Главная » Просмотр файлов » Г.П. Яровой, П.В. Тяпухин, В.М. Трещев, В.В. Зайцев, В.И. Занин - Основы полупроводниковой электроники

Г.П. Яровой, П.В. Тяпухин, В.М. Трещев, В.В. Зайцев, В.И. Занин - Основы полупроводниковой электроники (1055330), страница 2

Файл №1055330 Г.П. Яровой, П.В. Тяпухин, В.М. Трещев, В.В. Зайцев, В.И. Занин - Основы полупроводниковой электроники (Г.П. Яровой, П.В. Тяпухин, В.М. Трещев, В.В. Зайцев, В.И. Занин - Основы полупроводниковой электроники) 2 страницаГ.П. Яровой, П.В. Тяпухин, В.М. Трещев, В.В. Зайцев, В.И. Занин - Основы полупроводниковой электроники (1055330) страница 22017-12-27СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Совокупностьсобственных значений E1, E2,...,Em образует спектр собственных значений или энергетический спектр. Волновыефункции ψi, являющиеся решениями уравнения Шредингерапри собственных значениях энергии Ei, называются собственными функциями уравнения Шредингера.1.2. Движение свободной частицыДля свободной частицы, движущейся вдоль оси x,U(x)=const=0 и уравнение Шредингера приобретает следующий вид:∂Ψ h 2 ∂ 2 Ψ− jh=.(1.9)∂t2 m ∂x 28Применяя метод разделения переменных, получим:d 2ψ 2m+Eψ = 0,dx 2 h 2(1.10)dϕj= − Eϕ .dthmv 2 p 2h2Для свободной частицы E = T ===.22m 2mλ 22m4π 2ТогдаE== k 2 .

Поэтому решением стационарного22hλуравнения Шредингера является функция:ψ ( x, t ) = Ae jkx + Be − jkx .(1.11)Умножая это равенство на ϕ(t)=exp(jωt), получаем общеерешение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы:Ψ ( x, t ) = Ae j ( kx −ωt ) + Be − j ( kx +ωt ) .(1.12)Это соотношение представляет собой суперпозицию двухплоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях.Зависимость энергии частицы от волнового числа имеетвид:h2 2E=k .(1.13)2mТакимобразом,энергиясвободнойчастицыпропорциональна квадрату волнового числа. Так как наволновой вектор никаких ограничений не налагается, тосвободная частица может обладать любой энергией, т.е.

еёэнергетический спектр является сплошным. Полученнаяформула представляет собой дисперсионное соотношение для9ляет собой дисперсионное соотношение для свободной частицы (рис. 1.1).eEУEkРис. 1.1. Дисперсионная кривая для свободной частицыПоскольку для свободной частицы из решения (1.12)2следует, что Ψ не зависит от координаты, волноваяфункция (1.12) должна быть нормирована несколько иначе,чем такая волновая функция, которая отлична от нуля лишь вограниченной области пространства. Волновую функциюсвободной частицы часто нормируют так, чтобы на единицудлины в направлении движения приходилась одна частица.Если известно, что свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси x, в данный момент находитсяв интервале ∆x, то энергию и импульс частицы нельзя определить точно и нельзя пользоваться волновой функцией вида(1.12). Поскольку Ψ ( x, t )Ψ * ( x, t )dx есть вероятность нахождения частицы в интервале между x и x+dx, мы должны подобрать волновую функцию, отличную от нуля только в области ∆x.Известно, что можно образовать короткий цуг волн путемналожения гармонических волн с почти одинаковыми длинами и подходящими амплитудами и фазами.

