Бидерман В.Л. - Механика тонеостенных конструкций, страница 16

Отсюда следует, что центр кривизны нормального к меридиану сечения лежит на оси симметрии (точка О на рис. 3.2). Радиус кривизны Я; выражается через радиус параллельного 'круга г по формуле Так, например, запиаав первое из выражений (3.2) для дефор- ~ мированного состояния й" = дз+ соз0" и учитывая, что Й+ = дг+ с$; дз' сЬ(1+ е,); ~' — соз О, где е - — относительное удлинение меридиана, получим — = е, соз 0'+ соз О' — соз О. (4 йз (3 5) Выражение (3.5) устанавливает связь между радиальным перемещением $, меридиональной деформацией е, и углами наклона нормали до и после деформации.

Таким же образом из второго уравнения (3.2), записанного для деформированного соатояния, получим — е з1п О+ + з1п О+ — з1п О. Дя (3.3) ,.где сФ Х~ ~® ° й (3.9) 1 з1п 0' . Аналогично, из формулы ; — = — получим е 1~+ . (.+ 2 (3.10) ::; где х, — (з1п О' — з1п О). Г (3.11) 125 Так как кольцевое волокно, проходящее через точку М, ,:' имеет до деформации длину юг, а после деформации 2ы' = ;, = 2п (г + $), то относительное удлинение этого волокна $ и е Г (3.7) Рассмотрим теперь изменения кривизны.

Кривизна меридиана ,'.-:-' после деформации + Учитывая, что О' = О + д; по+ дз (1 1- ат); '. найдем Ь;Л,— ЬЛ 1 е„— ' ' (е,+х,г). 1+ — ' (3.12) Выражение (з, + х,г) 1 (3.13) 1+ — ' для относительного удлинения элемента эквидистантного слоя, имеющего окружное направление, можно получить аналогичным способом. Полученные выше формулы справедливы при произвольных по величине деформациях и перемещениях (в рамках справедливости гипотез Кирхгоффа — Лява). Если деформации и угол поворота малы (зт (~ 1, з, (( 1, д ~( 1), то формулы (3.5) и (3.6), связывающие перемещения с деформацией, а также формула (3,11) для параметра изменения кривизны х, могут быть упрощены.

Заменяя в формулах (3.5) и (3.6) О+ на О + д и пренебрегая членами порядка д' и зд по сравнению а членами первого порядка малости, приведем эти формулы к виду '1~ = — '=е созΠ— дз1пО; (3.14) — з,з1пО+ОсозО. й~ (3.15) Деформации зквиди- стантиого слоя; Гипо- 17 тезы Кирхгоффа — Ля- ва позволяют, зная де- 45 ' формации и изменения 5 кривизны срединной пон1 и, верхности оболочки, найти также деформации слоя, находящегося Рве.

3.3 на расстоянии г от нее (эквидистантного слоя). На риа 3.3 показан учавток меридионального сечения оболочки до и после деформации (толщина стенки показана преувеличенной). До деформации длина меридионального элемента эквидиатантного слоя ЬУ = сЫ ~1 +— Я~ у' После деформации Ь,У, = дз (1 + е,) 1 + — ' Эти выражения после подстановки значения —, из (3.8) 1 Я! позволяют определить относительное удлинение меридионального элемента эквидистантного слоя: Для х~ получаем при аналогичных предположениях сов 0 х = — д.

2 (3.16) Е и, —,(е„+ 1!е„); е еЪ = ! р~ (еа + И!г) (3.17) (напомним, что еоглаено гипотезам Кирхгоффа — Лява напряжение о, в площадках, параллельных срединной поверхности, полагается пренебрежимо малым). Подставляя в формулы (3.17) значения деформаций (3.12), (3.13), выразим напряжения в произвольной точке через деформации и параметры изменения кривизны срединной поверхности: — !е,+к,я)+ — 'Ь,-!-хг)~ !+ — ! -(-— И.

(3.18) Как видно из формул (3.18), строго говоря, гипотезы Кирх- гоффа — Лава приводят к гиперболическому закону распределения напряжений по толщине стенки оболочки. Следует однако иметь в виду, что отношение гИ, (1 = 1, 2) не превышает по абсолютной величине и/2Я, (й — толщина стенки) и для оболочек весьма мало по сравнению с единицей. Такой же порядок имеет и погрешность, возникающая вследатвие применения самих гипотез Кирхгоффа — Лява.

