Лойцянский Л. Г. - Механика жидкости и газа (1067432), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Обозначим через Чз скорость полюса твердого тела, а через ы — угловую скорость тела. Тогда, по известной формуле кинематики твердого тела, скорость Ч любой точки тела, имеющей вектор-радиус относительно полюса г, будет равна: у' = у' —, ю 'к', г, а граничное условие на поверхности тела напишется в виде: "'»= Увч+(ЮХГ)„= дт = пзп + ооп„+ то п +н (уп — »п,)+ +н„(»п — хп,)+м,(хпу — уп ).
(78) Здесь из, оо, жз и а, мю м,— пРоекции вектоРов Уз и ю на оси неподвихсной системы координат Оху» с началом О, в данный пвостианстввннов везвихвввое движение [Гл. чп 438 момент времени совладагогцим с полюсом тела; л, лю л,— проекции орта внешней нормали к поверхности в, направленной внутрь обтекающей тело жидкости.
Кроме граничного условия (78), потенциал скоростей удовлетворяет епге условию обращения в нуль при удалении на бесконечность, где жидкость покоится: и — ь 0 при г-+ оо, причем, как уже было показано ранее, стремление это имеет порядок 1,'г' или более высокий порядок. Следуя Кирхгоффу, ' представим искомый потенциал Р, как сумму 9 = ив-,~ 1 пойэ+ твейз+ ыииь+ ~в9ь+ ы~йг~ (79) где функции к, предполагаются гармоническими, т. е. удовлетворяющими каждая в отдельности уравнению Лапласа, и стремящимися к нулю при удалении от тела; для выполнения граничного условия (78) функции э, должны на поверхности тела в удовлетворять условиям: дчг дчч двв — „=л — =п — =л дл в' дл в' дп (80) дчь дрь дчь — =ул — »л — =»л — хл, — =хл — ул .
дл е г' дп и ю дп Задача о составлении потенциала скоростей возмущенного движения ю сводится, таким образом, к определению гармонических, убывающих в бесконечности до нуля функций эг, каждая из которых, кроме того, удовлетворяет своему граничному условию (80) на поверхности в. Функции в, имеют простой физический смысл. Как это следует из (80), функции э„рэ и эв в каждый данный момент времени представляют потенциалы скоростей того возмущенного движения жидкости, которое возникает при поступательном движении рассматриваемого тела с единичной скоростью, параллельной, соответственно, осям Ох, Оу или О»; фУнкции Р„эь и иг аналогично пРедставлЯют потенциалы возмущений от чисто вращательных движений тела также с единичными угловыми скоростями вокруг осей Ох, Оу и О».
Представим себе теперь связанную с твердым телом подвижную систему координат Оху», которая в данный момент времени мгновенно совладает с неподвижной системой Охуж В этой подвижной системе величины л, и„, л, не будут зависеть от времени и, следовательно, потенциалы эг, вэ„..., ав окажутся функциями толысо координагл. Первые три из этих функций могут быть разысканы приемами, изложенными в предыдущих параграфах, остальные, соответствующие г см. восемнадцатую лекцию из классических „чог1егппкеп аьег магьешапвсье Рьув!к топ О. кггсььо!!". Вгыег Ваяй, месьап1з, ее!рг!я, 1697, стр. Йй, 70] дВижВние тель скВОзь несжимаемую жидкОсть 438 откуда следует„что (81) Вектор К' найдем по формуле ег' = — ) рп е~оо, куда вместо давления р следует, согласно интегралу Лагранжа— Коши (13) (й 36 гл.
Ч), подставить выражение: р=ррм — — — р— р'у'е до 2 дг' причем, по условию покоя жидкости на бесконечности: при г -ь сю р - р, 1г-ь О, о -э О, функция Р® в последнем равенстве может быть заменена на постоян- ную величину р /о. Отбрасывая интеграт от постоянного слагаемого р получим; д Г ВГ К =р ) Фпог1оо+ 2 ) Чецое1оо (82) ЕК Секундное изменение главного вектора количеств движення— ~й составим как сумму локальной производной количества движения в объеме т, заключенном между поверхностями о и ао, и количеств движении, переносимых в единицу времени сквозь „контрольные поверхности" о и о, [вспомнить формулу (30) й 22 гл.
ПЦ: — = — ~ рЧ ~й — ~ ррмЧ е1о+ ~ р У„Ч оо . ЛК д ФЕ дС вращательным движениям, определятся как решения уравнения Лапласа, удовлетворяющие своим граничным условиям (80) на поверхности тела о, а также условиям обращения в нуль на бесконечности. Перейдем теперь к разысканию главного вектора и главного момента сил давления жидкости на движущееся в ней твердое тело. Заключим движущееся тело внутрь некоторой неподвижной сферы очень большого радиуса го с поверхностью ао и применим теорему количеств движения к жидкой массе, находящейся в переменном во времени объеме т между поверхностямн а и оо.
Обозначим через К вектор количества движения жидкости в объеме -, через м — искомый главный вектор сил давления жидкости на поверхность тела а и через й' †главн вектор сил давления, приложенных извне к поверхности о„; тогда будем иметь: пРОстРАнстВеннОИ БезВихРеВое дВижение 1гл. Рп Первый интеграл, стоящий справа, в силу равенства Ч ==,раба и известной интегральной формулы, может быть преобразован к Виду: д 1' д 1' д р — ~ Кгаб одт = — р д/ ~ ап да+ о д/ ~ апойао, дс,) причем знаки минус, стоящие перед интеграламн по поверхности а в обеих предыдущих формулах, объясняются тем, что орт направлен внутрь жидкости, т. е. является по отношению к жидкому объему т ортом внутренней нормали. Отсюда следует, что производная от главного вектора количеств движения может быть представлена в виде: — = — р — ~ ~рп йа — р ~ 1/ Ч да+ р-д- ~ еп йао+р ~ 1/ Чйао= йК д1 д йс д1,~ я дт, о, а а а а~ д Г = — о йг ~ оп да+ р дс ~ ипо йао+ р ~ 1/аЧ йао.
Подставляя полученные выражения К н — в равенство (81), иК йс получим после очевидных сокращений: Р = — р — ) <рп да+ р ) 1 й )/Япо — У„Ч) йао. й Г Г/1 Замечая, что поверхность сферы ао возрастает с удалением от ! начала координат как ге, а подинтегральная функция убывает как —., о' г' о заключим о стремлении второго интеграла к нулю и в пределе при го — — со найдем окончательно: й Г К = р — ~ апйа. йс.~ (83) Аналогичные рассуждения приводят к выражению главного момента сил )давлений: 1.=р — ~1 ~ртХпйа. и Г лги а м Действующие со стороны жидкости на тело силу Й и момент 1. можно интерпретировать как секундные изменения некоторых „лрисоединенныл" к движущемуся телу количестви и момента количестви движения.
Обозначим через К* и Оа главный вектор н главный момент количеств движения самого твердого тела, а через г и М вЂ” главный вектор и главный момент внешних сил, приложенных к телу, ломимО 5 71) коэееицивнты „пгисокаинвнных масс" 441 реакций жидкости; тогда по теоремам количеств движения и моментов количеств движения, примененным к твердому телу, будем иметь: йКч йц* — =К+Р, — =1.+М, йс ' йс нли, что все равно: — „(Ке — ~,и Ь)= Р, е — ((3* — р 1 е (г Х и) йо1 = М. йс 1 а (85) Сравнивая систему уравнений движения твердого тела в жидкости (85) с аналогичной системой движения того же тела в пустоте йКе И(2~ — =Р— =М йс у йс 1 заключаем, что движение тела в жидкости происходит так, как будто к главному вектору количеств движения его К*, благодаря наличию возмущаемой телом жидкости, присоединилось добавочное количество движения В= — р ~ мийо, н (86) а к главному моменту количеств движения твердого тела Ов „при- соединился" добавочный момент количества движения Л = — Р ~ Р (гХи) йо.
(87) Уравнения движения (85) можно переписать в форме — (Кч + В) = Р, — (Я*+ 3) = М, й йс йс (88) а векторы В н Л назвать, соответственно, „присоединенными' коли- чеством движения и моментом количества движения. Изменим обозначение проекций векторов скорости полюса тела Чв и угловой скорости «в вращения тела на связанные с телом оси координат, пронумеровав их по порядку так: ив = б1 ое 9я тео = Чв1 ми = Чв ма = йз1 ме = бв % 71. Коэффициенты „присоединенных масс". Свойство симметрии.
„Присоединенная" кинетическая внергия. Определение „присоединенных масс" поступательно движущегося цилиндра, шара и вллипсоида 442 поостванстввннов ввзвихьввов движение (гл. яп Аналогично положим: Вд Вэ В Во 7 В» /о Во в =в„ Уо= Во. В новых обозначениях выражение потенциала скоростей (79) будет: (89) » 1 Воспользуемся теперь выполняющейся в любой момент времени на поверхности тела о системой равенств (80), тогда в новых обозначениях вместо (86) и (87) будем иметь: о а (' до» .
( тч до» В» — о ~ ~7»7о — р ) т»7ьта»Ь ~ ~»ь»7ь ,) дл,) Л» ' дл а ь=1 в=1 (9О) (»=1,2, ..., 6), где введено обозначение: (дт» 7»'=-1, 2, ..., 6~ Л,.„= р ~~,рл д,, (91) Ал= ~ 1гл»1»л = ~ (ло+»овз о1гу)»1»л м* ог' =п»*по+во )Г з»7то — »о, )» у»7то = = л»*по+ л» «омэ шэУо'о где у, и х,— координаты центра тяжести тела; отсюда в новых обозначениях следует: К1 = л» »71 + л»хоцо и» Уоцо. Величины 1.ы, вычисленные в связанной с твердым телом координагной системе, представляют некоторые постоянные, зависящие лишь от формы поверхности тела, так как по ранее доказанному э» от времени не зависят.
Являясь коэффициентами в выражении „присоединенных" количества и момента количеств движения через обобщенные скорости дго величины 1д, играют роль инерционных коэффициентов, „присоединяющихся" к инерционным коэффициентам, входящим в аналогичные выражения количества движения н момента количества движения самого твердого тела. Так, например, проекция количества движения твердого тела, массу которого обозначим через то, на ось Ох будет равна: э 71) коэееицивнты „пвисовдинвнных масс" 443 Проекция на ось Ох суммы количества движения К* и „присоединенного" количества движения будет равна: Кз+В, =(т + Лы) д,+Л яуа+ Лафа+Лед, + +(т"а,+ Лга)д +( — тьу,+Л„) ам Как видно из структуры этого выражения, инерционные коэффициенты Л,а „присоединяются" к инерционным коэффициентам в выражении проекции количества движения твердого тела; ˄— к массе, Л, и Л, — к статическим моментам масс; остальные коэффициенты в общем случае дополняют члены, отсутствующие в выражении проекции главного вектора количества движения твердого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
