Г.П. Яровой, П.В. Тяпухин, В.М. Трещев, В.В. Зайцев, В.И. Занин - Основы полупроводниковой электроники, страница 8

Концентрация носителей является функцией температуры у собственных полупроводников и концентрацией доноров и акцепторов у примесных полупроводников. Концентрация носителей в образцах может изменяться на много порядков, соответственно меняется и проводимость. Изменения названныхпараметров отражаются на заселенности состояний валентнойзоны и зоны проводимости.Прежде чем вывести соотношения для концентрации носителей в полупроводниках, напомним еще раз о понятииуровня Ферми. Как известно, состояния уровней Ферми имеют 50% вероятности заселения. Поскольку электронные состояния валентной зоны в полупроводнике обычно обладаютвысокой заселенностью, а зоны проводимости – низкой, уровень Ферми будет почти всегда лежать в запрещенной зоне.Положение уровня Ферми зависит от дискретных примесныхуровней (донорных или акцепторных), т.е.

от состояния ионизации этих примесей.Проводимость образца появляется при наличии подвижных носителей в какой-либо одной или в обеих зонах. Рассмотрим вначале концентрацию носителей в зоне проводимо53n=∫ N ( E ) F ( E , T )dE .(3.14)nEcВблизи дна зоны проводимости модель параболическихзон (3.12) дает4π (2me* ) 3 2N (E) =( E − E c )1 2 .(3.15)3hТогда4π (2me* ) 3 2h3∞dE.(3.16)E − EFEc1 + exp()kTВ большинстве случаев E − EF > (2...3)kT, поэтомуn=∫ (E − E4π (2me* ) 3 2n=h3c)1 2∞∫ (E − E12c) e−E − EFkTdE .(3.17)EcЭто эквивалентно выбору распределения Максвелла –Больцмана вместо статистики Ферми – Дирака. Предположение справедливо, если E − EF > (2...3)kT, т.е. уровень Фермидолжен находиться ниже расстояния 2kT от края зоны проводимости. Это выполняется либо при не очень высокой концентрации примеси, либо при не очень низкой температуреполупроводника.

В этом случае электроны зоны проводимо54сти ведут себя как невырожденный, или классический, газ, накоторый не распространяется принцип Паули.E − EcВведем новую переменную z =⇒ dE = kTdz .kTE − E F E − Ec Ec − E F=+.kTkTkTТаким образом, получаем:E −E4π (2me* kT ) 3 2 FkT c ∞ 1 2 − zn=e∫0 z e dz .h3Полученный интеграл является табличным. Он равенАналогично для концентрации дырок в валентной зонеможно получить:p = Nve 2πm *p kT где N v = 2 h2 валентной зоне.π.23−E F − EvkT,(3.19)2− эффективная плотность состояний в3.7. Концентрация носителей и положениеуровня Ферми в собственном полупроводникеСледовательно,3E −E− c F 2πme* kT  2 EFkT− EckT.n = 2e=Nec2h(3.18)3 2πme* kT  2Здесь N c = 2− эффективная плотность со2 hстояний в зоне проводимости. Полученное выражение связывает электронную концентрацию в зоне проводимости с положением уровня Ферми.

Экспоненциальный множитель имеет такой же вид, как вероятность заполнения состояния сэнергией Ec, по упрощенному распределению Ферми−Дирака.Эта особенность позволяет трактовать зону проводимости какнабор состояний с одинаковой энергией Ec, и плотностью состояний Nc.При достаточно высокой концентрации примеси условиеE − EF > (2...3)kT перестает быть верным, и следует использовать численные значения интегралов Ферми – Дирака.

Уровень Ферми может теперь переместиться в зону проводимости. Если выполняется условие E F − E c >> kT , то электронный газ становится вырожденным, как в металле.55Обозначая концентрации электронов и дырок в собственном полупроводнике через ni и pi, получаем: E − Ec  E − EF ni = N c exp F(3.20), pi = N v exp v. kT  kT Так как носители в собственном полупроводнике образуются в виде электронно-дырочных пар, то ni = pi.С другой стороны Eg  .ni p i = N c N v exp −(3.21)kTПоэтому1 Eg  .ni = pi = ( N c N v ) 2 exp −(3.22)2kTТак как E − Ec  E − EF ni = N c exp F = pi = N v exp v, kT  kT то e562 EFkTE +EN v vkT ce.NcСледовательно,=Ev + Ec kT  N v .ln(3.23)+22  N c В таблице приведены рассчитанные по формуле 3.22 собственные концентрации некоторых наиболее широко используемых в электронике полупроводниковых материалов:E Fi =Материалni = pi (см-3)Ge2,5 1013Si2 1010GaAs1,5 1063.8.

Концентрация носителей и положениеуровня Ферми в примесном полупроводникеПри изучении примесного полупроводника интересуютсязависимостью концентраций подвижных носителей от концентрации донорных или акцепторных атомов. Соответствующее соотношение имеет довольно простой вид в широком интервале примесных концентраций. Например, уполупроводникаn-типа электронная концентрация равна концентрации донорных атомов Nd.

