Г.П. Яровой, П.В. Тяпухин, В.М. Трещев, В.В. Зайцев, В.И. Занин - Основы полупроводниковой электроники, страница 5

В среднем дислокации в кристаллах отстоятдруг от друга на 104 межатомных расстояний.Поверхностные и объемные дефекты. Поверхностнымидефектами являются поверхность кристалла, границы зерен ит.д. К объемным дефектам относят пустоты, трещины, поры,включения нерастворимых примесей.353. Носители заряда в полупроводниках3.1. Движение электронов в кристалле.Понятие об эффективной массеДвижение электрона в кристалле под действием внешнегоэлектрического поля существенно отличается от движениясвободного электрона.

Дело в том, что в кристалле на электрон помимо внешнего поля действуют силы со стороны кристаллической решетки. Однако для описания поведения электрона в кристалле уравнения движения удобно представить втой же форме записи, что и для свободного электрона, т.е. ввиде второго закона Ньютона относительно внешней силы.Рассмотрим движение электрона в кристалле. Следуетсразу отказаться от попытки рассматривать электрон простокак частицу. Чтобы исследовать его движение, надо составитьволновой пакет из волновых функций электрона в решетке.Движение электрона будет зависеть от влияния решетки наразличные волны, входящие в описывающий его волновойпакет.

Таким образом, задача о движении электрона в кристалле аналогична дифракционной задаче в оптике.Скорость электрона в кристалле может быть представленакак групповая скорость волнового пакета:dω 1 dEvg ==.(3.1)dk h dkЗа время dt электрон проходит путь vgdt, и работа силвнешнего поля на этом участке равна:F dEdE = Fv g dt =dt ,(3.2)h dkгде F − кулоновская сила, действующая на электрон.Отсюда получаем:dkdk 1h=F⇒= F.dtdt hС другой стороны:36dv g=1 d  dE  1 d  dE  dk 1 d 2 E dk=.=h dt  dk  h dk  dk  dt h dk 2 dtdtdv g d 2 E FПоэтому= 2 2 , следовательно,dtdk hh2m* = 2.(3.3)d E 2dkЭффективная масса учитывает влияние сил взаимодействия электрона с кристаллической решеткой на характер егодвижения, не являясь в то же время мерой инерции, подобнообычной массе.В общем случае эффективная масса представляет собойтензор, однако, в большинстве задач можно ограничиватьсяскалярным приближением для эффективной массы.U=00Чтобы получить выражения, определяющие концентрацию носителей заряда в разрешенных зонах, нужно преждевсего найти выражение для функции, которая описывает распределение уровней в соответствующих зонах.Для этого рассмотрим задачу о движении частицы(электрона в зоне проводимости или дырки в валентной зоне)в трехмерном потенциальном ящике.Предполагаем, что потенциальные барьеры на стенкахящика бесконечны, а потенциальная энергия внутри ящикаравна нулю.Уравнение Шредингера является в данном случае трехмерным:r2m∇ 2ψ + 2 (E − U (r ) )ψ = 0 .(3.4)h37yxРис.

3.1. Трехмерная потенциальная яма. Потенциальнаяэнергия электрона равна нулю внутри ящикаи бесконечна вне его2mEψ = 0 .(3.5)h2Решая это уравнение с нулевыми граничными условиями,получим:8 n π   n yπ   n zπ ψ ( x, y , z ) =sin  x x  sin y  sin z  . (3.6)V L   L   L Внутри ящика3.2. Плотность состоянийU=∞z∇ 2ψ +Дифференцируя полученное выражение и подставляяпроизводные в уравнение Шредингера (3.5), найдем:E=π h2 2n x + n y2 + n z2 .2 mL2()(3.7)Теперь определим количество электронов, которые в ящике имеют энергию в заданном интервале значений. При этомнадо помнить, что у каждой волновой функции два состояния,отличающиеся по спину.

Рассматривая только положительные триплеты (nx, ny, nz), найдем полное число волновыхфункций для кубического ящика, отвечающих возможнымзначениям энергии (вплоть до заданной величины E). Это38число определяется объемом восьмой части сферы радиуса r,гдеr 2 = n x2 + n y2 + n z2 .(3.8)3.3. Распределения Больцмана, Ферми—Диракаи Бозе —ЭйнштейнаУчитывая, что каждая волновая функция связана с двумясостояниями, получим полное число всех состояний Ns в виде:314 3 1Ns = 2πr = π n x2 + n y2 + n z2 2 .(3.9)8332 EmL2Но из (3.7) следует, что n x2 + n y2 + n z2 = 2 2 .π hПоэтомуДля должного понимания явления электропроводностиполупроводников нам понадобятся три функции распределения.

