Г.П. Яровой, П.В. Тяпухин, В.М. Трещев, В.В. Зайцев, В.И. Занин - Основы полупроводниковой электроники (1055330), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Совокупностьсобственных значений E1, E2,...,Em образует спектр собственных значений или энергетический спектр. Волновыефункции ψi, являющиеся решениями уравнения Шредингерапри собственных значениях энергии Ei, называются собственными функциями уравнения Шредингера.1.2. Движение свободной частицыДля свободной частицы, движущейся вдоль оси x,U(x)=const=0 и уравнение Шредингера приобретает следующий вид:∂Ψ h 2 ∂ 2 Ψ− jh=.(1.9)∂t2 m ∂x 28Применяя метод разделения переменных, получим:d 2ψ 2m+Eψ = 0,dx 2 h 2(1.10)dϕj= − Eϕ .dthmv 2 p 2h2Для свободной частицы E = T ===.22m 2mλ 22m4π 2ТогдаE== k 2 .
Поэтому решением стационарного22hλуравнения Шредингера является функция:ψ ( x, t ) = Ae jkx + Be − jkx .(1.11)Умножая это равенство на ϕ(t)=exp(jωt), получаем общеерешение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы:Ψ ( x, t ) = Ae j ( kx −ωt ) + Be − j ( kx +ωt ) .(1.12)Это соотношение представляет собой суперпозицию двухплоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях.Зависимость энергии частицы от волнового числа имеетвид:h2 2E=k .(1.13)2mТакимобразом,энергиясвободнойчастицыпропорциональна квадрату волнового числа. Так как наволновой вектор никаких ограничений не налагается, тосвободная частица может обладать любой энергией, т.е.
еёэнергетический спектр является сплошным. Полученнаяформула представляет собой дисперсионное соотношение для9ляет собой дисперсионное соотношение для свободной частицы (рис. 1.1).eEУEkРис. 1.1. Дисперсионная кривая для свободной частицыПоскольку для свободной частицы из решения (1.12)2следует, что Ψ не зависит от координаты, волноваяфункция (1.12) должна быть нормирована несколько иначе,чем такая волновая функция, которая отлична от нуля лишь вограниченной области пространства. Волновую функциюсвободной частицы часто нормируют так, чтобы на единицудлины в направлении движения приходилась одна частица.Если известно, что свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси x, в данный момент находитсяв интервале ∆x, то энергию и импульс частицы нельзя определить точно и нельзя пользоваться волновой функцией вида(1.12). Поскольку Ψ ( x, t )Ψ * ( x, t )dx есть вероятность нахождения частицы в интервале между x и x+dx, мы должны подобрать волновую функцию, отличную от нуля только в области ∆x.Известно, что можно образовать короткий цуг волн путемналожения гармонических волн с почти одинаковыми длинами и подходящими амплитудами и фазами.
Такой цуг волнназываетсяволновымпакетом.ЕслиΨ ( x, t ) = A exp[ j (ωt − kx)] есть решение уравнения Шредингера, то и сумма таких волновых функций с различными значениями волнового числа также будет решением уравненияШредингера:10Ψ ( x, t ) = ∑ A(k n ) exp[ j (ωt − k n x)] .(1.14)nМожно заменить сумму интегралом∞Ψ ( x, t ) =∫ A(k ) exp[ j (ωt − kx)]dk .(1.15)−∞В таком виде волновой пакет может быть использован дляпредставления квантовой частицы (рис. 1.2).
При этом ширина волнового пакета определяет неопределенность в измерении координаты частицы.1086420-2-4-10-50510Рис. 1.2. Волновой пакет для квантовомеханической частицыВ качестве примера рассмотрим случай, когда A(k) − гауссова функция: (k − k 0 ) 2 A(k ) = C exp −,2 2(∆k ) где C − постоянная, ∆ k − стандартное отклонение гауссовараспределения. Величина ∆ k является мерой диапазона волновых чисел, составляющих пакет. Тогда для волновой функции будем иметь:∞ (k − k 0 ) 2 hk 2 exp j (kx −)t dk .Ψ ( x, t ) = ∫ C exp −2 2m 2(∆k ) −∞Выполняя интегрирование и пользуясь затем условиемнормировки, для плотности вероятности координаты частицынайдем следующее выражение:11 (∆k ) 2 ( x − v g t ) 2 ∆kΨ =exp −,απahkdωгде v g == 0 − групповая скорость волнового пакеdk k =k0m2та, α = 1 + (ht / m) 2 (∆k ) 4 .Видно, что плотность вероятности координаты частицытакже является гауссовым распределением, центр которогодвижется в положительном направлении оси x с групповойскоростью vg.
Стандартное отклонение этого распределенияравноα /2∆x =.∆khПри t=0 ∆x = ( 2∆k ) −1 и ∆x∆p x =, где ∆p x = h∆k .2Последнее равенство представляет собой одну из формзаписи известного принципа неопределенности Гейзенберга.Оно означает, что если волновой пакет, описывающий частицу, локализован в интервале ∆ x значений координаты x, тоимпульс частицы нельзя определить с точностью, большейчем ∆p x .1.3. Квантование частицы,движущейся в потенциальной ямеРассмотрим движение микрочастицы, движущейся в потенциальной яме. Для электрона такой ямой является, например, кусок металла: вне металла потенциальная энергия свободного электрона U=0, внутри металла U0=-eV0 , где V0 − положительный потенциал поля, созданного узлами решетки(рис.