Такой цуг волнназываетсяволновымпакетом.ЕслиΨ ( x, t ) = A exp[ j (ωt − kx)] есть решение уравнения Шредингера, то и сумма таких волновых функций с различными значениями волнового числа также будет решением уравненияШредингера:10Ψ ( x, t ) = ∑ A(k n ) exp[ j (ωt − k n x)] .(1.14)nМожно заменить сумму интегралом∞Ψ ( x, t ) =∫ A(k ) exp[ j (ωt − kx)]dk .(1.15)−∞В таком виде волновой пакет может быть использован дляпредставления квантовой частицы (рис. 1.2).

При этом ширина волнового пакета определяет неопределенность в измерении координаты частицы.1086420-2-4-10-50510Рис. 1.2. Волновой пакет для квантовомеханической частицыВ качестве примера рассмотрим случай, когда A(k) − гауссова функция: (k − k 0 ) 2 A(k ) = C exp −,2  2(∆k ) где C − постоянная, ∆ k − стандартное отклонение гауссовараспределения. Величина ∆ k является мерой диапазона волновых чисел, составляющих пакет. Тогда для волновой функции будем иметь:∞ (k − k 0 ) 2 hk 2 exp  j (kx −)t dk .Ψ ( x, t ) = ∫ C exp −2 2m  2(∆k ) −∞Выполняя интегрирование и пользуясь затем условиемнормировки, для плотности вероятности координаты частицынайдем следующее выражение:11 (∆k ) 2 ( x − v g t ) 2 ∆kΨ =exp −,απahkdωгде v g == 0 − групповая скорость волнового пакеdk k =k0m2та, α = 1 + (ht / m) 2 (∆k ) 4 .Видно, что плотность вероятности координаты частицытакже является гауссовым распределением, центр которогодвижется в положительном направлении оси x с групповойскоростью vg.

Стандартное отклонение этого распределенияравноα /2∆x =.∆khПри t=0 ∆x = ( 2∆k ) −1 и ∆x∆p x =, где ∆p x = h∆k .2Последнее равенство представляет собой одну из формзаписи известного принципа неопределенности Гейзенберга.Оно означает, что если волновой пакет, описывающий частицу, локализован в интервале ∆ x значений координаты x, тоимпульс частицы нельзя определить с точностью, большейчем ∆p x .1.3. Квантование частицы,движущейся в потенциальной ямеРассмотрим движение микрочастицы, движущейся в потенциальной яме. Для электрона такой ямой является, например, кусок металла: вне металла потенциальная энергия свободного электрона U=0, внутри металла U0=-eV0 , где V0 − положительный потенциал поля, созданного узлами решетки(рис.

1.3,а). Электрон не может свободно покинуть металл.Для выхода из него электрону необходимо совершить работу,численно равную U0 .12Для описания движения электрона в такой яме удобно осьx совместить с дном ямы и разбить пространство на три области, как показано на рис. 1.3, б.U(x)U(x)U0Ex-eV0IIIIII0аLxбРис. 1.3. Прямоугольная потенциальная ямаУравнения Шредингера в выделенных областях имеютвид:d 2ψ 1 2m+ 2 ( E − U 0 )ψ 1 = 0 ,I.dx 2h2d ψ 2 2mII.+ 2 Eψ 2 = 0 ,dx 2hd 2ψ 3 2mIII.+ 2 ( E − U 0 )ψ 3 = 0 .dx 2hВведем обозначения2mk12 = 2 ( E − U 0 ),h(1.16)2m2k2 = 2 EhТак как E < U0 , то k12 < 0 .

Обозначим k = jk1 . Тогда решения уравнений в областях I, II, III будут записываться в виде:ψ 1 ( x) = Ae − kx + Be kx ,ψ 2 ( x) = Ce jk 2 x + De − jk 2 x ,(1.17)Далее будем считать, что высота барьера U0 бесконечновысока: U 0 → ∞ ⇒ k → ∞ . Из условия конечности волновой функции необходимо, чтобы A=B=G=H=0.Вычисляя C и D из граничных условий и условия нормировки, получим2nπ(1.18)ψ ( x) = ψ 2 ( x) = jsinx.LLДисперсионное соотношение для частицы будет иметь вид:h2En = n 2.(1.19)8mL2Таким образом, микрочастица, заключенная в потенциальную яму, обладает дискретным рядом собственных значенийэнергии E n (рис. 1.4); целое число n, определяющее эти значения энергии, называется квантовым числом.En=4n=3n=2n=1Рис.