Одна из них (функция распределения Больцмана) описывает классические системы, в то время как две другие (Ферми−Дирака и Бозе−Эйнштейна) выведены с учетом квантовоймеханики.Каждая функция распределения показывает, какую долюобщего числа частиц в системе составляют частицы с заданной энергией Е. Хотя каждая частица в системе движется независимо от остальных и так же независимо от остальныхпроходит последовательно через огромный ряд состояний, всеже в условиях теплового равновесия вероятность заполнениялюбого заданного состояния есть определенная постояннаявеличина.Распределения имеют вид:(1  2 Em Ns = π  2 2 3 π h 32)321  2m L = 2  2  VE 3 2 .3π  h 3(3.10)Значение Ns представляет собой число состояний для всехзначений энергии вплоть до максимальной величины E.Число электронных состояний dNs для интервала энергийот E до E+dE обычно обозначают dNs=S(E)dE:321  2m dN s = S ( E )dE =VE 1 2 dE .(3.11)2 2 π2 h Отсюда плотность электронных состояний (т.е.

количество разрешенных энергетических уровней в единице объема,приходящееся на единицу энергии) равна:4π (2m) 3 2 1 21N (E) = S (E) =E .(3.12)Vh3Максвелла−БольцманаFn ( E , T ) = Ae − E kTФерми−Дирака1E − EF1 + exp()kT1F (E,T ) =E − EBexp() −1kTБозе−ЭйнштейнаFn ( E , T ) =Вид этих функций различен, так как весьма различны основные свойства частиц, к системам которых они относятся.Распределение Максвелла−Больцмана применимо в тех случаях, когда частицы системы можно считать классическими(и различимыми). Распределения Ферми−Дирака и Бозе−Эйнштейна учитывают тождественность частиц.

При этомпервое из них описывает системы частиц, подчиняющиеся3940принципу Паули, т.е. системы электронов, протонов и нейтронов, а второе применяется к системам фононов, фотонов иэлементарных частиц с нулевым или целым спином.Замечательно, что вид функции Ферми−Дирака не зависитот свойств той или иной конкретной системы, а зависит лишьот температуры. Свойства системы определяют параметр EF –уровень Ферми, который показывает, как нужно располагатьфункцию Ферми относительно энергетических уровней системы.Параметр ЕB играет аналогичную роль в статистикеБозе.В случае фононов и фотонов, число которых может и не сохраняться, EB = 0.Перечислим важнейшие свойства уровня Ферми EF.1.

С уровнем Ферми совпадает энергетический уровень,вероятность заполнения которого в точности равна 0,5.2. Уровень Ферми представляет собой химический потенциал электронов данной системы (в расчете на один электрон). Поэтому условием равновесия двух электронных проводников (безразлично, металлов или полупроводников) является равенство их уровней Ферми.3.

Уровень Ферми определяется из условия, что, независимо от распределения по уровням, полное число электроновв кристалле должно оставаться неизменным. Это требованиенепосредственно связано с условием нейтральности полупроводника в целом.Последнее условие обычно и используется для вычисления уровня Ферми и, тем самым, числа свободных электронови дырок.Функции распределения Максвелла−Больцмана и Ферми−Дирака показаны на рисунках 3.2 и 3.3. Функция Максвелла−Больцмана принимает особенно большие значенияпри малых энергиях; на распределении же Ферми−Дирака отражается действие принципа Паули. Действительно, приочень низких температурах функция Ферми−Дирака равнаединице вплоть до энергии Е = ЕF, после чего она скачком41падает до нуля. Это значит, что все состояния с энергияминиже уровня Ферми заняты, а все состояния с более высокимиэнергиями свободны.

При более высоких температурах функция Ферми убывает хотя и быстро, но уже непрерывно.Рис. 3.2. Распределение Ферми−ДиракаРис. 3.3. Распределение Максвелла−БольцманаПри Е>>ЕF, т.е. в области "хвоста", функция Ферми−Дирака, как легко показать, приближается к функцииМаксвелла−Больцмана:1≈ e − ( E − E F ) kT ≈ Ae − E kT .( E − E F ) kT1+ eЭтот результат весьма важен для теории полупроводников.