1.3,а). Электрон не может свободно покинуть металл.Для выхода из него электрону необходимо совершить работу,численно равную U0 .12Для описания движения электрона в такой яме удобно осьx совместить с дном ямы и разбить пространство на три области, как показано на рис. 1.3, б.U(x)U(x)U0Ex-eV0IIIIII0аLxбРис. 1.3. Прямоугольная потенциальная ямаУравнения Шредингера в выделенных областях имеютвид:d 2ψ 1 2m+ 2 ( E − U 0 )ψ 1 = 0 ,I.dx 2h2d ψ 2 2mII.+ 2 Eψ 2 = 0 ,dx 2hd 2ψ 3 2mIII.+ 2 ( E − U 0 )ψ 3 = 0 .dx 2hВведем обозначения2mk12 = 2 ( E − U 0 ),h(1.16)2m2k2 = 2 EhТак как E < U0 , то k12 < 0 .
Обозначим k = jk1 . Тогда решения уравнений в областях I, II, III будут записываться в виде:ψ 1 ( x) = Ae − kx + Be kx ,ψ 2 ( x) = Ce jk 2 x + De − jk 2 x ,(1.17)Далее будем считать, что высота барьера U0 бесконечновысока: U 0 → ∞ ⇒ k → ∞ . Из условия конечности волновой функции необходимо, чтобы A=B=G=H=0.Вычисляя C и D из граничных условий и условия нормировки, получим2nπ(1.18)ψ ( x) = ψ 2 ( x) = jsinx.LLДисперсионное соотношение для частицы будет иметь вид:h2En = n 2.(1.19)8mL2Таким образом, микрочастица, заключенная в потенциальную яму, обладает дискретным рядом собственных значенийэнергии E n (рис. 1.4); целое число n, определяющее эти значения энергии, называется квантовым числом.En=4n=3n=2n=1Рис.
1.4. Дискретный спектр энергии частицы в прямоугольной потенциальной ямеИз дисперсионного соотношения следует, что дискретныйхарактер энергетического спектра микрочастицы будет проявляться тем сильнее, чем меньше область пространства L, вкоторой локализована эта частица.ψ 3 ( x) = Ge − kx + He − kx .13141.4. Система из двух прямоугольныхпотенциальных ямтенциальной яме, расщепляется на два квантовых состояния стем же значением n (рис. 1.6).EnСистема из двух близко расположенных потенциальных ямявляется простейшей одномерной моделью двухатомной молекулы (например, молекулы H 2+ ).E3AE3SU(x)ddE2AE2SxE1AE1SРис. 1.5.
Модельный потенциал двухатомной молекулыРис. 1.6. Расщепление энергетических уровней в системе двухблизко расположенных потенциальных ямВследствие симметрии силового поля относительно точки2x=0 функция ψ (x) в такой системе должна быть симметричной функцией координат. Следовательно, волновые функциимогут быть относительно x=0 либо симметричными (четными), либо асимметричными (нечетными) функциями координаты:ψ C = A(e βx + e − βx ) ,ψ A = A(e βx − e − βx ) ,где β = 2m(U 0 − E ) / h .Детальный анализ решений уравнения Шредингера длярассматриваемого потенциального поля показывает, что каждое квантовое состояние En, имеющееся в изолированной по15Приближение слабой связи предполагает, что потенциальная энергия взаимодействия электрона с периодическимполем решетки много меньше его кинетической энергии ивлияние решетки аналогично слабому периодическому возмущению движения свободных электронов.
Такое приближение наилучшим образом отражает поведение валентных электронов, слабо связанных с ядрами.Приближение сильной связи предполагает, что энергия взаимодействия электрона с ядром значительно выше кинетической энергии и состояние электрона незначительно отличается от его состояния в изолированном атоме. Здесь речьидет, таким образом, об электронах внутренних оболочек,сильно связанных с ядром решетки.161.5. Движение частицы в одномерномпериодическом полеВ 1931 году Р.Крониг и В.Пенни предложили идеализированную модель кристаллического тела. В этой модели кристалл заменяется линейной цепочкой потенциальных ям, какпоказано на рис.
1.7, где представлен также и потенциал, реально имеющий место в кристаллах.Рис. 1.7. Потенциальная энергия электрона в линейной цепочке атомов и соответствующая цепочка прямоугольных ям2mE;h22m(U 0 − E )ψ 2 ( x) = Ce βx + De − βx , β 2 =.h2ψ 1 ( x) = Ae jαx + Be − jαx ,α 2 =(1.20)По теореме Блоха решение уравнения Шредингера для периодического силового поля должно иметь вид:ψ ( x) = µ ( x)e jkx ,(1.21)где µ(x)- функция Блоха, периодичная с периодом a+b.Тогдаµ 1 ( x) = Ae j (α − k ) x + Be − j (α + k ) x ,(1.22)µ 2 ( x) = Ce ( β − jk ) x + De − ( β + jk ) x .Свойство периодичности функции Блоха позволяет записать следующие периодические граничные условия:µ1 (0) = µ 2 (a ),µ1 (a ) = µ 2 (−b), dµ1 dµ (1.23) = 2 , dx 0 dx 0 dµ1 dµ = 2 . dx a dx −bИспользуя эти граничные условия, получаем однороднуюсистему уравнений:U(x)U0EIIIIIIIxA + B − C − D = 0,Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