Однако такая простая ситуация перестаетбыть справедливой вблизи областей, где генерация собственных носителей значительна, а также в случае, когда Ndвелико, но часть донорных атомов не ионизирована. Как и впредыдущем параграфе, концентрацию носителей удобноописывать в терминах уровня Ферми, положение которогобудет меняться в соответствии с концентрацией примесныхэлементов, содержащихся в полупроводнике.Сначала обратим внимание на важное соотношение: Eg  = ni2 .np = N c N v exp −(3.24)kTТаким образом, если в полупроводнике n-типа электронная концентрация п увеличивается за счет добавки донорной57примеси, то дырочная концентрация должна уменьшиться втой же пропорции. Поэтому обычно говорят об основных инеосновных носителях в примесном полупроводнике.

Конечно, и основными, и неосновными могут быть как электроны,так и дырки. Равновесные концентрации носителей получаются как результат динамического равновесия процессов генерации и рекомбинации электронно-дырочных пар. Скоростьгенерации определяется тепловой энергией (температурой),скорость рекомбинации − числом электронов и свободныхсостояний в валентной зоне, т.е.

произведением пр. В неравновесных условиях концентрация носителей может превышать величину, определяемую соотношением np = ni2 .Связь концентрации носителей с положением уровняФерми запишем в виде E − Ec  E − Ei n = N c exp F = ni exp F, kT  kT  E − EF  E − EF p = N v exp v = pi exp i. kT  kT (3.25)Эти выражения справедливы для примесных и собственных полупроводников в предположении, что концентрацииносителей не настолько высоки, чтобы полупроводники стали вырожденными. Они называются больцмановскими равновесными.В образце n-типа при полной ионизации донорных атомовэлектронная концентрация n будет равна концентрации донорной примеси Nd.

В соответствии с записанными выше соотношениями уровень Ферми с увеличением Nd будет двигаться в направлении края зоны проводимости EC. Аналогично для образца p-типа при увеличении концентрации акцепторов Na движение будет в сторону Ev. Для скомпенсированных образцов положение уровня Ферми определится избыточной концентрацией доноров или акцепторов.58В качестве примера рассмотрим положение уровня Ферми в кремниевом образце n-типа при комнатной температуре.Полагая n = Nd, имеемNE F = E c − kT ln c .(3.26)NdРавенство n = Nd нарушается при низкой концентрациидоноров, если полупроводник почти собственный, а такжепри высоких концентрациях, когда доноры неполностью ионизованы. Последнее условие особенно интересно при низкихтемпературах.Рассмотрим почти собственный полупроводник n-типа.Здесь вклад в электронную концентрацию вносят как ионизованные доноры, так и собственный процесс генерации.

Электронную концентрацию можно получить, если к основномусоотношениюnp = ni2 ,пригодному для равновесных условий, добавить условиеэлектрической нейтральностиn = Nd + p .Это приводит к уравнению n 2 − nN d − ni2 = 0 для электронной концентрации, которое имеет приближенные решения:n = ni ,( N d << ni );1N d , ( N d < ni );2ni2n = Nd +, ( N d > ni );Ndn = ni +n = Nd ,(3.27)( N d >> ni ).594. Явления переноса в полупроводниках4.1.

Электрическая проводимостьи подвижность электроновВ тех случаях, когда на полупроводники действуют некоторые внешние факторы, возникает ненулевая упорядоченнаяскорость носителей заряда. Как следствие, состояние термодинамического равновесия в полупроводнике нарушается.Связанные с этим явления называют явлениями переноса.Внешнее возбуждение может иметь самый разнообразный характер − электрический, тепловой или оптический.

Поэтомуконкретные проявления эффектов переноса могут быть различными. В дальнейшем будем рассматривать дрейфовую идиффузионную электропроводности.Движение носителей заряда в образце полупроводникаможет возникать, прежде всего, под действием электрического поля или разности потенциалов. Образующийся электрический ток принято называть дрейфовым. Кроме того, движениеносителей может обусловливаться пространственной неоднородностью их концентрации. При этом возникает так называемый диффузионный ток.В однородном полупроводнике свободные электроны,появившиеся за счет теплового возбуждения, совершают хаотические движения.

Траектория отдельно взятого электронапрямолинейна до тех пор, пока не произойдет столкновения.Столкновения могут возникать по ряду причин: из-за нарушения периодичности потенциала под действием тепловыхколебаний решетки (фононов), из-за дефектов решетки, различных примесей, взаимодействий с другими носителями заряда и т.д. Средний ток в любом выбранном направлении равен нулю. Среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями называется длиной свободного пробега60частицы и составляет от 10-6 см до 10-4 см. Так как средняяскорость электрона порядка 107 см/с, то время свободногопробега τсп оказывается порядка 1 пс.Пусть к полупроводниковому образцу приложено некоторое достаточно слабое постоянное электрическое поле напряженностью E (рис.