1.4. Дискретный спектр энергии частицы в прямоугольной потенциальной ямеИз дисперсионного соотношения следует, что дискретныйхарактер энергетического спектра микрочастицы будет проявляться тем сильнее, чем меньше область пространства L, вкоторой локализована эта частица.ψ 3 ( x) = Ge − kx + He − kx .13141.4. Система из двух прямоугольныхпотенциальных ямтенциальной яме, расщепляется на два квантовых состояния стем же значением n (рис. 1.6).EnСистема из двух близко расположенных потенциальных ямявляется простейшей одномерной моделью двухатомной молекулы (например, молекулы H 2+ ).E3AE3SU(x)ddE2AE2SxE1AE1SРис. 1.5.

Модельный потенциал двухатомной молекулыРис. 1.6. Расщепление энергетических уровней в системе двухблизко расположенных потенциальных ямВследствие симметрии силового поля относительно точки2x=0 функция ψ (x) в такой системе должна быть симметричной функцией координат. Следовательно, волновые функциимогут быть относительно x=0 либо симметричными (четными), либо асимметричными (нечетными) функциями координаты:ψ C = A(e βx + e − βx ) ,ψ A = A(e βx − e − βx ) ,где β = 2m(U 0 − E ) / h .Детальный анализ решений уравнения Шредингера длярассматриваемого потенциального поля показывает, что каждое квантовое состояние En, имеющееся в изолированной по15Приближение слабой связи предполагает, что потенциальная энергия взаимодействия электрона с периодическимполем решетки много меньше его кинетической энергии ивлияние решетки аналогично слабому периодическому возмущению движения свободных электронов.

Такое приближение наилучшим образом отражает поведение валентных электронов, слабо связанных с ядрами.Приближение сильной связи предполагает, что энергия взаимодействия электрона с ядром значительно выше кинетической энергии и состояние электрона незначительно отличается от его состояния в изолированном атоме. Здесь речьидет, таким образом, об электронах внутренних оболочек,сильно связанных с ядром решетки.161.5. Движение частицы в одномерномпериодическом полеВ 1931 году Р.Крониг и В.Пенни предложили идеализированную модель кристаллического тела. В этой модели кристалл заменяется линейной цепочкой потенциальных ям, какпоказано на рис.

1.7, где представлен также и потенциал, реально имеющий место в кристаллах.Рис. 1.7. Потенциальная энергия электрона в линейной цепочке атомов и соответствующая цепочка прямоугольных ям2mE;h22m(U 0 − E )ψ 2 ( x) = Ce βx + De − βx , β 2 =.h2ψ 1 ( x) = Ae jαx + Be − jαx ,α 2 =(1.20)По теореме Блоха решение уравнения Шредингера для периодического силового поля должно иметь вид:ψ ( x) = µ ( x)e jkx ,(1.21)где µ(x)- функция Блоха, периодичная с периодом a+b.Тогдаµ 1 ( x) = Ae j (α − k ) x + Be − j (α + k ) x ,(1.22)µ 2 ( x) = Ce ( β − jk ) x + De − ( β + jk ) x .Свойство периодичности функции Блоха позволяет записать следующие периодические граничные условия:µ1 (0) = µ 2 (a ),µ1 (a ) = µ 2 (−b), dµ1  dµ (1.23) = 2  , dx  0  dx  0 dµ1  dµ  = 2 . dx  a  dx  −bИспользуя эти граничные условия, получаем однороднуюсистему уравнений:U(x)U0EIIIIIIIxA + B − C − D = 0,Рис.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее