Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций, страница 17

Поэтому при создании несущих оболочечных конструкций всегда стремятся обеспечить их работу в основном как безмоментных. Этим определяется большое практнческое значение безмоментной теории. Существенно также отметить, что при увеличении нагрузки на оболочки, выполненные из пластичейкого материала, роль изгибных напряжений внижается за счет пластической дефор- 132 -Ф+" = —,'. ~о(++ — ''~)]+ "=о5~- (точками обозначены слагаемые а младшими производными).

Подставим значение д по (3.30) и также сохраним лишь старшие производные; тогда 1 ~1 ГгГГ! Фд„Г! Р (ь) Из 4' / 1 — — (® — —,а ~4 + еь 2" '9 й' д )+ °" (3,33) 1 Пренебрежение величиной — — (Яг) в уравнении равнове~й сия (3,24) оправдано только в том случае, если величины, входящие в выражение (3.33), малы по сравнению с сохраненными Т, г(ы) 1 в уравнении равновеаия членами д,, и — ' = д, 2ж вша Таким образом, получаем еледующие условия применимоати безмоментной теории: (ЩФ)«~в~: (3,34) %4(+)~«~Ы (3,35) Соотношение (3.34), которое можно поале подстановки значения Р перепиаать в виде ! ~(« где постоянная С характеризует осевое перемещение оболочки как жесткого тела, После подстановки выражении О и интегрирования по частям, Формулу (3.31) можно привести к виду (; = С вЂ” $ с 1~ В + ~ ( з, — — ' з, ) (з1п 6) ' йз.

(3.32) 1 Приведенный ниже анализ полученного решения позволяет установить, что область применения безмоментной теории ограни- чивается оболочками с плавной конфигурацией меридиана прн на- грузках, медленно изменяющихся вдоль меридиана. В самом деле, в безмоментной теории пренебрегают слагаемым — — Яг) в уравнении равновесия (3.24). Оценим относительную роль этого слагаемого., выразив по уравнению (3.25) Я через моменты, а моменты — через перемещения по без моментной теории.

При вычислениях сохраним лишь старшие производные от нагрузки д, и кривизны 1Я,. Имеем 1 д дЯ д Г1 а совзт — — Ф) = — + " = — — — (м «) — м —" + " ° = Г д5 4ь 481 г бв $ Рис. З.т Рис.' 3.8 ограничивает изменяемость нагрузки, при которой можно исполь. зовать безмоментную теорию.

Если предположить, что нагрузка ':: меняется по закону д„= Се~', то равенство (3.34) накладывает :: ограничение на модуль показателя у (который может быть ком- 1 плексным), т. е. ~ у ! (( =. 1~2а 1 Как мы увидим далее (см. Ч 14), величина показателя )~ й,ь '- характеризует изменяемость краевого эффекта, возникающего при :. самоуравновешенной нагрузке края оболочки. Поэтому сильное .,:неравенство (3.34) можно интерпретировать так: точность расчета , оболочки по безмоментной теории удовлетворительна, если на'грузка на нее изменяется вдоль меридиана существенно медлен:;-нее, чем краевой эффект. Неравенство (3.35) накладывает аналогичное ограничение :.'.на изменение кривизны меридиана по его длине.

Отметим, что ':соотношение (3.34) не может быть выполнено в области оболочки, с '''в которой радиус кривизны )с, = . очень велик. Так, з1п а '::в частности, это соотношение не выполняется вблизи точки 0 = О .торообразной оболочки (рис. 3,7). Поэтому в окрестностях этой 'точки безмоментная теория неприложима, что следует и из того, что осевая нагрузка на оболочку может быть воспринята только ''поперечной силой в сечении 0 = О. Лишь в частном случае на'гружения, когда осевая нагрузка на часть оболочки, ограничен::ную окружностями 0 = О, я, уравновешена, внутренние силы для такой оболочки могут быть найдены из уравнений безмоментной :теории; однако и в этом случае перемещения не могут быть определены, так как интеграл в формуле (3.32) расходится вблизи точки 0 = О.

Наконец, для того чтобы безмоментная теория была справед'лива для всей оболочки, закрепление ее торцов не должно проти:,воречить этой теории. Как опорные реакции, так и заданные на краях оболочки нагрузки должны быть направлены по касательной к меридиану. Ниже будут рассмотрены некоторые частные случаи и примеры расчета оболочек на основе безмоментной теории. Расчет днищ, нагруженных постоянным 'мха в л е н и е м (рис. 3.8), В этом случае осевая нагрузка, 135 воспринимаемая частью купола, Ограниченной параллелью радиуса г, Е (з) = рпг'.

По формулам (3.27) находим 2лг з1пй 2 Мпй 2 (3.3 3.36) т,-д„Д,— т,— ' =~я,~~1 — '), По этим формулам можно определить усилия пря различных конфигурациях меридиана. Для поверхности вращения второго порядка ()адиусы кривизны можно пвязать с углом О выражениями (см. 140)) (1+ т в(п~ й) ~ (1+ т ипз й)~~ где Я, и 7 — постоянные. Нетрудно проверить, что выражения (3.37) удовлетворякл тождеству (ЗА). Само же уравнение меридиана оболочки можно й Ы найти, интегрируя уравнения — ' = воз О; — „= з)п О а учетом д5 соотношения — = йт. д3 Таким образом, можно уптановить, что в координатах Л, г уравнение меридиана таково: к~ (х — с)~ —.+ — = 1 а~ ' Ь' Ио и где а = ='; Ь = — '„и, следовательно, у = — „, — 1.

В зависимости от значения параметра у уравнение описывает различные поверхности вращения. при у > — 1 — эллипсоид вращения а полуосями а, Ь (в том числе при у = Π— сферу), при у = — 1 — параболоид ' — 2Я,(Я вЂ” С) =О, а при у < — 1 — гиперболоид вращения, уравнение которого г (г — С) — — 1, а'2 Й, ., ~й Тат! — > Подставляя значения радиусов кривизны (3.37) в формулы (3.3б), устанавливаем, что для оболочки вращения, меридиан которой представляет собой кривую второго порядка, интенсив- ности усилий определяются формулами Рда 7 = — рй,=— ) 1+ т Мп'й )(; ( ! --; з1П'Лй 7 -р~ ~1 — — — '") = —,р~, 2 Я~/ 2 )~1 ~) (пзй е1 — — —, (71 — рТ~) = — „(1 — 2р) з сф О; Р еу — (т, — Рт,) — — (2 — р) я сФО р Максимальные найряжения и деформации возникают у основания конуса при з 1.

Далее определим радиальное перемещение сов'„'О $ = ге, = — (2 — р) —." з, 2ЕЬ ьшО угол поворота нормали О= . ~е,созΠ— — )== —,— (и О 1 з р згаО ~ й~ 2 Ей и осевое перемещение ~ = С+ ~ (е, з1п О+ д соз О) сЬ С+ — ',„(1 — 2(г — Зс1д'О) У соз О. Полученное выражение для угла поворота д позволяет оценить погрешность безмоментной теории в данной задаче.

С этой целью вычислим параметры изменения кривизны ' срединной поверхности: хт= — = — — ' — с(я' О, О р ~Ь 2 ЕЬ О сов О О хя — х,. Я Максимальные деформации, возникающие в оболочке в евязи а ее изгибом, е + х,— + — — с(и О. е з р 2 4 Е Сопоатавляя эту величину а максимальными деформациями Ь растяжения, например е, видим, что нх отношение 3' Ь ! еа птах! 2 (2 — И) Отсюда видно, что погрешноеть, связанная е игнорированием изгиба, аущеатвенна только для очень пологих оболочек, полная высота которых Н=(х Х яп О имеет такой же порядок, как и толщина стенки Й. Усилия в нагруженной поатоянпым давлением торовой оболочке 1рио.

3.11, а) могут быть рассчитаны на основе без- Рис. 3.11 ~за моментной теории (в этом отношении нагрузка давлением является исключительной). Усилие Т, может быть найдено из условий равновесия сегмента оболочки (рис. 3.11, б): Тт 2лгз!п0= Рп(га — Ь'), р г2 Ьа . откуда Т, =— 2 г з!и 0 ' Учитывая, что г = () + а з)п О, представим Т, в виде т р 2Ь+а ПО 2 Ь+а з1п О Усилие Т, найдем по второй из формул (3.27), подставив в нее Ь йт=а; йя=а+ —. з1п 8 Р~ 1 т,=рв,— т,— = — р, 2 Радиальное перемещение $ может быть вычисленгг обычным способом, т. е.

г с = г еа = —, (Т, — )ьт,). ЕЛ Однако при попытке вычислить осевое перемещение ~ выясняется, что интеграл в выражении (3.32) расходится, так как подынтегральное выражение при 0 0 стремится к бесконечности 1 как —,. Отсюда следует, что в области вблизи точки 0 = О без моментная теория не описывает напряженного и деформированного состояния торообразной оболочки даже при нагрузке давлением. Рассмотрим примеры расчета оболочек. Пример 3.1. Расчет сферического резервуара, заполненного жидкостью, Резервуар (рис. 3.12), покоящийся на кольцевой опоре А, полностью заполнен жидкостью, имеющей плотность р.

В верхней точке резервуар сообщается с атмосферой. Вычислим сначала вертикальную силу г" (а) давления жидкости на часть оболочки, выделенную окружным сечением радиуса г. Выражения этой силы для сечении., проведенных в верхней (О<я и/2) и нижней (О ) и/2) частях резервуара, различны. Давление жидкости в точке, определяемой углом Оь о„= ряб (1 — соз От). В соответствии с формулой (3,23) для верхней части резервуара г (а) = ~ д„соз 8, 2пг с(з.

Подставляя в это уравнение значения ~)„, г= = )с з!п Оь с(а = )т ИОь найдем в Р (а) = руЯа 2п ~ (1 — соз В ) соа 01 аш О 081 = о 2 = пряЯа- аш'  — — (1 — сова 8) 3 Рис, 3.12 Для нижней части резервуара к нагрузке, обусловленной давлением жидкости, добавится реакция опоры, равная зес) всей жидкости, рп — пЯа (соб- 4 ствеиьым весом резервуара пренебрегаем). Поэтому при й~ь 2 2 Р(з) = прдИ ~ в1п'6 — — (1 — созз 0)1[ [- — прдЯа =* 2 -~Ф [ ~" ~-~ — ', ('-~- ь).

По формулам (3.27) определяем усилия. При бтров 2 Р(з) Р(з) рдЯ' 1' 2 1 — совзй') 2пг в1п 0 2пР вгпйе 2 ~ 3 в1п'й Так как зто выражение обращается при 0 — 0 в неопределеньосттв его можно, переходя к функциям половинного угла, представить в виде рйрв ., 6 У „6 Тз = —, в1п' — ~3 — 1из — ) 6 2 ~ 2 Усилие Тв = дпК вЂ” Т~ —— , з1пв — ~ 6+ фз ) ° РЗК й: й х 6 2~' В нижней части резервуара ( 0"-— вш' —, и сов' 0 1 — 6 сов !!— 6 в1п'— 2 Т,=й„в — Т, = —,'~ Рййв 6 Эпюры усилий Т1, Тв представлены на рис. 3.13.