Поэтому в выражениях (3.18) можно пренебречь отношением гЯ,; тогда Е а, = —, (е, + ре, + (х, + 1!,) а)! о, = —, [1!е, + е, + (р,х, + х,) г1. Е (3.19) !27 В отличие от формул (3.5), (3.6) и (3.11) формулы (3.14), (3.15) и (3.16) пригодны только для расчета оболочек при малых перемещениях и деформациях. В дальнейшем в настоящей главе везде, за исключением 5 17, будем рассматривать малые перемещения. Напряжения и внутренние силы в оболочке. Возникающие в оболочке, нормальные напряжения связаны с деформациями соотношениями упругости. Для изотроппого материала закон Гука имеет вид Рис. 3.5 Ей Т, =, (з, + цзг); М, = 0 (х + пх,) (3.21) Поперечная сила в меридиональном сечении оболочки отсутствует, так как это сечение является плоскостью симметрии. Уравнения равновесия.

Одно из уравнений равновесия можез быть составлено в интегральной форме — это сумма проекций на . ось симметрии сил, приложенных к конечному участку оболочки .риа 3.5, а, б): (Т,з1пΠ— засох О) 2лг= Р(з), (3,22) :. где Р (з) — суммарная осевая нагрузка на выделенную часть оболочки. Величина Р (х) складывается из осевой нагрузки Р„ на верхний край оболочки н проекций на ось распределенных по поверхности участка нагрузок 0, и 0„, т. е.

Р(з) =Р,+) (д„созΠ— д,з1пО) 2пгда, (3.23) ~о Если осевая нагрузка Р, на торец оболочки известна, то Р (з)— известная функция дуги з. Если Р, представляет собой статически , неопределимую реакцию опоры, то она вводится в расчет как , ~лишнее неизвестное» и в дальнейшем определяется из условия ::равенства нулю осевого перемещения на опоре, При расчете оболочек вращения удобно наряду с проекциями Т, н Я усилия в сечении, нормальном к меридиану,.рассматривать проекции этого усилия на направление оси симметрии оболочки и нормали к оси (рис.

3.5, в). Осевая составляющая усилия равна , Р (я) :, †„ , а нормальная к оси симметрии М = Т, соз О+ Я з1п О; составляющая И называется распорной силой. В э. л. Бадерман 129 И(ф) йр — Т»гйф — — Т,дз — + п,тдфдз = О а5 асаф й» й5 нли, носле сокращения на г дф да, — — Щг) — — — — +д„= О. т, т, г а5 Ж Йа (3.24) Составим теперь уравнение моментов вил отноантельно кавательной 1 к параллели, проходящей через нижнюю грань элемента. В это уравнение войдут разница между моментами М,, приложенными к нижней и верхней граням элемента, ' (»и»+ди»)(г+й) й~- Я" (ф- д(М»г) й~, Рассмотрим теперь равновесие элемента оболочки, выделенного ау'=ау555а двумя меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану (рис.

3.6, а). Для элемента симметрично нагруженной оболочки можно соста- Р,»ю вить три нетождественных уравнения равновесия: два уравнения проекций на какие-либо направв» у ления, лежащие в меридиональной Иа плоскости, и одно уравнение мо- в ментов относительно оси, нормальт,+аг, ной к этой плоскости. Составим сумму проекций сил на направлеиие нормали к элементу.

В уравнение равновесия входят: проек»;»чи ция внешней нагрузки д„г»»фаз (г»(ф»»з — площадь элемента), разаз-$ ница в величинах поперечных сил, приложенных к нижней и М5а5 верхней граням элемента, Й(Яг)йф, 1т1 Пр)]ау а также проекции на нормаль 4~ приложенных к элементу сил Т, и Т,. Как видно нз риа 3.6, б, Рис. 3.6 проекция на нормаль и сил Т, а а5 точностью до малых высшего порядка вовтавляет — Т,г Йр— К» Аналогично, рассматривая нормальное к меридиану сечение элемента, найдем, что проекция на нормаль вил Т, равна — Т, »»з —. ~ аф Я5 Таким образом, вумма проекций ваех еил на направление нор- мали составляет Кроме уравнений равновесия (3.22) — (3.25), можно также составить условие равенства нулю суммы проекций на направление меридиана всех приложенных к элементу сил (см. рис.

3.6). Это уравнение имеет вид д (Т„г) йр — Т, гЬ й~ + Яг д<р 1(0 + ~у сйр дз = О, где опущены малые высших порядков. После сокращения на г д~( дз и подстановки „= = воз О, сф Ы0 ! — = — получим (й й~ ~п (Т1") Тт+ ~ + Ч1 О 1 д соя 9 1 (3.26) Следует, однако, иметь в виду, что из трех уравнений (3.22), (3.24) и (3.26) только два являются независимыми. Полученные выше уравнения равновесия (3.22) — (3.26) составлены для начальной, недеформированной геометрии оболочки н справедливы, следовательно, при малых деформациях и углах поворота.

При расчете с учетом больших углов поворота в этих уравнениях следует принимать значения угла В и кривизны деформированной оболочки (см. ~ 17), Пути решения основных уравнений. Если с помощью уравнения (3.25) исключить поперечную силу нз уравнений (3.22) и (3.24), то мы получим два уравнения равновесия, включающие четыре неизвестных силовых фактора (Т„Т„М„М,).

Силовые факторы выражаются с помощью уравнений упругости '(3.20), (3.21) через деформации срединной поверхности и параметры изменения ее кривизны (е~, в„х„х,). Эти же последние, в свою очередь, с помощью формул (3,14), (3.7), (3.9) и (3:16) могут быть выражены через два перемещения — радиальное $ и угловое д. момент приложенной к верхней грани поперечной силы — ф~(~р пз, :: а ''также проекции моментов М,дз, приложенных к боковым граням. Для того чтобы вычислить эти проекции, изобразим мо- менты в виде векторов (рис. 3.6, в) и установим, что угол между г Нф .

этими векторами й~ =, Р = йр соз О. Поэтому проекция век- торов на направление 1 составляет — М, пз Нф = — М., йз йр соз О. Момент относительно 1 распределенных нагрузок представляет собой малую высшего порядка. Итак, уравнение моментов имеет вид й (М,г) Йр — М, сЬ Пср саз Π— Я г сйр дз = О или, после сокращения на М~да, 1 д сов 0 — — (М, ) — М,— — а= О. (3.25) Таким образом, полученная система уравнений является зам- кнутой, и в результате ее интегрирования можно определить вну- тренние силы и перемещения 3, д.

Что касается осевого переме- щения ~, то его можно затем вычислить путем интегрирования уравнения (3.15). Наиболее целесообразный путь преобразования уравнений изгибной теории оболочек вращения и их дальнейшего решения зависит от геометрии оболочки и нагрузок на нее. Проще всего выполняется расчет в том случае, когда геометрия оболочки, на- грузки и условия ее закрепления таковы, что силовыми фактораии, возникающими в связи с изгибом (т. е моментами М„М, и попе- речной силой Я), и соответствующими напряжениями можно пре- небречь по сравнению с усилиями (Т„ 7,) и напряжениями, свя- занными с растяжением срединной поверхности.

Соответствующая (так называемая безмоментная) теория обо- лочек изложена в ~ 11. Там же рассмотрены условия, при кото- рых расчет по безмоментной схеме дает достаточну|о информацию о напряженном и деформированном состоянии оболочки. Расчет оболочек с учетом изгиба проще всего реализуется для круговых цилиндрических оболочек с постоянной толщиной стенки. Для оболочек вращения других конфигураций общее решение соответствующих уравнений в ряде случаев может быть выражено через специальные функции. Этот вопрос кратко рас- смотрен в $ 15; подробное его изложение содержится в книге (561. При произвольной форме меридиана и переменной толщине стенки оболочки эффективным является числовой метод расчета ее, изло- ' женный в ~ 16.

В большом числе злучаев оказывается возможным приближен. ный расчет оболочек на основе сочетания безмоментной теории и теории краевого эффекта (см. ~ 14), Такой прием расчета эффективен в тех случаях, когда оболочка может воспринимать нагрузку, работая как безмоментная, но при этом не выполняются нетангенциальные граничные условия на ее краю, который лежит в той области оболочки, где она не яв- ляется пологой, ~ 11. Расчет оболочек на основе безмоментной теории Оболочки, воспринимающие нагрузку за счет растяжения (т. е. испытывающие безмоментное состояние), являются наиболее жесткими и прочными.