставим зти выражения в уравнение совместности (2.111); тогда получим нлн, вводя обозначение 7' для оператора Лапласа, Второе уравнение, связывающее функцию усилий и прогибы, найдем из уравнения равновесия (2.11о).