Г.П. Яровой, П.В. Тяпухин, В.М. Трещев, В.В. Зайцев, В.И. Занин - Основы полупроводниковой электроники, страница 3

1.8. Модель Кронига-Пенни с периодическим потенциаломпрямоугольной формыСчитаем, что энергия частицы E < U0 . Уравнение Шредингера будем решать для областей I и II:17Ae j (α − k ) a + Be − j (α + k ) a − Ce − ( β − jk ) b − De ( β + jk ) b = 0,j (α − k ) A − j (α + k ) B − ( β − jk )c + ( β + jk ) D = 0,j (α − k ) Aej (α − k ) a− j (α + k ) Be( β + jk ) De( β + jk ) b= 0.− j (α + k ) a− ( β − jk )Ce(1.24)− ( β − jk ) b+Требование равенства нулю определителя приводит куравнению:18β 2 −α 2shβb sin αa + chβb cos αa = cos k (a + b) .2αβ(1.25)11 10Полученное уравнение можно упростить, не нарушая общности. Для этого ширину областей II следует устремить кнулю и одновременно устремить к бесконечности значениепотенциала U0 .

Это означает, что мы переходим к бесконечновысоким, но соответственно и бесконечно тонким барьерам,не изменяя коэффициент прозрачности для электронов:h2b → 0, U 0 → ∞, bU 0 = const =P.mamaЗдесь P = 2 bU 0 − прозрачность барьера.hВ этом случае уравнение принимает вид:P sin αa+ cos αa = cos ka .αa(1.26)Так как α 2 = 2mE h 2 , то данное уравнение устанавливаетсвязь между энергией частицы и волновым числом, т.е.

определяет дисперсионную характеристику. Уравнение (1.26) может быть решено графически, как показано на рис. 1.9.На графике представлена величинаy=P sin αa+ cos αaαaв зависимости от αa .Вещественные решения существуют, только если праваячасть (1.26) меньше единицы, так как косинус меняется в пределах от -1 до +1.19g( k)a( k)b( k)0-2.5456515-15015k15Рис. 1.9. Графическое решение уравнения (1.26)Накладывая это условие, мы получаем ряд зон, расположенных в заштрихованных участках. Они соответствуют разрешенным значениям функции у, чем определяются и разрешенные значения энергии.

С увеличением энергии запрещенные зоны становятся все более узкими и располагаются всеближе и ближе друг к другу.1.6. Энергетические зоны твердого телаКоличественный анализ полупроводников и полупроводниковых приборов базируется на зонной теории твердого тела.Как известно, изолированный атом характеризуется дискретным спектром энергий. Расстояния между последовательными уровнями непрерывно уменьшаются по мере увеличения энергии.

"Потолком" энергетического спектра является уровень ионизации, на котором электрон делается свободным и может покинуть атом. Заполненные уровни образуют электронные оболочки атома, которые обозначаютсяцифрами, соответствующими значениям главного квантовогочисла n=1,2,3... Оболочки, начиная со второй, разбиваются наподоболочки (в соответствии со значениями орбитального20квантового числа): 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d и т.д. Количество электронов на подоболочках приведено в таблице:ПодоболочкаЧисло электроновs2p6d10f14g18Количество оболочек и подоболочек, заполненных электронами, зависит от порядкового номера элемента и для кремния и германия приведено в таблице:МатериалSiGeПерваяоболочка1s22Втораяоболочка2s 2p2 62 6Третьяоболочка3s 3p 3d2 22 6 10Четвертаяоболочка4s 4p 4d 4f22При сближении атомов, первоначально отстоявших далеко друг от друга, до расстояния между ближайшими соседямив кристалле энергетические состояния электронов внешнихоболочек в изолированном атоме расширяются.Eэнергетические уровни для 3s- и 3p-электронов расширяютсяв четыре зоны, которые при еще меньшем расстоянии междуближайшими соседями перекрываются довольно сложнымобразом.

При действительном расстоянии между ближайшими соседями d0 зона заполненных энергетических уровней отделяется от зоны пустых энергетических уровней узкой запрещенной зоной. Ниже запрещенной зоны находится валентная зона, а выше нее − зона проводимости (рис. 1.10).Электроны валентной зоны участвуют в образовании ковалентных связей, удерживающих атомы кристалла.Экспериментально обнаружена температурная зависимость ширины запрещенной зоны:αT 2.E g (T ) = E g (0) −T+βЗначения для ширины запрещенной зоны и коэффициентов температурной зависимости для некоторых полупроводниковых материалов приведены в таблице:МатериалGaAsSiGeEg(0)1,519 эВ1,170 эВ0,7437 эВα * 10-45,4054,734,774β204636235ECG aAsEgSiEVGeРис.1.10. Зонная диаграмма полупроводникаВ качестве примера рассмотрим атомы кремния.

Изолированный атом кремния содержит во внешней оболочке два3s- электрона и два 3p-электрона. При сближении атомов21Рис.1.11 . Графики зависимости ширины запрещенной зоны оттемпературы22На рис. 1.11 показаны графики зависимости ширинызапрещенной зоны от температуры.Cогласно модели энергетических зон, в квантовой системе, которая либо получила порцию тепловой или лучистойэнергии, либо оказалась под действием внешнего электрического поля, электроны из валентной зоны могут скачком переходить в зону проводимости и участвовать в создании электрического тока. Вероятность такого события тем меньше,чем больше энергия E g .

Поэтому с ростом E g вещество посвоим характеристикам приближается к диэлектрику. Шириназапрещенной зоны имеет большое практическое значение, потому что в ходе процессов генерации и рекомбинации носителей заряда законы сохранения энергии и момента количествадвижения не должны нарушаться. Это играет важную рольпри изучении свойств фотодиодов, фоторезисторов – приборов, поглощающих и излучающих свет.232.

Структура полупроводниковыхкристаллов2.1. Кристаллическая решеткатвердого телаВ зависимости от структурных особенностей твердых телпринято различать:• аморфные вещества, не имеющие какой-либо определенной структуры;• поликристаллические вещества, состоящие из отдельных гранул или малых областей. Каждая гранула имеетчетко выраженную структуру, однако размеры и ориентациягранул в соседних областях совершенно произвольны;• монокристаллические вещества, атомы которыхпространственно упорядочены и образуют трехмерную периодическую структуру, называемую кристаллической решеткой.Кристалл может быть определен как вещество с упорядоченной периодической структурой.

Наличие и тип последнейопределяются следующими свойствами:1. Наблюдаются ясно выраженные плоскости роста кристаллов, как естественных, так и выращенных искусственно.Эти плоскости могут дать ключ к раскрытию структуры кристаллов.2. Имеются четко определенные плоскости скалывания,вдоль которых кристалл наиболее легко разрушается под действием напряжений.3. Кристаллы когерентно рассеивают рентгеновские лучии электроны.

Это означает, что рассеянные лучи выходят изкристалла в основном лишь в некоторых избранных направлениях.244. Многие физические характеристики материала могутзависеть от направления (анизотропия), даже если образецсовершенно гомогенен. К их числу относятся, например,электрическое сопротивление, диэлектрическая проницаемость, оптические константы, постоянная Холла и теплопроводность. Очевидно, все перечисленные эффекты можно объяснить тем, что расстояния между атомами в кристалле в различных направлениях различны.Точное объяснение того, почему атомы в кристалле располагаются тем или иным образом, можно получить лишь наоснове квантовомеханических расчетов.В периодической кристаллической решетке можно выделить некоторую элементарную ячейку, которая повторяетсяпериодически по всему кристаллу.

Группа атомов, представляющая собой период расположения, составляет элементарную ячейку кристалла. Последовательное чередование в пространстве элементарных ячеек позволяет получить кристаллическую решетку во всем объеме. Выделяя такую ячейку,удается описать положение атомов или ионов в веществе и,следовательно, она может служить для того, чтобы с её помощью характеризовать структуру кристаллов. Положения,занимаемые атомами или ионами, соответствуют узлам решетки.Важнейшим свойством кристаллической решетки являетсятрансляционная симметрия, заключающаяся в том, что припараллельном перемещении (трансляции) решетки кристаллсовмещается сам с собой.Решетки, построенные трансляцией простой элементарнойячейки, получили название решеток Браве.Среди всевозможных видов решеток можно выделить кубическую решетку, имеющую несколько разновидностей:25Простая кубическая решетка.

В каждой вершине такой решетки располагается один атом, принадлежащий одновременно восьми соседним элементарным ячейкам. В такойформе кристаллизуется лишь полоний (Po).Кубическая гранецентрированная решетка. Имеет шесть атомов в центрах граней и восемь атомов в вершинах куба. Примером кристалла с такой решеткой является алюминий (Al).Кубическая объемно-центрированнная решетка. Здесь помимо восьми атомов в вершинах куба имеется один атом в центре куба. К данному типу относятся решетки молибдена (Mo)и вольфрама (W).26Решетка типа алмаза.

Может рассматриваться как две вложенные друг в друга кубические гранецентрированные решетки, смещенные на расстоянии четверти диагонали куба. Вданной форме кристаллизуются углерод (C), кремний (Si),германий (Ge).стояниях между ними и связаны, во-первых, с отталкиваниемодноименно заряженных ядер и, во-вторых, с перекрытиемвнутренних электронных оболочек сближающихся атомовили ионов. При этом несколько электронов могут оказаться водинаковых квантовых состояниях и для выполнения принципа Паули они должны перейти на более высокие энергетические уровни, т.е. сближение атомов или ионов невыгодно сэнергетической точки зрения, что эквивалентно появлениюсил отталкивания.ErРешетка типа арсенида галлия. Получается из решетки типаалмаза в том случае, когда атомы галлия (Ga) совпадают с узлами одной гранецентрированной решетки, а атомы мышьяка(As) − с узлами другой.2.2.

Типы связей в кристаллахСвойства твердых тел в значительной степени определяются характером сил связи между частицами, образующимикристаллическую решетку. В соответствии с природой этихсил различают молекулярные, ионные, атомные и металлические кристаллы.Между частицами кристалла действуют одновременно каксилы притяжения, так и силы отталкивания, и состояние равновесия характеризуется равенством этих сил. Силы, вызывающие отталкивание частиц, появляются при малых рас27Рис. 2.1.

Вид потенциальной энергии взаимодействия междуатомами в кристаллеЭнергия кристалла может быть представлена в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых соответствует определенному механизму отталкивания или притяжения. Упрощенно соотношение для энергии кристалла E(r) может быть записано в виде:A BE (r ) = − n + m ,rrгде r − расстояние между ближайшими соседними атомами;A, B, n и m − константы, характеризующие кристалл. Графикфункции показан на (рис.

2.1), из которого видно, что первоеслагаемое соответствует энергии притяжения, а второе −энергии отталкивания. Минимум здесь получается только при28m > n, а значит, силы отталкивания являются короткодействующими. Результирующая сила взаимодействия F междуатомами определяется как dE dr и равна нулю в случае равновесного расстояния между атомами r=r0 .Природа сил притяжения различна для различного типасвязей.• Молекулярные кристаллы содержат в узлах решетки молекулы, удерживаемые силами Ван-дер-Ваальса (силы,аналогичные силам притяжения двух электрических диполей).